Class 9 Math Chapter 2 Exercise 2.5  NCERT SOLUTIONS in Hindi (Hindi Medium)|Chapter 2 बहुपद (polynomials)

प्रश्नावली 2.5

प्रश्नावली 2.1

प्रश्नावली 2.2

प्रश्नावली 2.3

प्रश्नावली 2.4

प्रश्नावली 2.5

बहुपद व्यायाम 2.5

1. निम्नलिखित उत्पादों को खोजने के लिए उपयुक्त पहचान का प्रयोग करें:

(i) (x+4)(x +10)

समाधान:

सर्वसमिका का उपयोग करते हुए, (x+a)(x+b) = x 2+(a+b)x+ab

[यहाँ, a = 4 और b = 10]

हम पाते हैं,

(x+4)(x+10) = x2+(4+10)x+(4×10)

= x2+14x+40

(ii) (एक्स+8)(एक्स -10)

समाधान:

सर्वसमिका का उपयोग करते हुए, (x+a)(x+b) = x 2+(a+b)x+ab

[यहाँ, a = 8 और b = -10]

हम पाते हैं,

(x+8)(x−10) = x2+(8+(−10))x+(8×(−10))

= x2+(8−10)x–80

= x2−2x−80

(iii) (3x+4)(3x-5)

समाधान:

सर्वसमिका का उपयोग करते हुए, (x+a)(x+b) = x 2+(a+b)x+ab

[यहाँ, x = 3x, a = 4 और b = -5]

हम पाते हैं,

(3x+4)(3x−5) = (3x)2+[4+(−5)]3x+4×(−5)

= 9x2+3x(4–5)–20

= 9x2–3x–20

(iv) (y2+3/2)(y2-3/2)

समाधान:

सर्वसमिका का उपयोग करते हुए, (x+y)(x–y) = x2–y 2

[यहाँ, x = y2and y = 3/2]

हम पाते हैं,

(y2+3/2)(y2–3/2) = (y2)2–(3/2)2

= y4–9/4

2. सीधे गुणा किए बिना निम्नलिखित उत्पादों का मूल्यांकन करें:

(i) 103×107

समाधान:

103×107= (100+3)×(100+7)

पहचान का उपयोग करना, [(x+a)(x+b) = x2+(a+b)x+ab

यहाँ, x = 100

ए = 3

बी = 7

हम पाते हैं, 103×107 = (100+3)×(100+7)

= (100)2+(3+7)100+(3×7)

= 10000+1000+21

= 11021

(ii) 95×96

समाधान:

95×96 = (100-5)×(100-4)

पहचान का उपयोग करना, [(x-a)(x-b) = x2-(a+b)x+ab

यहाँ, x = 100

ए = -5

बी = -4

हम पाते हैं, 95×96 = (100-5)×(100-4)

= (100)2+100(-5+(-4))+(-5×-4)

= 10000-900+20

= 9120

(iii) 104×96

समाधान:

104×96 = (100+4)×(100-4)

पहचान का उपयोग करना, [(a+b)(a-b)= a2-b2]

यहाँ, a = 100

बी = 4

हम पाते हैं, 104×96 = (100+4)×(100–4)

= (100)2-(4)2

= 10000-16

= 9984

3. उपयुक्त सर्वसमिकाओं का प्रयोग करते हुए निम्नलिखित का गुणनखंड कीजिए:

(i) 9x2+6xy+y2

समाधान:

9x2+6xy+y2 = (3x)2+(2×3x×y)+y2

सर्वसमिका का प्रयोग करना, x2+2xy+y2 = (x+y)2

यहाँ, x = 3x

वाई = वाई

9x2+6xy+y2 = (3x)2+(2×3x×y)+y2

= (3x+y)2

= (3x+y)(3x+y)

(ii) 4y2−4y+1

समाधान:

4y2−4y+1 = (2y)2–(2×2y×1)+1

सर्वसमिका का उपयोग करते हुए, x2 - 2xy + y2 = (x - y)2

यहाँ, x = 2y

वाई = 1

4y2−4y+1 = (2y)2–(2×2y×1)+12

= (2y-1)2

= (2y-1)(2y-1)

(iii) x2–y2/100

समाधान:

x2–y2/100 = x2–(y/10)2

सर्वसमिका का उपयोग करते हुए, x2-y2 = (x-y)(x+y)

यहाँ, x = x

वाई = वाई/10

x2–y2/100 = x2–(y/10)2

= (x–y/10)(x+y/10)

4. उपयुक्त सर्वसमिकाओं का प्रयोग करते हुए निम्नलिखित में से प्रत्येक का विस्तार कीजिए:

(i) (x+2y+4z)2

(ii) (2x−y+z)2

(iii) (−2x+3y+2z)2

(iv) (3a -7b-c)2

(v) (-2x+5y-3z)2

(vi) ((1/4)ए-(1/2)बी +1)2

समाधान:

(i) (x+2y+4z)2

पहचान का उपयोग करना, (x+y+z)2 = x2+y2+z2+2xy+2yz+2zx

यहाँ, x = x

वाई = 2y

जेड = 4z

(x+2y+4z)2 = x2+(2y)2+(4z)2+(2×x×2y)+(2×2y×4z)+(2×4z×x)

= x2+4y2+16z2+4xy+16yz+8xz

(ii) (2x−y+z)2

पहचान का उपयोग करना, (x+y+z)2 = x2+y2+z2+2xy+2yz+2zx

यहाँ, x = 2x

वाई = -y

जेड = जेड

(2x−y+z)2 = (2x)2+(−y)2+z2+(2×2x×−y)+(2×−y×z)+(2×z×2x)

= 4x2+y2+z2–4xy–2yz+4xz

(iii) (−2x+3y+2z)2

समाधान:

पहचान का उपयोग करना, (x+y+z)2 = x2+y2+z2+2xy+2yz+2zx

यहाँ, x = −2x

वाई = 3y

जेड = 2z

(−2x+3y+2z)2 = (−2x)2+(3y)2+(2z)2+(2×−2x×3y)+(2×3y×2z)+(2×2z×−2x) )

= 4x2+9y2+4z2–12xy+12yz–8xz

(iv) (3a -7b-c)2

समाधान:

पहचान का उपयोग करना (x+y+z)2 = x2+y2+z2+2xy+2yz+2zx

यहाँ, x = 3a

वाई = - 7बी

जेड = - सी

(3a -7b- c)2 = (3a)2+(- 7b)2+(- c)2+(2×3a ×-7b)+(2×-7b ×-c)+(2×- c) ×3ए)

= 9a2 + 49b2 + c2– 42ab+14bc–6ca

(v) (-2x+5y-3z)2

समाधान:

पहचान का उपयोग करना, (x+y+z)2 = x2+y2+z2+2xy+2yz+2zx

यहाँ, x = -2x

वाई = 5y

जेड = - 3z

(-2x+5y–3z)2 = (-2x)2+(5y)2+(-3z)2+(2×-2x × 5y)+(2× 5y×-3z)+(2×-3z) ×-2x)

= 4x2+25y2 +9z2– 20xy–30yz+12zx

(vi) ((1/4)ए-(1/2)बी+1)2

समाधान:

पहचान का उपयोग करना, (x+y+z)2 = x2+y2+z2+2xy+2yz+2zx

यहाँ, x = (1/4)a

वाई = (-1/2)बी

जेड = 1

5. कारक बनाना:

(i) 4x2+9y2+16z2+12xy–24yz–16xz

(ii) 2x2+y2+8z2-2√2xy+4√2yz-8xz

समाधान:

(i) 4x2+9y2+16z2+12xy–24yz–16xz

पहचान का उपयोग करना, (x+y+z)2 = x2+y2+z2+2xy+2yz+2zx

हम कह सकते हैं कि, x2+y2+z2+2xy+2yz+2zx = (x+y+z)2

4x2+9y2+16z2+12xy–24yz–16xz = (2x)2+(3y)2+(−4z)2+(2×2x×3y)+(2×3y×−4z)+(2×−4z) ×2x)

= (2x+3y–4z)2

= (2x+3y–4z)(2x+3y–4z)

(ii) 2x2+y2+8z2-2√2xy+4√2yz-8xz

पहचान का उपयोग करना, (x +y+z)2 = x2+y2+z2+2xy+2yz+2zx

हम कह सकते हैं कि, x2+y2+z2+2xy+2yz+2zx = (x+y+z)2

2x2+y2+8z2–2√2xy+4√2yz–8xz

= (-√2x)2+(y)2+(2√2z)2+(2×-√2x×y)+(2×y×2√2z)+(2×2√2×−√2x )

= (−√2x+y+2√2z)2

= (−√2x+y+2√2z)(−√2x+y+2√2z)

6. निम्नलिखित घनों को विस्तृत रूप में लिखिए:

(i) (2x+1)3

(ii) (2a−3b)3

(iii) ((3/2)x+1)3

(iv) (x−(2/3)y)3

समाधान:

(i) (2x+1)3

पहचान का उपयोग करना,(x+y)3 = x3+y3+3xy(x+y)

(2x+1)3= (2x)3+13+(3×2x×1)(2x+1)

= 8x3+1+6x(2x+1)

= 8x3+12x2+6x+1

(ii) (2a−3b)3

सर्वसमिका का उपयोग करना,(x–y)3 = x3–y3–3xy(x–y)

(2a−3b)3 = (2a)3−(3b)3–(3×2a×3b)(2a-3b)

= 8a3–27b3–18ab(2a–3b)

= 8a3–27b3–36a2b+54ab2

(iii) ((3/2)x+1)3

पहचान का उपयोग करना,(x+y)3 = x3+y3+3xy(x+y)

((3/2)x+1)3=((3/2)x)3+13+(3×(3/2)x×1)((3/2)x +1)

(iv) (x−(2/3)y)3

सर्वसमिका का उपयोग करते हुए, (x –y)3 = x3–y3–3xy(x–y)

7. उपयुक्त सर्वसमिकाओं का प्रयोग करते हुए निम्नलिखित का मूल्यांकन कीजिए:

(i) (99)3

(ii) (102)3

(iii) (998)3

समाधान:

(i) (99)3

समाधान:

हम 99 को 100-1 . के रूप में लिख सकते हैं

सर्वसमिका का उपयोग करते हुए, (x –y)3 = x3–y3–3xy(x–y)

(99)3 = (100–1)3

= (100)3–13–(3×100×1)(100–1)

= 1000000 -1–300 (100 – 1)

= 1000000–1–30000+300

= 970299

(ii) (102)3

समाधान:

हम 102 को 100+2 . के रूप में लिख सकते हैं

पहचान का उपयोग करना,(x+y)3 = x3+y3+3xy(x+y)

(100+2)3 =(100)3+23+(3×100×2)(100+2)

= 1000000 + 8 + 600 (100 + 2)

= 1000000 + 8 + 60000 + 1200

= 1061208

(iii) (998)3

समाधान:

हम 99 को 1000-2 . के रूप में लिख सकते हैं

सर्वसमिका का उपयोग करना,(x–y)3 = x3–y3–3xy(x–y)

(998)3 =(1000-2)3

=(1000)3–23–(3×1000×2)(1000–2)

= 1000000000-8-6000 (1000-2)

= 1000000000–8- 6000000+12000

= 994011992

8. निम्नलिखित में से प्रत्येक का गुणनखंड कीजिए:

(i) 8a3+b3+12a2b+6ab2

(ii) 8a3–b3–12a2b+6ab2

(iii) 27–125a3–135a +225a2

(iv) 64a3–27b3–144a2b+108ab2

(v) 27p3–(1/216)−(9/2) p2+(1/4)p

समाधान:

(i) 8a3+b3+12a2b+6ab2

समाधान:

व्यंजक, 8a3+b3+12a2b+6ab2 (2a)3+b3+3(2a)2b+3(2a)(b)2 के रूप में लिखा जा सकता है

8a3+b3+12a2b+6ab2 = (2a)3+b3+3(2a)2b+3(2a)(b)2

= (2ए+बी)3

= (2a+b)(2a+b)(2a+b)

यहाँ, सर्वसमिका (x +y)3 = x3+y3+3xy(x+y) का प्रयोग किया जाता है।

 

(ii) 8a3–b3–12a2b+6ab2

समाधान:

व्यंजक, 8a3–b3−12a2b+6ab2 को (2a)3–b3–3(2a)2b+3(2a)(b)2 के रूप में लिखा जा सकता है

8a3–b3−12a2b+6ab2 = (2a)3–b3–3(2a)2b+3(2a)(b)2

= (2a-b)3

= (2a-b)(2a-b)(2a-b)

यहाँ सर्वसमिका (x–y)3 = x3–y3–3xy(x–y) का प्रयोग किया जाता है।

 

(iii) 27–125a3–135a+225a2

समाधान:

व्यंजक, 27–125a3–135a +225a2 को 33–(5a)3–3(3)2(5a)+3(3)(5a)2 के रूप में लिखा जा सकता है

27–125a3–135a+225a2 =

33–(5a)3–3(3)2(5a)+3(3)(5a)2

= (3-5a)3

= (3–5a)(3–5a)(3–5a)

यहाँ सर्वसमिका (x–y)3 = x3–y3-3xy(x–y) का प्रयोग किया जाता है।

(iv) 64a3–27b3–144a2b+108ab2

समाधान:

व्यंजक, 64a3–27b3–144a2b+108ab2 को (4a)3–(3b)3–3(4a)2(3b)+3(4a)(3b)2 के रूप में लिखा जा सकता है

64a3–27b3–144a2b+108ab2=

(4a)3–(3b)3–3(4a)2(3b)+3(4a)(3b)2

=(4ए–3बी)3

=(4a–3b)(4a–3b)(4a–3b)

यहाँ सर्वसमिका (x - y)3 = x3 - y3 - 3xy(x - y) का प्रयोग किया जाता है।

(v) 7p3– (1/216)-(9/2) p2+(1/4)p

समाधान:

व्यंजक, 27p3–(1/216)−(9/2) p2+(1/4)p

(3p)3–(1/6)3–3(3p)2(1/6)+3(3p)(1/6)2 के रूप में लिखा जा सकता है

27p3–(1/216)−(9/2) p2+(1/4)p =

(3p)3–(1/6)3–3(3p)2(1/6)+3(3p)(1/6)2

= (3p-16)3

= (3p–16)(3p–16)(3p–16)

9. सत्यापित करें:

(i) x3+y3 = (x+y)(x2–xy+y2)

(ii) x3–y3 = (x–y)(x2+xy+y2)

समाधान:

(i) x3+y3 = (x+y)(x2–xy+y2)

हम जानते हैं कि, (x+y)3 = x3+y3+3xy(x+y)

⇒ x3+y3 = (x+y)3–3xy(x+y)

⇒ x3+y3 = (x+y)[(x+y)2–3xy]

सामान्य (x+y) लेना x3+y3 = (x+y)[(x2+y2+2xy)-3xy]

⇒ x3+y3 = (x+y)(x2+y2–xy)

(ii) x3–y3 = (x–y)(x2+xy+y2)

हम जानते हैं कि,(x–y)3 = x3–y3–3xy(x–y)

⇒ x3−y3 = (x–y)3+3xy(x–y)

⇒ x3−y3 = (x–y)[(x–y)2+3xy]

(x+y) उभयनिष्ठ ⇒ x3−y3 = (x–y)[(x2+y2–2xy)+3xy] लेना

⇒ x3+y3 = (x–y)(x2+y2+xy)

10. निम्नलिखित में से प्रत्येक का गुणनखंड कीजिए:

(i) 27y3+125z3

(ii) 64m3–343n3

समाधान:

(i) 27y3+125z3

व्यंजक, 27y3+125z3 (3y)3+(5z)3 . के रूप में लिखा जा सकता है

27y3+125z3 = (3y)3+(5z)3

हम जानते हैं कि, x3+y3 = (x+y)(x2–xy+y2)

27y3+125z3 = (3y)3+(5z)3

= (3y+5z)[(3y)2–(3y)(5z)+(5z)2]

= (3y+5z)(9y2–15yz+25z2)

(ii) 64m3–343n3

व्यंजक, 64m3–343n3 को (4m)3–(7n)3 . के रूप में लिखा जा सकता है

64m3–343n3 =

(4मी)3–(7एन)3

हम जानते हैं कि, x3–y3 = (x–y)(x2+xy+y2)

64m3–343n3 = (4m)3–(7n)3

= (4m-7n)[(4m)2+(4m)(7n)+(7n)2]

= (4m-7n)(16m2+28mn+49n2)

11. गुणनखंड: 27x3+y3+z3–9xyz

समाधान:

व्यंजक 27x3+y3+z3–9xyz (3x)3+y3+z3–3(3x)(y)(z) के रूप में लिखा जा सकता है

27x3+y3+z3–9xyz = (3x)3+y3+z3–3(3x)(y)(z)

हम जानते हैं कि, x3+y3+z3–3xyz = (x+y+z)(x2+y2+z2–xy –yz–zx)

27x3+y3+z3–9xyz = (3x)3+y3+z3–3(3x)(y)(z)

= (3x+y+z)[(3x)2+y2+z2–3xy–yz–3xz]

= (3x+y+z)(9x2+y2+z2–3xy–yz–3xz)

12. सत्यापित करें कि:

x3+y3+z3–3xyz = (1/2) (x+y+z)[(x–y)2+(y–z)2+(z–x)2]

समाधान:

हम जानते हैं कि,

x3+y3+z3−3xyz = (x+y+z)(x2+y2+z2–xy–yz–xz)

⇒ x3+y3+z3–3xyz = (1/2)(x+y+z)[2(x2+y2+z2–xy–yz–xz)]

= (1/2)(x+y+z)(2x2+2y2+2z2–2xy–2yz–2xz)

= (1/2)(x+y+z)[(x2+y2−2xy)+(y2+z2–2yz)+(x2+z2–2xz)]

= (1/2)(x+y+z)[(x–y)2+(y–z)2+(z–x)2]

13. यदि x+y+z = 0, तो दर्शाइए कि x3+y3+z3 = 3xyz।

समाधान:

हम जानते हैं कि,

x3+y3+z3-3xyz = (x +y+z)(x2+y2+z2–xy–yz–xz)

अब, प्रश्न के अनुसार, मान लीजिए (x+y+z) = 0,

फिर, x3+y3+z3 -3xyz = (0)(x2+y2+z2–xy–yz–xz)

⇒ x3+y3+z3–3xyz = 0

⇒ x3+y3+z3 = 3xyz

इसलिए सिद्ध

14. वास्तव में घनों की गणना किए बिना, निम्नलिखित में से प्रत्येक का मान ज्ञात कीजिए:

(i) (−12)3+(7)3+(5)3

(ii) (28)3+(−15)3+(−13)3

समाधान:

(i) (−12)3+(7)3+(5)3

मान लीजिए a = -12

बी = 7

सी = 5

हम जानते हैं कि यदि x+y+z = 0, तो x3+y3+z3=3xyz.

यहाँ, −12+7+5=0

(−12)3+(7)3+(5)3 = 3xyz

= 3×-12×7×5

= -1260

(ii) (28)3+(−15)3+(−13)3

समाधान:

(28)3+(−15)3+(−13)3

मान लीजिए a = 28

बी = -15

सी = −13

हम जानते हैं कि यदि x+y+z = 0, तो x3+y3+z3 = 3xyz।

यहाँ, x+y+z = 28–15–13 = 0

(28)3+(−15)3+(−13)3 = 3xyz

= 0+3(28)(−15)(−13)

= 16380

 

15. निम्नलिखित आयतों में से प्रत्येक की लंबाई और चौड़ाई के लिए संभावित व्यंजक दें, जिनमें उनके क्षेत्रफल दिए गए हैं:

(i) क्षेत्रफल : 25a2–35a+12

(ii) क्षेत्रफल : 35y2+13y-12

समाधान:

(i) क्षेत्रफल : 25a2–35a+12

मध्यावधि विधि को विभाजित करने का उपयोग करते हुए,

हमें एक संख्या ज्ञात करनी है जिसका योग = -35 और गुणनफल =25×12=300

हम -15 और -20 को संख्याओं के रूप में प्राप्त करते हैं [-15+-20=-35 and -15×-20=300]

25a2–35a+12 = 25a2–15a−20a+12

= 5a(5a–3)–4(5a–3)

= (5a–4)(5a–3)

लंबाई के लिए संभावित व्यंजक = 5a–4

चौड़ाई के लिए संभावित व्यंजक = 5a -3

(ii) क्षेत्रफल : 35y2+13y-12

मध्यावधि विधि को विभाजित करने का उपयोग करते हुए,

हमें एक संख्या ज्ञात करनी है जिसका योग = 13 और गुणनफल = 35×-12 = 420

हम -15 और 28 को संख्याओं के रूप में प्राप्त करते हैं [-15+28 = 13 और -15×28=420]

35y2+13y-12 = 35y2-15y+28y-12

= 5y(7y–3)+4(7y–3)

= (5y+4)(7y-3)

लंबाई के लिए संभावित व्यंजक = (5y+4)

चौड़ाई के लिए संभावित व्यंजक = (7y–3)

16. उन घनाभों की विमाओं के लिए संभावित व्यंजक क्या हैं जिनके आयतन नीचे दिए गए हैं?

(i) आयतन : 3x2–12x

(ii) आयतन : 12ky2+8ky–20k

समाधान:

(i) आयतन : 3x2–12x

दोनों पदों में से 3x निकालकर 3x2–12x को 3x(x–4) के रूप में लिखा जा सकता है।

लंबाई के लिए संभावित व्यंजक = 3

चौड़ाई के लिए संभावित व्यंजक = x

ऊँचाई के लिए संभावित व्यंजक = (x–4)

(ii) वॉल्यूम:

12ky2+8ky-20k

दोनों पदों में से 4k निकालकर 12ky2+8ky-20k को 4k(3y2+2y–5) के रूप में लिखा जा सकता है।

12ky2+8ky-20k = 4k(3y2+2y-5)

[यहाँ, 3y2+2y–5 को मध्य पद विधि को विभाजित करके 3y2+5y–3y–5 के रूप में लिखा जा सकता है।]

= 4k(3y2+5y-3y-5)

= 4k[y(3y+5)-1(3y+5)]

= 4k(3y+5)(y-1)

लंबाई के लिए संभावित व्यंजक = 4k

चौड़ाई के लिए संभावित व्यंजक = (3y +5)

ऊंचाई के लिए संभावित अभिव्यक्ति = (y -1)

प्रश्नावली 2.1

प्रश्नावली 2.2

प्रश्नावली 2.3

प्रश्नावली 2.4

प्रश्नावली 2.5