Class 9 Math Chapter 2 Exercise 2.4  NCERT SOLUTIONS in Hindi (Hindi Medium)|Chapter 2 बहुपद (polynomials)

प्रश्नावली 2.4

 प्रश्नावली 2.1

प्रश्नावली 2.2

प्रश्नावली 2.3

प्रश्नावली 2.4

प्रश्नावली 2.5

बहुपद अभ्यास 2.4

1. निर्धारित करें कि निम्नलिखित में से किस बहुपद में (x + 1) एक गुणनखंड है:

(i) x3+x2+x+1

समाधान:

मान लीजिए p(x) = x3+x2+x+1

x+1 का शून्यक -1 है। [x+1 = 0 का अर्थ है x = -1]

p(−1) = (−1)3+(−1)2+(−1)+1

= -1+1−1+1

= 0

गुणक प्रमेय के अनुसार, x+1 x3+x2+x+1 . का गुणनखंड है

(ii) x4+x3+x2+x+1

समाधान:

चलो p(x)= x4+x3+x2+x+1

x+1 का शून्यक -1 है। . [x+1= 0 का अर्थ है x = -1]

p(−1) = (−1)4+(−1)3+(−1)2+(−1)+1

= 1−1+1−1+1

= 1 0

गुणनखंड प्रमेय के अनुसार, x+1 x4 + x3 + x2 + x + 1 का गुणनखंड नहीं है

(iii) x4+3x3+3x2+x+1

समाधान:

चलो p(x)= x4+3x3+3x2+x+1

x+1 का शून्यक -1 है।

p(−1)=(−1)4+3(−1)3+3(−1)2+(−1)+1

=1−3+3−1+1

=1 0

गुणनखंड प्रमेय के अनुसार, x+1 x4+3x3+3x2+x+1 का गुणनखंड नहीं है

(iv) x3 - x2- (2+√2)x +√2

समाधान:

मान लीजिए p(x) = x3–x2–(2+√2)x +√2

x+1 का शून्यक -1 है।

p(−1) = (-1)3–(-1)2–(2+√2)(-1) + √2 = −1−1+2+√2+√2

= 2√2 0

गुणनखंड प्रमेय के अनुसार, x+1 x3–x2–(2+√2)x +√2 का गुणनखंड नहीं है

2. निम्नलिखित में से प्रत्येक मामले में यह निर्धारित करने के लिए कि क्या g(x) p(x) का एक गुणनखंड है, कारक प्रमेय का उपयोग करें:

(i) p(x) = 2x3+x2–2x-1, g(x) = x+1

समाधान:

p(x) = 2x3+x2–2x-1, g(x) = x+1

जी (एक्स) = 0

⇒ एक्स+1 = 0

⇒ एक्स = -1

g(x) का शून्य -1 है।

अभी,

p(−1) = 2(−1)3+(−1)2–2(−1)–1

= −2+1+2−1

= 0

गुणनखंड प्रमेय के अनुसार, g(x) p(x) का एक गुणनखंड है।

(ii) p(x)=x3+3x2+3x+1, g(x) = x+2

समाधान:

p(x) = x3+3x2+3x+1, g(x) = x+2

जी (एक्स) = 0

⇒ एक्स+2 = 0

⇒ एक्स = -2

g(x) का शून्य -2 है।

अभी,

p(−2) = (−2)3+3(−2)2+3(−2)+1

= −8+12−6+1

= -1 ≠ 0

गुणनखंड प्रमेय के अनुसार, g(x) p(x) का गुणनखंड नहीं है।

(iii) p(x)=x3–4x2+x+6, g(x) = x–3

समाधान:

p(x) = x3–4x2+x+6, g(x) = x -3

जी (एक्स) = 0

⇒ x−3 = 0

एक्स = 3

g(x) का शून्य 3 होता है।

अभी,

पी(3) = (3)3−4(3)2+(3)+6

= 27−36+3+6

= 0

गुणनखंड प्रमेय के अनुसार, g(x) p(x) का एक गुणनखंड है।

3. k का मान ज्ञात कीजिए, यदि x-1 निम्नलिखित में से प्रत्येक स्थिति में p(x) का गुणनखंड है:

(i) p(x) = x2+x+k

समाधान:

यदि x-1, p(x) का गुणनखंड है, तो p(1) = 0

कारक प्रमेय द्वारा

(1)2+(1)+k = 0

⇒ 1+1+के = 0

⇒ 2+के = 0

के = -2

(ii) p(x) = 2x2+kx+√2

समाधान:

यदि x-1, p(x) का गुणनखंड है, तो p(1)=0

2(1)2+k(1)+√2 = 0

⇒ 2+k+√2 = 0

⇒ के = -(2+√2)

(iii) p(x) = kx2–√2x+1

समाधान:

यदि x-1, p(x) का गुणनखंड है, तो p(1)=0

कारक प्रमेय द्वारा

⇒ के(1)2-√2(1)+1=0

कश्मीर = √2-1

(iv) p(x)=kx2–3x+k

समाधान:

यदि x-1, p(x) का गुणनखंड है, तो p(1) = 0

कारक प्रमेय द्वारा

के(1)2–3(1)+k = 0

⇒ k−3+k = 0

⇒ 2k−3 = 0

कश्मीर = 3/2

4. कारक बनाना:

(i) 12x2–7x+1

समाधान:

मध्यावधि विधि को विभाजित करने का उपयोग करते हुए,

हमें एक संख्या ज्ञात करनी है जिसका योग = -7 और गुणनफल =1×12 = 12

हम -3 और -4 को संख्याओं के रूप में प्राप्त करते हैं [-3+-4=-7 और -3×-4 = 12]

12x2–7x+1= 12x2-4x-3x+1

= 4x(3x-1)-1(3x-1)

= (4x-1)(3x-1)

(ii) 2x2+7x+3

समाधान:

मध्यावधि विधि को विभाजित करने का उपयोग करते हुए,

हमें एक संख्या ज्ञात करनी है जिसका योग = 7 और गुणनफल = 2×3 = 6

हम 6 और 1 को संख्याओं के रूप में प्राप्त करते हैं [6+1 = 7 और 6×1 = 6]

2x2+7x+3 = 2x2+6x+1x+3

= 2x (x+3)+1(x+3)

= (2x+1)(x+3)

(iii) 6x2+5x-6

समाधान:

मध्यावधि विधि को विभाजित करने का उपयोग करते हुए,

हमें एक संख्या ज्ञात करनी है जिसका योग = 5 और गुणनफल = 6×-6 = -36

हम -4 और 9 को संख्याओं के रूप में प्राप्त करते हैं [-4+9 = 5 और -4×9 = -36]

6x2+5x-6 = 6x2+9x–4x–6

= 3x(2x+3)-2(2x+3)

= (2x+3)(3x-2)

(iv) 3x2–x–4

समाधान:

मध्यावधि विधि को विभाजित करने का उपयोग करते हुए,

हमें एक संख्या ज्ञात करनी है जिसका योग = -1 और गुणनफल = 3×-4 = -12

हम -4 और 3 को संख्याओं के रूप में प्राप्त करते हैं [-4+3 = -1 और -4×3 = -12]

3x2–x–4 = 3x2–4x+3x–4

= x(3x–4)+1(3x–4)

= (3x–4)(x+1)

5. कारक बनाना:

(i) x3–2x2–x+2

समाधान:

मान लीजिए p(x) = x3–2x2–x+2

2 के गुणनखंड ±1 और ± 2 . हैं

अभी,

p(x) = x3–2x2–x+2

p(−1) = (−1)3–2(−1)2–(−1)+2

= -1−2+1+2

= 0

इसलिए, (x+1) p(x) का गुणनखंड है

अब, लाभांश = भाजक × भागफल + शेष

(x+1)(x2–3x+2) = (x+1)(x2–x–2x+2)

= (x+1)(x(x−1)−2(x−1))

= (x+1)(x−1)(x-2)

(ii) x3–3x2–9x–5

समाधान:

मान लीजिए p(x) = x3–3x2–9x–5

5 के गुणनखंड ±1 और ±5 . हैं

परीक्षण विधि से, हम पाते हैं कि

पी(5) = 0

तो, (x-5) p(x) का गुणनखंड है

अभी,

p(x) = x3–3x2–9x–5

p(5) = (5)3–3(5)2–9(5)–5

= 125−75−45−5

= 0

इसलिए, (x-5) p(x) का गुणनखंड है

अब, लाभांश = भाजक × भागफल + शेष

(x−5)(x2+2x+1) = (x−5)(x2+x+x+1)

= (x−5)(x(x+1)+1(x+1))

= (x−5)(x+1)(x+1)

(iii) x3+13x2+32x+20

समाधान:

मान लीजिए p(x) = x3+13x2+32x+20

20 के गुणनखंड ±1, ±2, ±4, ±5, ±10 और ±20 . हैं

परीक्षण विधि से, हम पाते हैं कि

पी (-1) = 0

तो, (x+1) p(x) का गुणनखंड है

अभी,

पी(एक्स)= x3+13x2+32x+20

p(-1) = (−1)3+13(−1)2+32(−1)+20

= -1+13−32+20

= 0

इसलिए, (x+1) p(x) का गुणनखंड है

अब, लाभांश = भाजक × भागफल + शेष

(x+1)(x2+12x+20) = (x+1)(x2+2x+10x+20)

= (x+1)x(x+2)+10(x+2)

= (x+1)(x+2)(x+10)

(iv) 2y3+y2–2y-1

समाधान:

मान लीजिए p(y) = 2y3+y2–2y-1

गुणनखंड = 2×(−1)= -2 ±1 और ±2 . हैं

परीक्षण विधि से, हम पाते हैं कि

पी(1) = 0

तो, (y-1) p(y) का गुणनखंड है

अभी,

p(y) = 2y3+y2–2y-1

पी(1) = 2(1)3+(1)2–2(1)-1

= 2+1−2

= 0

इसलिए, (y-1) p(y) का गुणनखंड है

अब, लाभांश = भाजक × भागफल + शेष

(y−1)(2y2+3y+1) = (y−1)(2y2+2y+y+1)

= (y−1)(2y(y+1)+1(y+1))

= (y−1)(2y+1)(y+1)

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