NCERT Solutions for Class 9 Maths Chapter 6 Exercise 6.3 Lines and Angles(रेखाएं और कोण) In Hindi Medium

अध्याय 6 - रेखाएँ और कोण व्यायाम 6.3

प्रश्नावली 6.1

प्रश्नावली 6.2

प्रश्नावली 6.3

 

1. आकृति 6.39 में, PQR की भुजाएँ QP और RQ क्रमशः बिंदुओं S और T तक बढ़ाई गई हैं। यदि SPR = 135° और ∠PQT = 110°, तो PRQ ज्ञात कीजिए।

 

समाधान:

यह दिया गया है कि TQR एक सीधी रेखा है और इसलिए, रैखिक जोड़े (अर्थात ∠TQP और PQR) 180° तक जोड़ेंगे

अत: TQP +∠PQR = 180°

अब, TQP = 110° का मान रखने पर हमें प्राप्त होता है,

∠PQR = 70°

PQR पर विचार करें,

यहाँ, भुजा QP को S तक बढ़ाया गया है और इसलिए, SPR बाहरी कोण बनाता है।

अत: ∠SPR (∠SPR = 135°) अंत: सम्मुख कोणों के योग के बराबर होता है। (त्रिकोण गुण)

या, PQR +∠PRQ = 135°

अब, PQR = 70° का मान रखने पर हमें प्राप्त होता है,

PRQ = 135°-70°

अत: PRQ = 65°

2. आकृति 6.40 में, X = 62°, ∠XYZ = 54°। यदि YO और ZO, XYZ के क्रमशः XYZ और ∠XZY के समद्विभाजक हैं, तो OZY और YOZ ज्ञात कीजिए।

समाधान:

हम जानते हैं कि त्रिभुज के आंतरिक कोणों का योग।

अत: ∠X +∠XYZ +∠XZY = 180°

हमें प्राप्त होने वाले प्रश्न में दिए गए मानों को रखने पर,

62°+54° +∠XZY = 180°

या, XZY = 64°

अब, हम जानते हैं कि ZO समद्विभाजक है इसलिए,

OZY = ½ XZY

OZY = 32°

इसी प्रकार, YO एक समद्विभाजक है और इसलिए,

OYZ = ½ XYZ

या, OYZ = 27° (जैसा कि ∠XYZ = 54°)

अब, त्रिभुज के आंतरिक कोणों के योग के रूप में,

OZY +∠OYZ +∠O = 180°

उनके संबंधित मूल्यों को रखने पर, हम प्राप्त करते हैं,

O = 180°-32°-27°

अत: O = 121°

3. आकृति 6.41 में, यदि AB || DE, ∠BAC = 35° और ∠CDE = 53°, DCE ज्ञात कीजिए।

समाधान:

हम जानते हैं कि AE एक तिर्यक रेखा है क्योंकि AB || डे

यहाँ BAC और AED एकांतर अंतः कोण हैं।

अत: BAC = AED

दिया गया है कि BAC = 35°

एईडी = 35°

अब त्रिभुज सीडीई पर विचार करें। हम जानते हैं कि त्रिभुज के अंतः कोणों का योग 180° होता है।

DCE+∠CED+∠CDE = 180°

मान रखने पर, हम प्राप्त करते हैं

डीसीई+35°+53° = 180°

अत: DCE = 92°

4. आकृति 6.42 में, यदि रेखाएँ PQ और RS बिंदु T पर इस प्रकार प्रतिच्छेद करती हैं कि PRT = 40°, ∠RPT = 95° और TSQ = 75°, तो SQT ज्ञात कीजिए।

समाधान:

त्रिभुज पीआरटी पर विचार करें।

PRT +∠RPT + ∠PTR = 180°

अत: ∠PTR = 45°

अब PTR, STQ के बराबर होगा क्योंकि वे शीर्षाभिमुख कोण हैं।

अत: ∠PTR = ∠STQ = 45°

पुन: त्रिभुज STQ में,

TSQ +∠PTR + ∠SQT = 180°

इसे हल करने पर हमें प्राप्त होता है,

74° + 45° + SQT = 180°

एसक्यूटी = 60°

5. आकृति 6.43 में, यदि PQ PS, PQ || SR, ∠SQR = 28° और ∠QRT = 65°, तो x और y के मान ज्ञात कीजिए।

समाधान:

x +∠SQR = QRT (चूंकि वे एकांतर कोण हैं क्योंकि QR तिर्यक है)

अत: x+28° = 65°

∴ एक्स = 37°

यह भी ज्ञात है कि एकांतर आंतरिक कोण समान होते हैं और इसलिए,

QSR = x = 37°

साथ ही, अब,

QRS +∠QRT = 180° (क्योंकि वे एक रैखिक युग्म हैं)

या, ∠QRS+65° = 180°

अत: QRS = 115°

SPQ में कोण योग गुण का उपयोग करते हुए,

SPQ + x + y = 180°

उनके संबंधित मूल्यों को रखने पर, हम प्राप्त करते हैं,

90°+37° + y = 180°

वाई = 1800 - 1270 = 530

अत: y = 53°

6. आकृति 6.44 में, PQR की भुजा QR को बिंदु S तक बढ़ाया जाता है। यदि PQR और PRS के समद्विभाजक बिंदु T पर मिलते हैं, तो सिद्ध कीजिए कि QTR = ½ QPR है।

समाधान:

PQR पर विचार करें। PRS बाहरी कोण है और QPR और PQR आंतरिक कोण हैं।

तो, ∠PRS = ∠QPR+∠PQR (त्रिभुज गुण के अनुसार)

या, ∠PRS -∠PQR = ∠QPR ———–(i)

अब, QRT पर विचार करें,

∠TRS = TQR+∠QTR

या, QTR = TRS-∠TQR

हम जानते हैं कि QT और RT क्रमशः PQR और PRS को समद्विभाजित करते हैं।

अत: PRS = 2 TRS और PQR = 2∠TQR

अब, QTR = ½ ∠PRS – ½∠PQR

या, QTR = ½ (∠PRS -∠PQR)

(i) से हम जानते हैं कि PRS -∠PQR = QPR

तो, QTR = ½ QPR (इसलिए सिद्ध)।

प्रश्नावली 6.1

प्रश्नावली 6.2

प्रश्नावली 6.3