NCERT Solutions for Class 9 Maths Chapter 6  Lines and Angles(रेखाएं और कोण) In Hindi Medium

 NCERT Solutions for Class 9 Maths Chapter 6 Exercise 6.1 Lines and Angles(रेखाएं और कोण) In Hindi Medium

व्यायाम 6.1

1. आकृति 6.13 में, रेखाएँ AB और CD, O पर प्रतिच्छेद करती हैं। यदि ZAOC + ZBOE = 70° और ZBOD = 40° है, तो ZBOE और प्रतिवर्ती COE ज्ञात कीजिए।

समाधान:

आरेख से, हमारे पास है

(∠AOC +∠BOE +∠COE) और (∠COE +∠BOD +∠BOE) एक सीधी रेखा बनाते हैं।

अत: AOC+∠BOE +∠COE = COE +∠BOD+∠BOE = 180°

अब, AOC + BOE = 70° और BOD = 40° का मान रखने पर, हम प्राप्त करते हैं

COE = 110° और BOE = 30°

अतः प्रतिवर्त COE = 360o - 110o = 250o

2. आकृति 6.14 में, रेखाएँ XY और MN O पर प्रति

च्छेद करती हैं। यदि ZPOY = 90° और a: b = 2: 3 है, तो c ज्ञात कीजिए।

समाधान:

हम जानते हैं कि रैखिक युग्म का योग सदैव 180° . के बराबर होता है

इसलिए,

POY +a +b = 180°

POY = 90° (जैसा कि प्रश्न में दिया गया है) का मान रखने पर हमें प्राप्त होता है,

ए+बी = 90°

अब, यह दिया गया है कि a : b = 2: 3 इसलिए,

मान लीजिए a 2x है और b 3x है

∴ 2x+3x = 90°

इसे हल करने पर हमें प्राप्त होता है

5x = 90°

अत: x = 18°

∴ ए = 2×18° = 36°

इसी तरह, b की गणना की जा सकती है और मान होगा

बी = 3×18° = 54°

आरेख से, b+c भी एक सीधा कोण बनाता है, इसलिए,

बी+सी = 180°

सी+54° = 180°

∴ सी = 126°

3. आकृति 6.15 में, PQR = PRQ, तो सिद्ध कीजिए कि PQS = PRT।

समाधान:

चूँकि ST एक सीधी रेखा है इसलिए,

PQS+∠PQR = 180° (रैखिक जोड़ी) और

∠PRT+∠PRQ = 180° (रैखिक जोड़ी)

अब, PQS + ∠PQR = ∠PRT+∠PRQ = 180°

चूँकि PQR =∠PRQ (जैसा कि प्रश्न में दिया गया है)

PQS = PRT। (इसलिए सिद्ध)।

4. आकृति 6.16 में, यदि x+y = w+z, तो सिद्ध कीजिए कि AOB एक रेखा है।

समाधान:

यह सिद्ध करने के लिए कि AOB एक सीधी रेखा है, हमें यह सिद्ध करना होगा कि x+y एक रैखिक युग्म है

यानी x+y = 180°

हम जानते हैं कि एक बिंदु के चारों ओर के कोण 360° होते हैं इसलिए,

x+y+w+z = 360°

प्रश्न में यह दिया गया है कि,

एक्स+वाई = डब्ल्यू+जेड

तो, (x+y)+(x+y) = 360°

2(x+y) = 360°

(x+y) = 180° (इसलिए सिद्ध)।

5. आकृति 6.17 में, POQ एक रेखा है। किरण OR रेखा PQ पर लंबवत है। OS एक अन्य किरण है जो OP और OR किरणों के बीच स्थित है। सिद्ध कीजिए कि ROS = ½ (∠QOS - POS)।

समाधान:

प्रश्न में यह दिया गया है कि (या PQ) और POQ = 180°

तो, ∠POS+∠ROS+∠ROQ = 180°

अब, ∠POS+∠ROS = 180°- 90° (चूंकि ∠POR = ∠ROQ = 90°)

POS + ∠ROS = 90°

अब, QOS = ROQ+∠ROS

यह दिया गया है कि ∠ROQ = 90°,

QOS = 90° +∠ROS

या, QOS - ROS = 90°

POS + ROS = 90° और ∠QOS - ROS = 90° के रूप में, हम प्राप्त करते हैं

POS + ROS = ∠QOS – ROS

2 ROS + POS = QOS

या, ROS = ½ (∠QOS - ∠POS) (इसलिए सिद्ध)।

6. यह दिया गया है कि XYZ = 64° और XY को बिंदु P तक बढ़ाया जाता है। दी गई जानकारी से एक आकृति बनाएं। यदि किरण YQ ∠ZYP को समद्विभाजित करती है, तो XYQ और प्रतिवर्त QYP ज्ञात कीजिए।

समाधान:

यहाँ, XP एक सीधी रेखा है

अत: ∠XYZ +∠ZYP = 180°

XYZ = 64° का मान रखने पर हमें प्राप्त होता है,

64° +∠ZYP = 180°

ZYP = 116°

आरेख से हम यह भी जानते हैं कि ZYP = ZYQ + QYP

अब, जैसे YQ ZYP को समद्विभाजित करता है,

ZYQ = QYP

या, ZYP = 2∠ZYQ

ZYQ = ∠QYP = 58°

फिर से, XYQ = ∠XYZ + ZYQ

XYZ = 64° और ZYQ = 58° का मान रखने पर हमें प्राप्त होता है।

XYQ = 64°+58°

या, XYQ = 122°

अब, प्रतिवर्त QYP = 180°+XYQ

हमने गणना की कि ∠XYQ का मान = 122° है।

इसलिए,

क्यूवाईपी = 180°+122°

क्यूवाईपी = 302°

 NCERT Solutions for Class 9 Maths Chapter 6 Exercise 6.2 Lines and Angles(रेखाएं और कोण) In Hindi Medium

अध्याय 6 - रेखाएँ और कोण व्यायाम 6.2

1. आकृति 6.28 में, x और y के मान ज्ञात कीजिए और फिर दर्शाइए कि AB || सीडी.

समाधान:

हम जानते हैं कि एक रैखिक युग्म 180° के बराबर होता है।

अत: x+50° = 180°

∴ x = 130°

हम यह भी जानते हैं कि शीर्षाभिमुख कोण बराबर होते हैं।

तो, y = 130°

दो समानांतर रेखाओं में, एकांतर अंतः कोण बराबर होते हैं। इस में,

x = y = 130°

इससे सिद्ध होता है कि एकांतर अंतः कोण बराबर होते हैं और इसलिए, AB || सीडी.

2. आकृति 6.29 में, यदि AB || सीडी, सीडी || EF और y: z = 3: 7, x ज्ञात कीजिए।

समाधान:

यह ज्ञात है कि एबी || सीडी और सीडी||ईएफ

चूंकि एक तिर्यक रेखा के एक ही तरफ के कोणों का योग 180° तक होता है,

x + y = 180° —–(i)

भी,

O = z (चूंकि वे संगत कोण हैं)

और, y +∠O = 180° (चूंकि वे एक रैखिक युग्म हैं)

अत: y+z = 180°

अब, माना y = 3w और इसलिए, z = 7w (जैसा कि y : z = 3 : 7)

3w+7w = 180°

या, 10 w = 180°

अतः, w = 18°

अब, y = 3×18° = 54°

और, z = 7×18° = 126°

अब, कोण x की गणना समीकरण (i) से की जा सकती है

एक्स+वाई = 180°

या, x+54° = 180°

∴ x = 126°

3. आकृति 6.30 में, यदि AB || CD, EF CD और GED = 126°, AGE, ∠GEF और FGE ज्ञात कीजिए।

समाधान:

चूंकि एबी || सीडी, जीई एक तिर्यक रेखा है।

यह दिया गया है कि ∠GED = 126°

अत: ∠GED = ∠AGE = 126° (चूंकि वे एकांतर अंतः कोण हैं)

भी,

जीईडी = ∠जीईएफ +∠फेड

EF⊥ CD के रूप में, FED = 90°

GED = GEF+90°

या, GEF = 126° - 90° = 36°

फिर से, ∠FGE +∠GED = 180° (ट्रांसवर्सल)

GED = 126° का मान रखने पर हमें प्राप्त होता है,

∠FGE = 54°

इसलिए,

AGE = 126°

जीईएफ = 36° और

∠FGE = 54°

4. आकृति 6.31 में, यदि PQ || ST, ∠PQR = 110° और ∠RST = 130°, QRS ज्ञात कीजिए।

[संकेत : बिंदु R से होकर ST के समांतर एक रेखा खींचिए।]

 

समाधान:

सबसे पहले, PQ के समांतर एक रेखा XY की रचना कीजिए।

एफएफएफएफएफएफएफएफएफएफएफएफएफएफएफएफएफएफ

हम जानते हैं कि तिर्यक रेखा के एक ही तरफ के कोण 180° के बराबर होते हैं।

अत: ∠PQR+∠QRX = 180°

या, QRX = 180°-110°

QRX = 70°

इसी तरह,

∠RST +∠SRY = 180°

या, एसआरवाई = 180°-130°

एसआरवाई = 50°

अब, रेखा XY पर रैखिक युग्मों के लिए-

QRX+∠QRS+∠SRY = 180°

उनके संबंधित मूल्यों को रखने पर, हम प्राप्त करते हैं,

QRS = 180° - 70° - 50°

अत: QRS = 60°

5. आकृति 6.32 में, यदि AB || सीडी, ∠APQ = 50° और ∠PRD = 127°, x और y ज्ञात कीजिए।

समाधान:

आरेख से,

APQ = PQR (वैकल्पिक आंतरिक कोण)

अब, APQ = 50° और PQR = x का मान रखने पर हमें प्राप्त होता है,

एक्स = 50°

भी,

∠APR = PRD (वैकल्पिक आंतरिक कोण)

या, APR = 127° (जैसा कि दिया गया है कि ∠PRD = 127°)

हम जानते हैं कि

APR = APQ+∠QPR

अब, QPR = y और ∠APR = 127° का मान रखने पर हमें प्राप्त होता है,

127° = 50°+ y

या, y = 77°

इस प्रकार, x और y के मानों की गणना इस प्रकार की जाती है:

x = 50° और y = 77°

6. आकृति 6.33 में, PQ और RS एक दूसरे के समानांतर रखे गए दो दर्पण हैं। एक आपतित किरण AB, दर्पण PQ से B पर टकराती है, परावर्तित किरण पथ BC पर चलती है और दर्पण RS से C पर टकराती है और पुनः CD के अनुदिश परावर्तित होती है। सिद्ध कीजिए कि AB || सीडी.

समाधान:

सबसे पहले, दो रेखाएँ BE और CF इस प्रकार खींचिए कि BE PQ और CF RS हो।

अब, चूंकि पीक्यू || रुपये,

तो, बीई || सीएफ़

हम जानते हैं कि,

आपतन कोण = परावर्तन कोण (प्रतिबिंब के नियम के अनुसार)

इसलिए,

∠1 = ∠2 और

3 = ∠4

हम यह भी जानते हैं कि एकांतर आंतरिक कोण बराबर होते हैं। यहाँ, BE CF और तिर्यक रेखा BC उन्हें B और C . पर काटती है

अतः, 2 = ∠3 (चूंकि वे एकांतर आंतरिक कोण हैं)

अब, 1 +∠2 = ∠3 +∠4

या, ABC = DCB

तो, एबी || सीडी (वैकल्पिक आंतरिक कोण बराबर हैं)

NCERT Solutions for Class 9 Maths Chapter 6 Exercise 6.3 Lines and Angles(रेखाएं और कोण) In Hindi Medium

अध्याय 6 - रेखाएँ और कोण व्यायाम 6.3

 

1. आकृति 6.39 में, PQR की भुजाएँ QP और RQ क्रमशः बिंदुओं S और T तक बढ़ाई गई हैं। यदि SPR = 135° और ∠PQT = 110°, तो PRQ ज्ञात कीजिए।

 

समाधान:

यह दिया गया है कि TQR एक सीधी रेखा है और इसलिए, रैखिक जोड़े (अर्थात ∠TQP और PQR) 180° तक जोड़ेंगे

अत: TQP +∠PQR = 180°

अब, TQP = 110° का मान रखने पर हमें प्राप्त होता है,

∠PQR = 70°

PQR पर विचार करें,

यहाँ, भुजा QP को S तक बढ़ाया गया है और इसलिए, SPR बाहरी कोण बनाता है।

अत: ∠SPR (∠SPR = 135°) अंत: सम्मुख कोणों के योग के बराबर होता है। (त्रिकोण गुण)

या, PQR +∠PRQ = 135°

अब, PQR = 70° का मान रखने पर हमें प्राप्त होता है,

PRQ = 135°-70°

अत: PRQ = 65°

2. आकृति 6.40 में, X = 62°, ∠XYZ = 54°। यदि YO और ZO, XYZ के क्रमशः XYZ और ∠XZY के समद्विभाजक हैं, तो OZY और YOZ ज्ञात कीजिए।

समाधान:

हम जानते हैं कि त्रिभुज के आंतरिक कोणों का योग।

अत: ∠X +∠XYZ +∠XZY = 180°

हमें प्राप्त होने वाले प्रश्न में दिए गए मानों को रखने पर,

62°+54° +∠XZY = 180°

या, XZY = 64°

अब, हम जानते हैं कि ZO समद्विभाजक है इसलिए,

OZY = ½ XZY

OZY = 32°

इसी प्रकार, YO एक समद्विभाजक है और इसलिए,

OYZ = ½ XYZ

या, OYZ = 27° (जैसा कि ∠XYZ = 54°)

अब, त्रिभुज के आंतरिक कोणों के योग के रूप में,

OZY +∠OYZ +∠O = 180°

उनके संबंधित मूल्यों को रखने पर, हम प्राप्त करते हैं,

O = 180°-32°-27°

अत: O = 121°

3. आकृति 6.41 में, यदि AB || DE, ∠BAC = 35° और ∠CDE = 53°, DCE ज्ञात कीजिए।

समाधान:

हम जानते हैं कि AE एक तिर्यक रेखा है क्योंकि AB || डे

यहाँ BAC और AED एकांतर अंतः कोण हैं।

अत: BAC = AED

दिया गया है कि BAC = 35°

एईडी = 35°

अब त्रिभुज सीडीई पर विचार करें। हम जानते हैं कि त्रिभुज के अंतः कोणों का योग 180° होता है।

DCE+∠CED+∠CDE = 180°

मान रखने पर, हम प्राप्त करते हैं

डीसीई+35°+53° = 180°

अत: DCE = 92°

4. आकृति 6.42 में, यदि रेखाएँ PQ और RS बिंदु T पर इस प्रकार प्रतिच्छेद करती हैं कि PRT = 40°, ∠RPT = 95° और TSQ = 75°, तो SQT ज्ञात कीजिए।

समाधान:

त्रिभुज पीआरटी पर विचार करें।

PRT +∠RPT + ∠PTR = 180°

अत: ∠PTR = 45°

अब PTR, STQ के बराबर होगा क्योंकि वे शीर्षाभिमुख कोण हैं।

अत: ∠PTR = ∠STQ = 45°

पुन: त्रिभुज STQ में,

TSQ +∠PTR + ∠SQT = 180°

इसे हल करने पर हमें प्राप्त होता है,

74° + 45° + SQT = 180°

एसक्यूटी = 60°

5. आकृति 6.43 में, यदि PQ PS, PQ || SR, ∠SQR = 28° और ∠QRT = 65°, तो x और y के मान ज्ञात कीजिए।

समाधान:

x +∠SQR = QRT (चूंकि वे एकांतर कोण हैं क्योंकि QR तिर्यक है)

अत: x+28° = 65°

∴ एक्स = 37°

यह भी ज्ञात है कि एकांतर आंतरिक कोण समान होते हैं और इसलिए,

QSR = x = 37°

साथ ही, अब,

QRS +∠QRT = 180° (क्योंकि वे एक रैखिक युग्म हैं)

या, ∠QRS+65° = 180°

अत: QRS = 115°

SPQ में कोण योग गुण का उपयोग करते हुए,

SPQ + x + y = 180°

उनके संबंधित मूल्यों को रखने पर, हम प्राप्त करते हैं,

90°+37° + y = 180°

वाई = 1800 - 1270 = 530

अत: y = 53°

6. आकृति 6.44 में, PQR की भुजा QR को बिंदु S तक बढ़ाया जाता है। यदि PQR और PRS के समद्विभाजक बिंदु T पर मिलते हैं, तो सिद्ध कीजिए कि QTR = ½ QPR है।

समाधान:

PQR पर विचार करें। PRS बाहरी कोण है और QPR और PQR आंतरिक कोण हैं।

तो, ∠PRS = ∠QPR+∠PQR (त्रिभुज गुण के अनुसार)

या, ∠PRS -∠PQR = ∠QPR ———–(i)

अब, QRT पर विचार करें,

∠TRS = TQR+∠QTR

या, QTR = TRS-∠TQR

हम जानते हैं कि QT और RT क्रमशः PQR और PRS को समद्विभाजित करते हैं।

अत: PRS = 2 TRS और PQR = 2∠TQR

अब, QTR = ½ ∠PRS – ½∠PQR

या, QTR = ½ (∠PRS -∠PQR)

(i) से हम जानते हैं कि PRS -∠PQR = QPR

तो, QTR = ½ QPR (इसलिए सिद्ध)।