NCERT Solutions for Class 9 Maths Chapter 5 Exercise 5.1 Euclid’s Geometry In Hindi Medium

NCERT Solutions for Class 9 Maths Chapter 5 Euclid’s Geometry In Hindi Medium

प्रश्नावली 5.1

प्रश्नावली 5.2

                                    अध्याय 5 - यूक्लिड के ज्यामिति अभ्यास का परिचय 5.1

1. निम्नलिखित में से कौन से कथन सत्य हैं और कौन से असत्य हैं? अपने उत्तरों के लिए कारण दीजिए।

(i) एक बिंदु से केवल एक रेखा गुजर सकती है।

(ii) अनंत रेखाएँ हैं जो दो भिन्न बिंदुओं से होकर गुजरती हैं।

(iii) एक समाप्त रेखा दोनों ओर अनिश्चित काल तक उत्पन्न की जा सकती है।

(iv) यदि दो वृत्त बराबर हों, तो उनकी त्रिज्याएँ बराबर होती हैं।

(v) आकृति 5.9 में, यदि AB = PQ और PQ = XY, तो AB = XY।

समाधान:

(i) झूठा

एक बिंदु से होकर खींची जा सकने वाली असंख्य रेखाएँ हो सकती हैं। अत: उल्लिखित कथन असत्य है

(ii) असत्य

दो अलग-अलग बिंदुओं से होकर केवल एक ही रेखा खींची जा सकती है। अत: उल्लिखित कथन असत्य है

(iii) सच

एक रेखा जिसे समाप्त किया जाता है, दोनों पक्षों पर अनिश्चित काल के लिए उत्पन्न किया जा सकता है क्योंकि एक रेखा को इसके दोनों ओर असीम रूप से बढ़ाया जा सकता है। अतः उल्लिखित कथन सत्य है।

(iv) सत्य

जब दो वृत्त बराबर होते हैं तो दो वृत्तों की त्रिज्याएँ बराबर होती हैं। दोनों वृत्तों की परिधि और केंद्र मेल खाते हैं; और इस प्रकार, दो वृत्तों की त्रिज्या बराबर होनी चाहिए। अतः उल्लिखित कथन सत्य है।

(v) सत्य

यूक्लिड के प्रथम अभिगृहीत के अनुसार- "जो वस्तुएँ एक ही वस्तु के बराबर होती हैं वे एक दूसरे के बराबर भी होती हैं।" अतः उल्लिखित कथन सत्य है।

2. निम्नलिखित में से प्रत्येक पद की परिभाषा दीजिए। क्या ऐसे अन्य शब्द हैं जिन्हें पहले परिभाषित करने की आवश्यकता है? वे क्या हैं, और आप उन्हें कैसे परिभाषित कर सकते हैं?

(i) समानांतर रेखाएं

(ii) लंबवत रेखाएं

(iii) रेखा खंड

(iv) एक वृत्त की त्रिज्या

(वी) वर्ग

समाधान:

हां, कुछ अन्य शब्द हैं जिन्हें पहले परिभाषित करने की आवश्यकता है, वे हैं:

समतल: समतल सतहें जिनमें ज्यामितीय आकृतियाँ खींची जा सकती हैं, समतल कहलाती हैं। एक समतल सतह एक ऐसी सतह होती है जो अपने आप में सीधी रेखाओं के साथ समान रूप से स्थित होती है।

बिंदु: एक आयामहीन बिंदु जो एक समतल सतह पर खींचा जाता है, बिंदु के रूप में जाना जाता है। बिंदु वह है जिसका कोई हिस्सा नहीं है।

रेखा (Line) : बिन्दुओं का वह संग्रह जिसमें केवल लम्बाई और चौड़ाई न हो, रेखा कहलाती है। और इसे दोनों दिशाओं में बढ़ाया जा सकता है। एक रेखा चौड़ाई-रहित लंबाई की होती है।

(i) समानांतर रेखाएँ - समानांतर रेखाएँ वे रेखाएँ होती हैं जो कभी एक दूसरे को नहीं काटती हैं और हमेशा एक दूसरे से लंबवत दूरी पर होती हैं। समानांतर रेखाएं दो या दो से अधिक रेखाएं हो सकती हैं।

(ii) लम्बवत रेखाएँ - लम्बवत रेखाएँ वे रेखाएँ होती हैं जो समतल में एक दूसरे को समकोण पर काटती हैं तो रेखाएँ एक-दूसरे पर लंबवत कहलाती हैं।

(iii) रेखाखंड - जब किसी रेखा को उसके दो अंतिम बिंदुओं के कारण और आगे नहीं बढ़ाया जा सकता है तो वह रेखा रेखाखंड के रूप में जानी जाती है। एक रेखा खंड में 2 अंत बिंदु होते हैं।

(iv) वृत्त की त्रिज्या - वृत्त की त्रिज्या वृत्त की परिधि के किसी भी बिंदु से वृत्त के केंद्र तक की रेखा होती है।

(v) वर्ग - वह चतुर्भुज जिसकी चारों भुजाएँ समान हों और उसका प्रत्येक आंतरिक कोण समकोण हो, वर्ग कहलाता है।

3. नीचे दी गई दो अभिधारणाओं पर विचार करें:

(i) किन्हीं दो अलग-अलग बिंदुओं A और B को देखते हुए, एक तीसरा बिंदु C मौजूद है जो A और B के बीच में है।

(ii) ऐसे कम से कम तीन बिंदु मौजूद हैं जो एक ही रेखा पर नहीं हैं।

क्या इन अभिधारणाओं में कोई अपरिभाषित पद हैं? क्या ये अभिधारणा सुसंगत हैं? क्या वे यूक्लिड की अभिधारणाओं का अनुसरण करते हैं? समझाना।

समाधान:

हां, इन अभिधारणाओं में अपरिभाषित पद हैं। अभिधारणाओं में अपरिभाषित शब्द हैं:

- ऐसे कई बिंदु हैं जो एक समतल में स्थित होते हैं। लेकिन, यहां दी गई अभिधारणाओं में, बिंदु C की स्थिति नहीं दी गई है, जैसे कि वह AB को मिलाने वाले रेखाखंड पर स्थित है या नहीं।

- उसके ऊपर, इस बारे में कोई जानकारी नहीं है कि बिंदु एक ही विमान में हैं या नहीं।

और

हाँ, जब हम इन दो स्थितियों से निपटते हैं तो ये अभिधारणाएँ संगत होती हैं:

- बिंदु C, A और B के बीच रेखाखंड AB पर स्थित है।

- बिंदु C रेखाखंड AB पर नहीं है।

नहीं, वे यूक्लिड की अभिधारणाओं का अनुसरण नहीं करते हैं। वे सिद्धांतों का पालन करते हैं।

4. यदि एक बिंदु C दो बिंदुओं A और B के बीच इस प्रकार स्थित है कि AC = BC है, तो सिद्ध कीजिए कि AC = ½ AB है। चित्र बनाकर समझाइए।

समाधान:

दिया गया है, AC = BC

अब दोनों तरफ एसी लगा रहे हैं।

एल.एच.एस+एसी = आर.एच.एस+एसी

एसी+एसी = बीसी+एसी

2एसी = बीसी+एसी

हम जानते हैं कि, BC+AC = AB (क्योंकि यह रेखाखंड AB के साथ संपाती है)

∴ 2 एसी = एबी (यदि बराबर को बराबर में जोड़ा जाता है, तो पूर्ण बराबर होते हैं।)

⇒ एसी = (½)एबी।

5. प्रश्न 4 में, बिंदु C को रेखाखंड AB का मध्य-बिंदु कहा जाता है। सिद्ध कीजिए कि प्रत्येक रेखाखंड में एक और केवल एक मध्य-बिंदु होता है।

समाधान:

माना, AB रेखाखंड है

मान लीजिए कि बिंदु P और Q AB के दो अलग-अलग मध्य बिंदु हैं।

अभी,

P और Q AB के मध्यबिंदु हैं।

इसलिए,

एपी = पीबी और एक्यू = क्यूबी।

भी,

PB+AP = AB (क्योंकि यह रेखाखंड AB से संपाती है)

इसी प्रकार, QB+AQ = AB।

अभी,

AP को समीकरण AP = PB . के L.H.S और R.H.S में जोड़ना

हम पाते हैं, AP+AP = PB+AP (यदि बराबर को बराबर में जोड़ा जाता है, तो पूर्ण बराबर होते हैं।)

⇒ 2AP = AB — (i)

इसी तरह,

2 एक्यू = एबी - (ii)

(i) और (ii) से, क्योंकि R.H.S समान हैं, हम L.H.S को समान करते हैं

2 एपी = 2 एक्यू (जो चीजें एक ही चीज के बराबर होती हैं वे एक दूसरे के बराबर होती हैं।)

AP = AQ (जो वस्तुएँ एक ही वस्तु की दुगुनी होती हैं वे एक दूसरे के बराबर होती हैं।)

इस प्रकार, हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि P और Q एक ही बिंदु हैं।

यह हमारी इस धारणा का खंडन करता है कि P और Q AB के दो अलग-अलग मध्य बिंदु हैं।

इस प्रकार, यह सिद्ध हो जाता है कि प्रत्येक रेखाखंड में एक और केवल एक मध्य-बिंदु होता है।

इसलिए सिद्ध।

6. आकृति 5.10 में, यदि AC = BD है, तो सिद्ध कीजिए कि AB = CD है।

समाधान:

यह दिया गया है, AC = BD

दी गई आकृति से, हम प्राप्त करते हैं,

एसी = एबी+बीसी

बीडी = बीसी+सीडी

AB+BC = BC+CD [AC = BD, दिया गया]

हम जानते हैं कि यूक्लिड के अभिगृहीत के अनुसार, जब बराबरों को बराबर में से घटाया जाता है, तो शेषफल भी बराबर होते हैं।

समीकरण AB+BC = BC+CD के L.H.S और R.H.S से BC घटाने पर, हम प्राप्त करते हैं,

एबी+बीसी-बीसी = बीसी+सीडी-बीसी

एबी = सीडी

इसलिए सिद्ध।

7. यूक्लिड के अभिगृहीतों की सूची में अभिगृहीत 5 को 'सार्वभौमिक सत्य' क्यों माना जाता है? (ध्यान दें कि प्रश्न पांचवीं अभिधारणा के बारे में नहीं है।)

समाधान:

अभिगृहीत 5: पूर्ण हमेशा भाग से बड़ा होता है।

प्रश्नावली 5.1

प्रश्नावली 5.2