Class 9 Math Chapter 2 बहुपद (polynomials) Full Chapter Exercise 2.1,2.2,2.3,2.4,2.5 NCERT SOLUTIONS in Hindi (Hindi Medium)|

बहुपद अभ्यास 2.1

1. निम्नलिखित में से कौन से व्यंजक एक चर वाले बहुपद हैं और कौन से नहीं हैं? अपने उत्तर के कारण बताएं।

(i) 4x2–3x+7

समाधान:

समीकरण 4x2–3x+7 को 4x2–3x1+7x0 . के रूप में लिखा जा सकता है

चूँकि दिए गए समीकरण में x ही एकमात्र चर है और x (अर्थात 2, 1 और 0) की घातें पूर्ण संख्याएँ हैं, हम कह सकते हैं कि व्यंजक 4x2–3x+7 एक चर में बहुपद है।

(ii) y2+√2

समाधान:

समीकरण y2+√2 को y2+√2y0 . के रूप में लिखा जा सकता है

चूँकि दिए गए समीकरण में y ही एकमात्र चर है और y (अर्थात 2 और 0) की घातें पूर्ण संख्याएँ हैं, हम कह सकते हैं कि व्यंजक y2+√2 एक चर में एक बहुपद है।

(iii) 3√t+t√2

समाधान:

समीकरण 3√t+t√2 को 3t1/2+√2t . के रूप में लिखा जा सकता है

हालाँकि, दिए गए समीकरण में t ही एकमात्र चर है, t (अर्थात, 1/2) की घात एक पूर्ण संख्या नहीं है। इसलिए, हम कह सकते हैं कि व्यंजक 3√t+t√2 एक चर में बहुपद नहीं है।

(iv) y+2/y

समाधान:

समीकरण y+2/y a को y+2y-1 . के रूप में लिखा जाएगा

हालाँकि, दिए गए समीकरण में y ही एकमात्र चर है, y (अर्थात, -1) की घातें एक पूर्ण संख्या नहीं हैं। अतः, हम कह सकते हैं कि व्यंजक y+2/y एक चर वाला बहुपद नहीं है।

(v) x10+y3+t50

समाधान:

यहाँ, समीकरण में x10+y3+t50

हालाँकि, घात, 10, 3, 50, पूर्ण संख्याएँ हैं, व्यंजक में 3 चर का उपयोग किया जाता है

x10+y3+t50. अत: यह एक चर वाला बहुपद नहीं है।

2. निम्नलिखित में से प्रत्येक में x2 के गुणांक लिखिए:

(i) 2+x2+x

समाधान:

समीकरण 2+x2+x को 2+(1)x2+x . के रूप में लिखा जा सकता है

हम जानते हैं कि गुणांक वह संख्या है जो चर को गुणा करती है।

यहाँ, वह संख्या जो चर x2 को गुणा करती है, 1 . है

, 2+x2+x में x2 का गुणांक 1 है।

(ii) 2-x2+x3

समाधान:

समीकरण 2-x2+x3 को 2+(-1)x2+x3 . के रूप में लिखा जा सकता है

हम जानते हैं कि, गुणांक वह संख्या है (इसके चिह्न के साथ, यानी, - या +) जो चर को गुणा करती है।

यहाँ, चर x2 को गुणा करने वाली संख्या -1 . है

2-x2+x3 में x2 का गुणांक -1 है।

(iii) (π/2)x2+x

समाधान:

समीकरण (π/2)x2 +x को (π/2)x2 + x . के रूप में लिखा जा सकता है

हम जानते हैं कि, गुणांक वह संख्या है (इसके चिह्न के साथ, यानी, - या +) जो चर को गुणा करती है।

यहाँ, चर x2 को गुणा करने वाली संख्या π/2 है।

(π/2)x2 +x में x2 का गुणांक π/2 है।

(iii)√2x-1

समाधान:

समीकरण √2x-1 को 0x2+√2x-1 के रूप में लिखा जा सकता है [चूंकि 0x2 0 है]

हम जानते हैं कि, गुणांक वह संख्या है (इसके चिह्न के साथ, यानी, - या +) जो चर को गुणा करती है।

यहाँ, वह संख्या जो चर x2 को गुणा करती है, 0 . है

, √2x-1 में x2 का गुणांक 0 है।

3. घात 35 वाले द्विपद और 100 घात वाले एकपदी का एक-एक उदाहरण दीजिए।

समाधान:

घात 35 का द्विपद: दो पदों और उच्चतम घात 35 वाले बहुपद को घात 35 का द्विपद कहा जाता है

जैसे, 3x35+5

घात 100 का एकपदी: एक पद और उच्चतम घात 100 वाले बहुपद को घात 100 का एकपदी कहते हैं

जैसे, 4x100

4. निम्नलिखित बहुपदों में से प्रत्येक की घात लिखिए:

(i) 5x3+4x2+7x

समाधान:

एक बहुपद में चर की उच्चतम घात बहुपद की घात होती है।

यहाँ, 5x3+4x2+7x = 5x3+4x2+7x1

चर x की घातें हैं: 3, 2, 1

5x3+4x2+7x की डिग्री 3 है क्योंकि 3 समीकरण में x की उच्चतम शक्ति है।

(ii) 4-y2

समाधान:

एक बहुपद में चर की उच्चतम घात बहुपद की घात होती है।

यहाँ, 4-y2 में,

चर y की शक्ति 2 . है

4-y2 की डिग्री 2 है क्योंकि 2 समीकरण में y की उच्चतम शक्ति है।

(iii) 5t–√7

समाधान:

एक बहुपद में चर की उच्चतम घात बहुपद की घात होती है।

यहाँ, 5t–√7 में,

चर टी की शक्ति है: 1

5t–√7 की डिग्री 1 है क्योंकि 1 समीकरण में y की उच्चतम शक्ति है।

(iv) 3

समाधान:

एक बहुपद में चर की उच्चतम घात बहुपद की घात होती है।

यहाँ, 3 = 3×1 = 3× x0

यहाँ चर की शक्ति है: 0

3 की डिग्री 0 है।

5. निम्नलिखित को रैखिक, द्विघात और घन बहुपद के रूप में वर्गीकृत कीजिए:

समाधान:

हम जानते हैं कि,

रैखिक बहुपद: घात एक वाले बहुपद को रैखिक बहुपद कहते हैं।

द्विघात बहुपद: घात दो वाले बहुपद को द्विघात बहुपद कहते हैं।

घन बहुपद: घात तीन वाले बहुपद को घन बहुपद कहते हैं।

(i) x2+x

समाधान:

x2+x की उच्चतम शक्ति 2 . है

डिग्री 2 . है

अत: x2+x एक द्विघात बहुपद है

(ii) x-x3

समाधान:

x-x3 की उच्चतम घात 3 . है

डिग्री 3 . है

अत: x-x3 एक घन बहुपद है

(iii) y+y2+4

समाधान:

y+y2+4 की उच्चतम शक्ति 2 . है

डिग्री 2 . है

अत: y+y2+4 एक द्विघात बहुपद है

(iv) 1+x

समाधान:

1+x की उच्चतम शक्ति 1 . है

डिग्री 1 . है

अत: 1+x एक रैखिक बहुपद है।

(वी) 3t

समाधान:

3t की उच्चतम शक्ति 1 . है

डिग्री 1 . है

अत: 3t एक रैखिक बहुपद है।

(vi) r2

समाधान:

r2 की उच्चतम शक्ति 2 . है

डिग्री 2 . है

अत: r2 एक द्विघात बहुपद है।

(vii) 7x3

समाधान:

7x3 की उच्चतम शक्ति 3 . है

डिग्री 3 . है

अत: 7x3 एक घन बहुपद है।

प्रश्नावली 2.2

बहुपद अभ्यास 2.2

1. बहुपद (x)=5x−4x2+3 . का मान ज्ञात कीजिए
(i) एक्स = 0
(ii) एक्स = - 1
(iii) एक्स = 2
समाधान:

चलो f(x) = 5x−4x2+3

(i) जब x = 0

f(0) = 5(0)-4(0)2+3

= 3

(ii) जब x = -1

f(x) = 5x−4x2+3

f(−1) = 5(−1)−4(−1)2+3

= -5–4+3

= -6

(iii) जब x = 2

f(x) = 5x−4x2+3

f(2) = 5(2)−4(2)2+3

= 10-16+3

= -3

2. निम्नलिखित बहुपदों में से प्रत्येक के लिए p(0), p(1) और p(2) ज्ञात कीजिए:

(i) p(y)=y2−y+1

समाधान:

p(y) = y2–y+1

∴p(0) = (0)2−(0)+1=1

पी(1) = (1)2–(1)+1=1

p(2) = (2)2–(2)+1=3

(ii) p(t)=2+t+2t2−t3

समाधान:

p(t) = 2+t+2t2−t3

p(0) = 2+0+2(0)2–(0)3=2

p(1) = 2+1+2(1)2–(1)3=2+1+2–1=4

p(2) = 2+2+2(2)2–(2)3=2+2+8–8=4

(iii) पी(एक्स)=x3

समाधान:

पी (एक्स) = एक्स 3

p(0) = (0)3 = 0

पी(1) = (1)3 = 1

पी(2) = (2)3 = 8

(iv) P(x) = (x−1)(x+1)

समाधान:

पी(एक्स) = (एक्स-1)(एक्स+1)

∴p(0) = (0–1)(0+1) = (−1)(1) = -1

p(1) = (1–1)(1+1) = 0(2) = 0

p(2) = (2–1)(2+1) = 1(3) = 3

3. सत्यापित करें कि क्या निम्नलिखित बहुपद के शून्यक हैं, जो उनके सामने दर्शाए गए हैं।

(i) p(x)=3x+1, x=−1/3

समाधान:

के लिए, x = -1/3, p(x) = 3x+1

∴p(−1/3) = 3(-1/3)+1 = -1+1 = 0

-1/3 p(x) का शून्य है।

(ii) p(x)=5x–π, x = 4/5

समाधान:

के लिए, x = 4/5, p(x) = 5x–π

∴ पी(4/5) = 5(4/5)- = 4-π

∴ 4/5, p(x) का शून्य नहीं है।

(iii) p(x)=x2−1, x=1, −1

समाधान:

के लिए, x = 1, −1;

पी(एक्स) = x2−1

p(1)=12−1=1−1 = 0

p(−1)=(-1)2−1 = 1−1 = 0

∴1, −1 p(x) के शून्यक हैं।

(iv) p(x) = (x+1)(x–2), x =−1, 2

समाधान:

के लिए, x = −1,2;

पी(एक्स) = (एक्स+1)(एक्स-2)

∴p(−1) = (−1+1)(−1–2)

= (0)(−3) = 0

p(2) = (2+1)(2–2) = (3)(0) = 0

∴−1,2 p(x) के शून्यक हैं।

(v) p(x) = x2, x = 0

समाधान:

के लिए, x = 0 p(x) = x2

पी(0) = 02 = 0

0 p(x) का एक शून्यक है।

(vi) p(x) = lx+m, x = −m/l

समाधान:

के लिए, x = -m/l ; पी (एक्स) = एलएक्स + एम

∴ p(-m/l)= l(-m/l)+m = −m+m = 0

-m/l p(x) का एक शून्यक है।

(vii) p(x) = 3x2−1, x = -1/√3 , 2/√3

समाधान:

के लिए, x = -1/√3 , 2/√3 ; पी(एक्स) = 3x2−1

p(-1/√3) = 3(-1/√3)2-1 = 3(1/3)-1 = 1-1 = 0

∴p(2/√3) = 3(2/√3)2-1 = 3(4/3)-1 = 4−1=3 ≠ 0

-1/√3 p(x) का शून्य है लेकिन 2/√3 p(x) का शून्य नहीं है।

(viii) p(x) =2x+1, x = 1/2

समाधान:

के लिए, x = 1/2 p(x) = 2x+1

∴ p(1/2)=2(1/2)+1 = 1+1 = 2≠0

1/2 p(x) का शून्यक नहीं है।

4. निम्नलिखित में से प्रत्येक स्थिति में बहुपदों का शून्य ज्ञात कीजिए:

(i) p(x) = x+5

समाधान:

पी(एक्स) = एक्स+5

⇒ एक्स+5 = 0

⇒ एक्स = −5

5 बहुपद p(x) का एक शून्य बहुपद है।

(iii) पी(एक्स) = 2x+5

समाधान:

पी(एक्स) = 2x+5

⇒ 2x+5 = 0

⇒ 2x = -5

⇒ एक्स = -5/2

∴x = -5/2 बहुपद p(x) का एक शून्य बहुपद है।

(iv) पी(एक्स) = 3x-2

समाधान:

पी (एक्स) = 3x-2

⇒ 3x−2 = 0

⇒ 3x = 2

x = 2/3

∴x = 2/3 बहुपद p(x) का एक शून्य बहुपद है।

(b) p(x) = 3x

समाधान:

पी (एक्स) = 3x

3x = 0

एक्स = 0

0 बहुपद p(x) का एक शून्य बहुपद है।

(vi) p(x) = कुल्हाड़ी, a≠0

समाधान:

पी (एक्स) = कुल्हाड़ी

कुल्हाड़ी = 0

एक्स = 0

x = 0 बहुपद p(x) का एक शून्य बहुपद है।

(vii) p(x) = cx+d, c 0, c, d वास्तविक संख्याएँ हैं।

समाधान:

पी (एक्स) = सीएक्स + डी

⇒ सीएक्स+डी =0

⇒ एक्स = -डी/सी

∴ x = -d/c बहुपद p(x) का एक शून्य बहुपद है।

प्रश्नावली 2.3

बहुपद अभ्यास 2.3

1. शेषफल ज्ञात कीजिए जब x3+3x2+3x+1 को से विभाजित किया जाता है

(i) x+1

समाधान:

एक्स+1= 0

x = -1

शेष:

p(−1) = (−1)3+3(−1)2+3(−1)+1

= -1+3−3+1

= 0

(ii) x−1/2

समाधान:

एक्स-1/2 = 0

एक्स = 1/2

शेष:

p(1/2) = (1/2)3+3(1/2)2+3(1/2)+1

= (1/8)+(3/4)+(3/2)+1

= 27/8

(iii) x

समाधान:

एक्स = 0

शेष:

पी(0) = (0)3+3(0)2+3(0)+1

= 1

(iv) x+π

समाधान:

एक्स+π = 0

⇒ एक्स = −π

शेष:

p(0) = (−π)3 +3(−π)2+3(−π)+1

= −π3+3π2−3π+1

(v) 5+2x

समाधान:

5+2x = 0

⇒ 2x = -5

⇒ एक्स = -5/2

शेष:

(-5/2)3+3(-5/2)2+3(-5/2)+1 = (-125/8)+(75/4)-(15/2)+1

= -27/8

2. शेषफल ज्ञात कीजिए जब x3−ax2+6x−a को x-a से विभाजित किया जाता है।

समाधान:

मान लीजिए p(x) = x3−ax2+6x−a

एक्स−ए = 0

एक्स = ए

शेष:

p(a) = (a)3−a(a2)+6(a)−a

= a3−a3+6a−a = 5a

3. जाँच कीजिए कि क्या 7+3x, 3x3+7x का गुणनखंड है।

समाधान:

7+3x = 0

⇒ 3x = −7

एक्स = -7/3

शेष:

3(-7/3)3+7(-7/3) = -(343/9)+(-49/3)

= (-343-(49)3)/9

= (-343-147)/9

= -490/9 0

∴7+3x, 3x3+7x . का गुणनखंड नहीं है

प्रश्नावली 2.4

 

बहुपद अभ्यास 2.4

1. निर्धारित करें कि निम्नलिखित में से किस बहुपद में (x + 1) एक गुणनखंड है:

(i) x3+x2+x+1

समाधान:

मान लीजिए p(x) = x3+x2+x+1

x+1 का शून्यक -1 है। [x+1 = 0 का अर्थ है x = -1]

p(−1) = (−1)3+(−1)2+(−1)+1

= -1+1−1+1

= 0

गुणक प्रमेय के अनुसार, x+1 x3+x2+x+1 . का गुणनखंड है

(ii) x4+x3+x2+x+1

समाधान:

चलो p(x)= x4+x3+x2+x+1

x+1 का शून्यक -1 है। . [x+1= 0 का अर्थ है x = -1]

p(−1) = (−1)4+(−1)3+(−1)2+(−1)+1

= 1−1+1−1+1

= 1 0

गुणनखंड प्रमेय के अनुसार, x+1 x4 + x3 + x2 + x + 1 का गुणनखंड नहीं है

(iii) x4+3x3+3x2+x+1

समाधान:

चलो p(x)= x4+3x3+3x2+x+1

x+1 का शून्यक -1 है।

p(−1)=(−1)4+3(−1)3+3(−1)2+(−1)+1

=1−3+3−1+1

=1 0

गुणनखंड प्रमेय के अनुसार, x+1 x4+3x3+3x2+x+1 का गुणनखंड नहीं है

(iv) x3 - x2- (2+√2)x +√2

समाधान:

मान लीजिए p(x) = x3–x2–(2+√2)x +√2

x+1 का शून्यक -1 है।

p(−1) = (-1)3–(-1)2–(2+√2)(-1) + √2 = −1−1+2+√2+√2

= 2√2 0

गुणनखंड प्रमेय के अनुसार, x+1 x3–x2–(2+√2)x +√2 का गुणनखंड नहीं है

2. निम्नलिखित में से प्रत्येक मामले में यह निर्धारित करने के लिए कि क्या g(x) p(x) का एक गुणनखंड है, कारक प्रमेय का उपयोग करें:

(i) p(x) = 2x3+x2–2x-1, g(x) = x+1

समाधान:

p(x) = 2x3+x2–2x-1, g(x) = x+1

जी (एक्स) = 0

⇒ एक्स+1 = 0

⇒ एक्स = -1

g(x) का शून्य -1 है।

अभी,

p(−1) = 2(−1)3+(−1)2–2(−1)–1

= −2+1+2−1

= 0

गुणनखंड प्रमेय के अनुसार, g(x) p(x) का एक गुणनखंड है।

(ii) p(x)=x3+3x2+3x+1, g(x) = x+2

समाधान:

p(x) = x3+3x2+3x+1, g(x) = x+2

जी (एक्स) = 0

⇒ एक्स+2 = 0

⇒ एक्स = -2

g(x) का शून्य -2 है।

अभी,

p(−2) = (−2)3+3(−2)2+3(−2)+1

= −8+12−6+1

= -1 ≠ 0

गुणनखंड प्रमेय के अनुसार, g(x) p(x) का गुणनखंड नहीं है।

(iii) p(x)=x3–4x2+x+6, g(x) = x–3

समाधान:

p(x) = x3–4x2+x+6, g(x) = x -3

जी (एक्स) = 0

⇒ x−3 = 0

एक्स = 3

g(x) का शून्य 3 होता है।

अभी,

पी(3) = (3)3−4(3)2+(3)+6

= 27−36+3+6

= 0

गुणनखंड प्रमेय के अनुसार, g(x) p(x) का एक गुणनखंड है।

3. k का मान ज्ञात कीजिए, यदि x-1 निम्नलिखित में से प्रत्येक स्थिति में p(x) का गुणनखंड है:

(i) p(x) = x2+x+k

समाधान:

यदि x-1, p(x) का गुणनखंड है, तो p(1) = 0

कारक प्रमेय द्वारा

(1)2+(1)+k = 0

⇒ 1+1+के = 0

⇒ 2+के = 0

के = -2

(ii) p(x) = 2x2+kx+√2

समाधान:

यदि x-1, p(x) का गुणनखंड है, तो p(1)=0

2(1)2+k(1)+√2 = 0

⇒ 2+k+√2 = 0

⇒ के = -(2+√2)

(iii) p(x) = kx2–√2x+1

समाधान:

यदि x-1, p(x) का गुणनखंड है, तो p(1)=0

कारक प्रमेय द्वारा

⇒ के(1)2-√2(1)+1=0

कश्मीर = √2-1

(iv) p(x)=kx2–3x+k

समाधान:

यदि x-1, p(x) का गुणनखंड है, तो p(1) = 0

कारक प्रमेय द्वारा

के(1)2–3(1)+k = 0

⇒ k−3+k = 0

⇒ 2k−3 = 0

कश्मीर = 3/2

4. कारक बनाना:

(i) 12x2–7x+1

समाधान:

मध्यावधि विधि को विभाजित करने का उपयोग करते हुए,

हमें एक संख्या ज्ञात करनी है जिसका योग = -7 और गुणनफल =1×12 = 12

हम -3 और -4 को संख्याओं के रूप में प्राप्त करते हैं [-3+-4=-7 और -3×-4 = 12]

12x2–7x+1= 12x2-4x-3x+1

= 4x(3x-1)-1(3x-1)

= (4x-1)(3x-1)

(ii) 2x2+7x+3

समाधान:

मध्यावधि विधि को विभाजित करने का उपयोग करते हुए,

हमें एक संख्या ज्ञात करनी है जिसका योग = 7 और गुणनफल = 2×3 = 6

हम 6 और 1 को संख्याओं के रूप में प्राप्त करते हैं [6+1 = 7 और 6×1 = 6]

2x2+7x+3 = 2x2+6x+1x+3

= 2x (x+3)+1(x+3)

= (2x+1)(x+3)

(iii) 6x2+5x-6

समाधान:

मध्यावधि विधि को विभाजित करने का उपयोग करते हुए,

हमें एक संख्या ज्ञात करनी है जिसका योग = 5 और गुणनफल = 6×-6 = -36

हम -4 और 9 को संख्याओं के रूप में प्राप्त करते हैं [-4+9 = 5 और -4×9 = -36]

6x2+5x-6 = 6x2+9x–4x–6

= 3x(2x+3)-2(2x+3)

= (2x+3)(3x-2)

(iv) 3x2–x–4

समाधान:

मध्यावधि विधि को विभाजित करने का उपयोग करते हुए,

हमें एक संख्या ज्ञात करनी है जिसका योग = -1 और गुणनफल = 3×-4 = -12

हम -4 और 3 को संख्याओं के रूप में प्राप्त करते हैं [-4+3 = -1 और -4×3 = -12]

3x2–x–4 = 3x2–4x+3x–4

= x(3x–4)+1(3x–4)

= (3x–4)(x+1)

5. कारक बनाना:

(i) x3–2x2–x+2

समाधान:

मान लीजिए p(x) = x3–2x2–x+2

2 के गुणनखंड ±1 और ± 2 . हैं

अभी,

p(x) = x3–2x2–x+2

p(−1) = (−1)3–2(−1)2–(−1)+2

= -1−2+1+2

= 0

इसलिए, (x+1) p(x) का गुणनखंड है

अब, लाभांश = भाजक × भागफल + शेष

(x+1)(x2–3x+2) = (x+1)(x2–x–2x+2)

= (x+1)(x(x−1)−2(x−1))

= (x+1)(x−1)(x-2)

(ii) x3–3x2–9x–5

समाधान:

मान लीजिए p(x) = x3–3x2–9x–5

5 के गुणनखंड ±1 और ±5 . हैं

परीक्षण विधि से, हम पाते हैं कि

पी(5) = 0

तो, (x-5) p(x) का गुणनखंड है

अभी,

p(x) = x3–3x2–9x–5

p(5) = (5)3–3(5)2–9(5)–5

= 125−75−45−5

= 0

इसलिए, (x-5) p(x) का गुणनखंड है

अब, लाभांश = भाजक × भागफल + शेष

(x−5)(x2+2x+1) = (x−5)(x2+x+x+1)

= (x−5)(x(x+1)+1(x+1))

= (x−5)(x+1)(x+1)

(iii) x3+13x2+32x+20

समाधान:

मान लीजिए p(x) = x3+13x2+32x+20

20 के गुणनखंड ±1, ±2, ±4, ±5, ±10 और ±20 . हैं

परीक्षण विधि से, हम पाते हैं कि

पी (-1) = 0

तो, (x+1) p(x) का गुणनखंड है

अभी,

पी(एक्स)= x3+13x2+32x+20

p(-1) = (−1)3+13(−1)2+32(−1)+20

= -1+13−32+20

= 0

इसलिए, (x+1) p(x) का गुणनखंड है

अब, लाभांश = भाजक × भागफल + शेष

(x+1)(x2+12x+20) = (x+1)(x2+2x+10x+20)

= (x+1)x(x+2)+10(x+2)

= (x+1)(x+2)(x+10)

(iv) 2y3+y2–2y-1

समाधान:

मान लीजिए p(y) = 2y3+y2–2y-1

गुणनखंड = 2×(−1)= -2 ±1 और ±2 . हैं

परीक्षण विधि से, हम पाते हैं कि

पी(1) = 0

तो, (y-1) p(y) का गुणनखंड है

अभी,

p(y) = 2y3+y2–2y-1

पी(1) = 2(1)3+(1)2–2(1)-1

= 2+1−2

= 0

इसलिए, (y-1) p(y) का गुणनखंड है

अब, लाभांश = भाजक × भागफल + शेष

(y−1)(2y2+3y+1) = (y−1)(2y2+2y+y+1)

= (y−1)(2y(y+1)+1(y+1))

= (y−1)(2y+1)(y+1)

प्रश्नावली 2.5

बहुपद व्यायाम 2.5

1. निम्नलिखित उत्पादों को खोजने के लिए उपयुक्त पहचान का प्रयोग करें:

(i) (x+4)(x +10)

समाधान:

सर्वसमिका का उपयोग करते हुए, (x+a)(x+b) = x 2+(a+b)x+ab

[यहाँ, a = 4 और b = 10]

हम पाते हैं,

(x+4)(x+10) = x2+(4+10)x+(4×10)

= x2+14x+40

(ii) (एक्स+8)(एक्स -10)

समाधान:

सर्वसमिका का उपयोग करते हुए, (x+a)(x+b) = x 2+(a+b)x+ab

[यहाँ, a = 8 और b = -10]

हम पाते हैं,

(x+8)(x−10) = x2+(8+(−10))x+(8×(−10))

= x2+(8−10)x–80

= x2−2x−80

(iii) (3x+4)(3x-5)

समाधान:

सर्वसमिका का उपयोग करते हुए, (x+a)(x+b) = x 2+(a+b)x+ab

[यहाँ, x = 3x, a = 4 और b = -5]

हम पाते हैं,

(3x+4)(3x−5) = (3x)2+[4+(−5)]3x+4×(−5)

= 9x2+3x(4–5)–20

= 9x2–3x–20

(iv) (y2+3/2)(y2-3/2)

समाधान:

सर्वसमिका का उपयोग करते हुए, (x+y)(x–y) = x2–y 2

[यहाँ, x = y2and y = 3/2]

हम पाते हैं,

(y2+3/2)(y2–3/2) = (y2)2–(3/2)2

= y4–9/4

2. सीधे गुणा किए बिना निम्नलिखित उत्पादों का मूल्यांकन करें:

(i) 103×107

समाधान:

103×107= (100+3)×(100+7)

पहचान का उपयोग करना, [(x+a)(x+b) = x2+(a+b)x+ab

यहाँ, x = 100

ए = 3

बी = 7

हम पाते हैं, 103×107 = (100+3)×(100+7)

= (100)2+(3+7)100+(3×7)

= 10000+1000+21

= 11021

(ii) 95×96

समाधान:

95×96 = (100-5)×(100-4)

पहचान का उपयोग करना, [(x-a)(x-b) = x2-(a+b)x+ab

यहाँ, x = 100

ए = -5

बी = -4

हम पाते हैं, 95×96 = (100-5)×(100-4)

= (100)2+100(-5+(-4))+(-5×-4)

= 10000-900+20

= 9120

(iii) 104×96

समाधान:

104×96 = (100+4)×(100-4)

पहचान का उपयोग करना, [(a+b)(a-b)= a2-b2]

यहाँ, a = 100

बी = 4

हम पाते हैं, 104×96 = (100+4)×(100–4)

= (100)2-(4)2

= 10000-16

= 9984

3. उपयुक्त सर्वसमिकाओं का प्रयोग करते हुए निम्नलिखित का गुणनखंड कीजिए:

(i) 9x2+6xy+y2

समाधान:

9x2+6xy+y2 = (3x)2+(2×3x×y)+y2

सर्वसमिका का प्रयोग करना, x2+2xy+y2 = (x+y)2

यहाँ, x = 3x

वाई = वाई

9x2+6xy+y2 = (3x)2+(2×3x×y)+y2

= (3x+y)2

= (3x+y)(3x+y)

(ii) 4y2−4y+1

समाधान:

4y2−4y+1 = (2y)2–(2×2y×1)+1

सर्वसमिका का उपयोग करते हुए, x2 - 2xy + y2 = (x - y)2

यहाँ, x = 2y

वाई = 1

4y2−4y+1 = (2y)2–(2×2y×1)+12

= (2y-1)2

= (2y-1)(2y-1)

(iii) x2–y2/100

समाधान:

x2–y2/100 = x2–(y/10)2

सर्वसमिका का उपयोग करते हुए, x2-y2 = (x-y)(x+y)

यहाँ, x = x

वाई = वाई/10

x2–y2/100 = x2–(y/10)2

= (x–y/10)(x+y/10)

4. उपयुक्त सर्वसमिकाओं का प्रयोग करते हुए निम्नलिखित में से प्रत्येक का विस्तार कीजिए:

(i) (x+2y+4z)2

(ii) (2x−y+z)2

(iii) (−2x+3y+2z)2

(iv) (3a -7b-c)2

(v) (-2x+5y-3z)2

(vi) ((1/4)ए-(1/2)बी +1)2

समाधान:

(i) (x+2y+4z)2

पहचान का उपयोग करना, (x+y+z)2 = x2+y2+z2+2xy+2yz+2zx

यहाँ, x = x

वाई = 2y

जेड = 4z

(x+2y+4z)2 = x2+(2y)2+(4z)2+(2×x×2y)+(2×2y×4z)+(2×4z×x)

= x2+4y2+16z2+4xy+16yz+8xz

(ii) (2x−y+z)2

पहचान का उपयोग करना, (x+y+z)2 = x2+y2+z2+2xy+2yz+2zx

यहाँ, x = 2x

वाई = -y

जेड = जेड

(2x−y+z)2 = (2x)2+(−y)2+z2+(2×2x×−y)+(2×−y×z)+(2×z×2x)

= 4x2+y2+z2–4xy–2yz+4xz

(iii) (−2x+3y+2z)2

समाधान:

पहचान का उपयोग करना, (x+y+z)2 = x2+y2+z2+2xy+2yz+2zx

यहाँ, x = −2x

वाई = 3y

जेड = 2z

(−2x+3y+2z)2 = (−2x)2+(3y)2+(2z)2+(2×−2x×3y)+(2×3y×2z)+(2×2z×−2x) )

= 4x2+9y2+4z2–12xy+12yz–8xz

(iv) (3a -7b-c)2

समाधान:

पहचान का उपयोग करना (x+y+z)2 = x2+y2+z2+2xy+2yz+2zx

यहाँ, x = 3a

वाई = - 7बी

जेड = - सी

(3a -7b- c)2 = (3a)2+(- 7b)2+(- c)2+(2×3a ×-7b)+(2×-7b ×-c)+(2×- c) ×3ए)

= 9a2 + 49b2 + c2– 42ab+14bc–6ca

(v) (-2x+5y-3z)2

समाधान:

पहचान का उपयोग करना, (x+y+z)2 = x2+y2+z2+2xy+2yz+2zx

यहाँ, x = -2x

वाई = 5y

जेड = - 3z

(-2x+5y–3z)2 = (-2x)2+(5y)2+(-3z)2+(2×-2x × 5y)+(2× 5y×-3z)+(2×-3z) ×-2x)

= 4x2+25y2 +9z2– 20xy–30yz+12zx

(vi) ((1/4)ए-(1/2)बी+1)2

समाधान:

पहचान का उपयोग करना, (x+y+z)2 = x2+y2+z2+2xy+2yz+2zx

यहाँ, x = (1/4)a

वाई = (-1/2)बी

जेड = 1

5. कारक बनाना:

(i) 4x2+9y2+16z2+12xy–24yz–16xz

(ii) 2x2+y2+8z2-2√2xy+4√2yz-8xz

समाधान:

(i) 4x2+9y2+16z2+12xy–24yz–16xz

पहचान का उपयोग करना, (x+y+z)2 = x2+y2+z2+2xy+2yz+2zx

हम कह सकते हैं कि, x2+y2+z2+2xy+2yz+2zx = (x+y+z)2

4x2+9y2+16z2+12xy–24yz–16xz = (2x)2+(3y)2+(−4z)2+(2×2x×3y)+(2×3y×−4z)+(2×−4z) ×2x)

= (2x+3y–4z)2

= (2x+3y–4z)(2x+3y–4z)

(ii) 2x2+y2+8z2-2√2xy+4√2yz-8xz

पहचान का उपयोग करना, (x +y+z)2 = x2+y2+z2+2xy+2yz+2zx

हम कह सकते हैं कि, x2+y2+z2+2xy+2yz+2zx = (x+y+z)2

2x2+y2+8z2–2√2xy+4√2yz–8xz

= (-√2x)2+(y)2+(2√2z)2+(2×-√2x×y)+(2×y×2√2z)+(2×2√2×−√2x )

= (−√2x+y+2√2z)2

= (−√2x+y+2√2z)(−√2x+y+2√2z)

6. निम्नलिखित घनों को विस्तृत रूप में लिखिए:

(i) (2x+1)3

(ii) (2a−3b)3

(iii) ((3/2)x+1)3

(iv) (x−(2/3)y)3

समाधान:

(i) (2x+1)3

पहचान का उपयोग करना,(x+y)3 = x3+y3+3xy(x+y)

(2x+1)3= (2x)3+13+(3×2x×1)(2x+1)

= 8x3+1+6x(2x+1)

= 8x3+12x2+6x+1

(ii) (2a−3b)3

सर्वसमिका का उपयोग करना,(x–y)3 = x3–y3–3xy(x–y)

(2a−3b)3 = (2a)3−(3b)3–(3×2a×3b)(2a-3b)

= 8a3–27b3–18ab(2a–3b)

= 8a3–27b3–36a2b+54ab2

(iii) ((3/2)x+1)3

पहचान का उपयोग करना,(x+y)3 = x3+y3+3xy(x+y)

((3/2)x+1)3=((3/2)x)3+13+(3×(3/2)x×1)((3/2)x +1)

(iv) (x−(2/3)y)3

सर्वसमिका का उपयोग करते हुए, (x –y)3 = x3–y3–3xy(x–y)

7. उपयुक्त सर्वसमिकाओं का प्रयोग करते हुए निम्नलिखित का मूल्यांकन कीजिए:

(i) (99)3

(ii) (102)3

(iii) (998)3

समाधान:

(i) (99)3

समाधान:

हम 99 को 100-1 . के रूप में लिख सकते हैं

सर्वसमिका का उपयोग करते हुए, (x –y)3 = x3–y3–3xy(x–y)

(99)3 = (100–1)3

= (100)3–13–(3×100×1)(100–1)

= 1000000 -1–300 (100 – 1)

= 1000000–1–30000+300

= 970299

(ii) (102)3

समाधान:

हम 102 को 100+2 . के रूप में लिख सकते हैं

पहचान का उपयोग करना,(x+y)3 = x3+y3+3xy(x+y)

(100+2)3 =(100)3+23+(3×100×2)(100+2)

= 1000000 + 8 + 600 (100 + 2)

= 1000000 + 8 + 60000 + 1200

= 1061208

(iii) (998)3

समाधान:

हम 99 को 1000-2 . के रूप में लिख सकते हैं

सर्वसमिका का उपयोग करना,(x–y)3 = x3–y3–3xy(x–y)

(998)3 =(1000-2)3

=(1000)3–23–(3×1000×2)(1000–2)

= 1000000000-8-6000 (1000-2)

= 1000000000–8- 6000000+12000

= 994011992

8. निम्नलिखित में से प्रत्येक का गुणनखंड कीजिए:

(i) 8a3+b3+12a2b+6ab2

(ii) 8a3–b3–12a2b+6ab2

(iii) 27–125a3–135a +225a2

(iv) 64a3–27b3–144a2b+108ab2

(v) 27p3–(1/216)−(9/2) p2+(1/4)p

समाधान:

(i) 8a3+b3+12a2b+6ab2

समाधान:

व्यंजक, 8a3+b3+12a2b+6ab2 (2a)3+b3+3(2a)2b+3(2a)(b)2 के रूप में लिखा जा सकता है

8a3+b3+12a2b+6ab2 = (2a)3+b3+3(2a)2b+3(2a)(b)2

= (2ए+बी)3

= (2a+b)(2a+b)(2a+b)

यहाँ, सर्वसमिका (x +y)3 = x3+y3+3xy(x+y) का प्रयोग किया जाता है।

 

(ii) 8a3–b3–12a2b+6ab2

समाधान:

व्यंजक, 8a3–b3−12a2b+6ab2 को (2a)3–b3–3(2a)2b+3(2a)(b)2 के रूप में लिखा जा सकता है

8a3–b3−12a2b+6ab2 = (2a)3–b3–3(2a)2b+3(2a)(b)2

= (2a-b)3

= (2a-b)(2a-b)(2a-b)

यहाँ सर्वसमिका (x–y)3 = x3–y3–3xy(x–y) का प्रयोग किया जाता है।

 

(iii) 27–125a3–135a+225a2

समाधान:

व्यंजक, 27–125a3–135a +225a2 को 33–(5a)3–3(3)2(5a)+3(3)(5a)2 के रूप में लिखा जा सकता है

27–125a3–135a+225a2 =

33–(5a)3–3(3)2(5a)+3(3)(5a)2

= (3-5a)3

= (3–5a)(3–5a)(3–5a)

यहाँ सर्वसमिका (x–y)3 = x3–y3-3xy(x–y) का प्रयोग किया जाता है।

(iv) 64a3–27b3–144a2b+108ab2

समाधान:

व्यंजक, 64a3–27b3–144a2b+108ab2 को (4a)3–(3b)3–3(4a)2(3b)+3(4a)(3b)2 के रूप में लिखा जा सकता है

64a3–27b3–144a2b+108ab2=

(4a)3–(3b)3–3(4a)2(3b)+3(4a)(3b)2

=(4ए–3बी)3

=(4a–3b)(4a–3b)(4a–3b)

यहाँ सर्वसमिका (x - y)3 = x3 - y3 - 3xy(x - y) का प्रयोग किया जाता है।

(v) 7p3– (1/216)-(9/2) p2+(1/4)p

समाधान:

व्यंजक, 27p3–(1/216)−(9/2) p2+(1/4)p

(3p)3–(1/6)3–3(3p)2(1/6)+3(3p)(1/6)2 के रूप में लिखा जा सकता है

27p3–(1/216)−(9/2) p2+(1/4)p =

(3p)3–(1/6)3–3(3p)2(1/6)+3(3p)(1/6)2

= (3p-16)3

= (3p–16)(3p–16)(3p–16)

9. सत्यापित करें:

(i) x3+y3 = (x+y)(x2–xy+y2)

(ii) x3–y3 = (x–y)(x2+xy+y2)

समाधान:

(i) x3+y3 = (x+y)(x2–xy+y2)

हम जानते हैं कि, (x+y)3 = x3+y3+3xy(x+y)

⇒ x3+y3 = (x+y)3–3xy(x+y)

⇒ x3+y3 = (x+y)[(x+y)2–3xy]

सामान्य (x+y) लेना x3+y3 = (x+y)[(x2+y2+2xy)-3xy]

⇒ x3+y3 = (x+y)(x2+y2–xy)

(ii) x3–y3 = (x–y)(x2+xy+y2)

हम जानते हैं कि,(x–y)3 = x3–y3–3xy(x–y)

⇒ x3−y3 = (x–y)3+3xy(x–y)

⇒ x3−y3 = (x–y)[(x–y)2+3xy]

(x+y) उभयनिष्ठ ⇒ x3−y3 = (x–y)[(x2+y2–2xy)+3xy] लेना

⇒ x3+y3 = (x–y)(x2+y2+xy)

10. निम्नलिखित में से प्रत्येक का गुणनखंड कीजिए:

(i) 27y3+125z3

(ii) 64m3–343n3

समाधान:

(i) 27y3+125z3

व्यंजक, 27y3+125z3 (3y)3+(5z)3 . के रूप में लिखा जा सकता है

27y3+125z3 = (3y)3+(5z)3

हम जानते हैं कि, x3+y3 = (x+y)(x2–xy+y2)

27y3+125z3 = (3y)3+(5z)3

= (3y+5z)[(3y)2–(3y)(5z)+(5z)2]

= (3y+5z)(9y2–15yz+25z2)

(ii) 64m3–343n3

व्यंजक, 64m3–343n3 को (4m)3–(7n)3 . के रूप में लिखा जा सकता है

64m3–343n3 =

(4मी)3–(7एन)3

हम जानते हैं कि, x3–y3 = (x–y)(x2+xy+y2)

64m3–343n3 = (4m)3–(7n)3

= (4m-7n)[(4m)2+(4m)(7n)+(7n)2]

= (4m-7n)(16m2+28mn+49n2)

11. गुणनखंड: 27x3+y3+z3–9xyz

समाधान:

व्यंजक 27x3+y3+z3–9xyz (3x)3+y3+z3–3(3x)(y)(z) के रूप में लिखा जा सकता है

27x3+y3+z3–9xyz = (3x)3+y3+z3–3(3x)(y)(z)

हम जानते हैं कि, x3+y3+z3–3xyz = (x+y+z)(x2+y2+z2–xy –yz–zx)

27x3+y3+z3–9xyz = (3x)3+y3+z3–3(3x)(y)(z)

= (3x+y+z)[(3x)2+y2+z2–3xy–yz–3xz]

= (3x+y+z)(9x2+y2+z2–3xy–yz–3xz)

12. सत्यापित करें कि:

x3+y3+z3–3xyz = (1/2) (x+y+z)[(x–y)2+(y–z)2+(z–x)2]

समाधान:

हम जानते हैं कि,

x3+y3+z3−3xyz = (x+y+z)(x2+y2+z2–xy–yz–xz)

⇒ x3+y3+z3–3xyz = (1/2)(x+y+z)[2(x2+y2+z2–xy–yz–xz)]

= (1/2)(x+y+z)(2x2+2y2+2z2–2xy–2yz–2xz)

= (1/2)(x+y+z)[(x2+y2−2xy)+(y2+z2–2yz)+(x2+z2–2xz)]

= (1/2)(x+y+z)[(x–y)2+(y–z)2+(z–x)2]

13. यदि x+y+z = 0, तो दर्शाइए कि x3+y3+z3 = 3xyz।

समाधान:

हम जानते हैं कि,

x3+y3+z3-3xyz = (x +y+z)(x2+y2+z2–xy–yz–xz)

अब, प्रश्न के अनुसार, मान लीजिए (x+y+z) = 0,

फिर, x3+y3+z3 -3xyz = (0)(x2+y2+z2–xy–yz–xz)

⇒ x3+y3+z3–3xyz = 0

⇒ x3+y3+z3 = 3xyz

इसलिए सिद्ध

14. वास्तव में घनों की गणना किए बिना, निम्नलिखित में से प्रत्येक का मान ज्ञात कीजिए:

(i) (−12)3+(7)3+(5)3

(ii) (28)3+(−15)3+(−13)3

समाधान:

(i) (−12)3+(7)3+(5)3

मान लीजिए a = -12

बी = 7

सी = 5

हम जानते हैं कि यदि x+y+z = 0, तो x3+y3+z3=3xyz.

यहाँ, −12+7+5=0

(−12)3+(7)3+(5)3 = 3xyz

= 3×-12×7×5

= -1260

(ii) (28)3+(−15)3+(−13)3

समाधान:

(28)3+(−15)3+(−13)3

मान लीजिए a = 28

बी = -15

सी = −13

हम जानते हैं कि यदि x+y+z = 0, तो x3+y3+z3 = 3xyz।

यहाँ, x+y+z = 28–15–13 = 0

(28)3+(−15)3+(−13)3 = 3xyz

= 0+3(28)(−15)(−13)

= 16380

 

15. निम्नलिखित आयतों में से प्रत्येक की लंबाई और चौड़ाई के लिए संभावित व्यंजक दें, जिनमें उनके क्षेत्रफल दिए गए हैं:

(i) क्षेत्रफल : 25a2–35a+12

(ii) क्षेत्रफल : 35y2+13y-12

समाधान:

(i) क्षेत्रफल : 25a2–35a+12

मध्यावधि विधि को विभाजित करने का उपयोग करते हुए,

हमें एक संख्या ज्ञात करनी है जिसका योग = -35 और गुणनफल =25×12=300

हम -15 और -20 को संख्याओं के रूप में प्राप्त करते हैं [-15+-20=-35 and -15×-20=300]

25a2–35a+12 = 25a2–15a−20a+12

= 5a(5a–3)–4(5a–3)

= (5a–4)(5a–3)

लंबाई के लिए संभावित व्यंजक = 5a–4

चौड़ाई के लिए संभावित व्यंजक = 5a -3

(ii) क्षेत्रफल : 35y2+13y-12

मध्यावधि विधि को विभाजित करने का उपयोग करते हुए,

हमें एक संख्या ज्ञात करनी है जिसका योग = 13 और गुणनफल = 35×-12 = 420

हम -15 और 28 को संख्याओं के रूप में प्राप्त करते हैं [-15+28 = 13 और -15×28=420]

35y2+13y-12 = 35y2-15y+28y-12

= 5y(7y–3)+4(7y–3)

= (5y+4)(7y-3)

लंबाई के लिए संभावित व्यंजक = (5y+4)

चौड़ाई के लिए संभावित व्यंजक = (7y–3)

16. उन घनाभों की विमाओं के लिए संभावित व्यंजक क्या हैं जिनके आयतन नीचे दिए गए हैं?

(i) आयतन : 3x2–12x

(ii) आयतन : 12ky2+8ky–20k

समाधान:

(i) आयतन : 3x2–12x

दोनों पदों में से 3x निकालकर 3x2–12x को 3x(x–4) के रूप में लिखा जा सकता है।

लंबाई के लिए संभावित व्यंजक = 3

चौड़ाई के लिए संभावित व्यंजक = x

ऊँचाई के लिए संभावित व्यंजक = (x–4)

(ii) वॉल्यूम:

12ky2+8ky-20k

दोनों पदों में से 4k निकालकर 12ky2+8ky-20k को 4k(3y2+2y–5) के रूप में लिखा जा सकता है।

12ky2+8ky-20k = 4k(3y2+2y-5)

[यहाँ, 3y2+2y–5 को मध्य पद विधि को विभाजित करके 3y2+5y–3y–5 के रूप में लिखा जा सकता है।]

= 4k(3y2+5y-3y-5)

= 4k[y(3y+5)-1(3y+5)]

= 4k(3y+5)(y-1)

लंबाई के लिए संभावित व्यंजक = 4k

चौड़ाई के लिए संभावित व्यंजक = (3y +5)

ऊंचाई के लिए संभावित अभिव्यक्ति = (y -1)