UP Board Solutions for Class 9 Maths Chapter 1 Number systems Exercise1.3 (संख्या पद्धति)

व्यायाम 1.3

1. निम्नलिखित को दशमलव रूप में लिखिए और बताइए कि प्रत्येक का दशमलव प्रसार किस प्रकार का है :

(i) 36/100

समाधान:

= 0.36 (समाप्त)

(ii) 1/11

समाधान:

= 0.0909....

समाधान:

= 4.125 (समाप्त)

(iv) 3/13

समाधान:

= 0.230769...

(v) 2/11

समाधान:

= 0.18181818181818..... (गैर - समाप्त करना और दोहराना)

(vi) 329/400

Solution:

= 0.8225 (समाप्त)

2. आप जानते हैं कि 1/7 = 0.142857. क्या आप अनुमान लगा सकते हैं कि 2/7, 3/7, 4/7, 5/7, 6/7 के दशमलव प्रसार वास्तव में लंबा विभाजन किए बिना क्या हैं? यदि हां, तो कैसे?

[संकेत: 1/7 का मान ज्ञात करते हुए शेष का ध्यानपूर्वक अध्ययन करें।]

समाधान:

 

3. निम्नलिखित को p/q के रूप में व्यक्त कीजिए, जहाँ p और q पूर्णांक हैं और q 0 है।

(1)

समाधान:

मान लें कि x = 0.666…

फिर, 10x = 6.666…

10x = 6 + x

9x = 6

x = 2/3

(2)

समाधान:

= (4/10)+(0.777/10)

मान लें कि x = 0.777…

फिर, 10x = 7.777…

10x = 7 + x

x = 7/9

(4/10)+(0.777../10) = (4/10)+(7/90) ( x = 7/9 और x = 0.777…0.777…/10 = 7/(9×10) = 7 /90 )

= (36/90)+(7/90) = 43/90

(3)

समाधान:

मान लें कि x = 0.001001…

फिर, 1000x = 1.001001…

1000x = 1 + x

999x = 1

x = 1/999

4. एक्सप्रेस 0.999999…. पी/क्यू के रूप में। क्या आप अपने जवाब से हैरान हैं? अपने शिक्षक और सहपाठियों के साथ चर्चा करें कि उत्तर क्यों समझ में आता है।

समाधान:

मान लें कि x = 0.9999…..Eq (a)

दोनों पक्षों को 10 से गुणा करने पर,

10x = 9.9999…. समीकरण (बी)

समीकरण (बी) - समीकरण (ए), हम प्राप्त करते हैं

10एक्स = 9.9999…

-एक्स = -0.9999…

___________

9x = 9

x = 1

1 और 0.999999 के बीच का अंतर 0.000001 है जो नगण्य है।

इसलिए, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि, 0.999 1 के पास बहुत अधिक है, इसलिए, 1 के रूप में उत्तर को उचित ठहराया जा सकता है।

5. 1/17 के दशमलव प्रसार में अंकों के दोहराव वाले ब्लॉक में अंकों की अधिकतम संख्या कितनी हो सकती है? अपने उत्तर की जांच के लिए विभाजन करें।

समाधान:

1/17

1 को 17 से भाग देना:

 

 

1/17 के दशमलव प्रसार के दोहराव वाले ब्लॉक में 16 अंक होते हैं।

6. परिमेय संख्याओं के कई उदाहरणों को p/q (q 0) के रूप में देखें, जहां p और q पूर्णांक हैं जिनमें 1 के अलावा कोई सामान्य गुणनखंड नहीं है और जिनका दशमलव निरूपण (विस्तार) है। क्या आप अनुमान लगा सकते हैं कि q को कौन-सा गुण संतुष्ट करना चाहिए?

समाधान:

हम देखते हैं कि जब q 2, 4, 5, 8, 10… है तो दशमलव प्रसार सांत होता है। उदाहरण के लिए:

1/2 = 0. 5, हर q = 21

7/8 = 0. 875, हर q =23

4/5 = 0. 8, हर q = 51

हम देख सकते हैं कि सांत दशमलव उस स्थिति में प्राप्त किया जा सकता है जहां दी गई भिन्नों के हर के अभाज्य गुणनखंड में केवल 2 या केवल 5 या दोनों की घात होती है।

7. ऐसी तीन संख्याएँ लिखिए जिनके दशमलव प्रसार अनावर्ती अनावर्ती हैं।

समाधान:

हम जानते हैं कि सभी अपरिमेय संख्याएं अनावर्ती अनावर्ती होती हैं। दशमलव प्रसार वाली तीन संख्याएँ जो अनावर्ती अनावर्ती हैं, वे हैं:

1. 3 = 1.732050807568

2. 26 =5.099019513592

3. 101 = 10.04987562112

8. परिमेय संख्याओं 5/7 और 9/11 के बीच तीन भिन्न अपरिमेय संख्याएँ ज्ञात कीजिए।

समाधान:

 

तीन भिन्न अपरिमेय संख्याएँ हैं:

1. 0.73073007300073000073…

2. 0.7507500700070007000075…

3. 0.76076007600076000076…

9. निम्नलिखित संख्याओं को उनके प्रकार के अनुसार परिमेय या अपरिमेय के रूप में वर्गीकृत करें:

(मैं) √23

समाधान:

23 = 4.79583152331…

चूँकि संख्या असांत अनावर्ती है इसलिए यह एक अपरिमेय संख्या है।

(ii)√225

समाधान:

225 = 15 = 15/1

चूँकि संख्या को p/q रूप में दर्शाया जा सकता है, यह एक परिमेय संख्या है।

(iii) 0.3796

समाधान:

चूँकि संख्या, 0.3796, सांत है, यह एक परिमेय संख्या है।

(iv) 7.478478

समाधान:

संख्या, 7.478478, असांत है लेकिन आवर्ती है, यह एक परिमेय संख्या है।

(v) 1.10100100100001…

समाधान:

चूँकि संख्या, 1.10100100100001…, गैर-समाप्ति गैर-दोहराव (गैर-आवर्ती) है, यह एक अपरिमेय संख्या है।