NCERT Solutions for Class 9 Maths  Chapter 13 – Surface Areas and Volumes  In Hindi Medium

 NCERT Solutions for Class 9 Maths Exercise 13.1 Chapter 13 – Surface Areas and Volumes  In Hindi Medium

अध्याय 13 - पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन अभ्यास 13.1

1. एक प्लास्टिक का डिब्बा 1.5 मीटर लंबा, 1.25 मीटर चौड़ा और 65 सेंटीमीटर गहरा बनाया जाना है। इसे शीर्ष पर खुला होना है। प्लास्टिक शीट की मोटाई को नजरअंदाज करते हुए, निर्धारित करें:

(i) बॉक्स बनाने के लिए आवश्यक शीट का क्षेत्रफल।

(ii) इसके लिए शीट की लागत, यदि 1m2 मापने वाली शीट की लागत रु। 20.

समाधान:

दिया गया है: बॉक्स की लंबाई (l) = 1.5m

बॉक्स की चौड़ाई (b) = 1.25 m

बॉक्स की गहराई (h) = 0.65m

(i) बॉक्स को सबसे ऊपर खोलना है

आवश्यक शीट का क्षेत्रफल।

= 2एलएच+2बीएच+एलबी

= [2×1.5×0.65+2×1.25×0.65+1.5×1.25]एम2

= (1.95+1.625+1.875) एम2 = 5.45 एम2

(ii) शीट प्रति एम2 क्षेत्र की लागत = 20 रुपये।

5.45 वर्गमीटर क्षेत्रफल वाली शीट का मूल्य = रु (5.45×20)

= 109 रुपये।

2. एक कमरे की लंबाई, चौड़ाई और ऊंचाई क्रमशः 5 मीटर, 4 मीटर और 3 मीटर है। 7.50 रुपये प्रति वर्ग मीटर की दर से कमरे की दीवारों और छत की सफेदी का खर्च ज्ञात कीजिए।

समाधान:

कमरे की लंबाई (l) = 5m

चौड़ाई (b) कमरे की = 4m

कमरे की ऊँचाई (h) = 3m

यह देखा जा सकता है कि कमरे की चार दीवारों और छत को सफेदी से धोना है।

सफेद धुलाई का कुल क्षेत्रफल = दीवारों का क्षेत्रफल + कमरे की छत का क्षेत्रफल

= 2एलएच+2बीएच+एलबी

= [2×5×3+2×4×3+5×4]

= (30+24+20)

= 74

क्षेत्रफल = 74 m2

भी,

सफेद धुलाई प्रति एम2 क्षेत्र की लागत = रु.7.50 (दिया गया)

सफेदी की लागत 74 वर्गमीटर क्षेत्रफल = रु. (74×7.50)

= रु. 555

3. एक आयताकार हॉल के फर्श का परिमाप 250 मीटर है। यदि चार दीवारों को 10 रुपये प्रति वर्ग मीटर की दर से रंगने की लागत 15000 रुपये है, तो हॉल की ऊंचाई पाएं।

[संकेत: चारों दीवारों का क्षेत्रफल = पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल।]

समाधान:

माना आयताकार हॉल की लंबाई, चौड़ाई और ऊंचाई क्रमशः l, b और h है।

चार दीवारों का क्षेत्रफल = 2lh+2bh

= 2(एल+बी)एच

हॉल के फर्श का परिमाप = 2(l+b)

= 250 वर्ग मीटर

चार दीवारों का क्षेत्रफल = 2(l+b) h = 250h m2

प्रति वर्ग मीटर क्षेत्र में पेंटिंग की लागत = रु.10

250h वर्ग मीटर क्षेत्र को पेंट करने की लागत = रुपये (250h×10) = रुपये 2500h

हालांकि, यह दिया जाता है कि दीवारों को पेंट करने की लागत रु। 15000.

15000 = 2500h

या एच = 6

अत: हॉल की ऊंचाई 6 मीटर है।

4. एक निश्चित कंटेनर में पेंट 9.375 एम 2 के बराबर क्षेत्र को पेंट करने के लिए पर्याप्त है। इस कंटेनर से 22.5 सेमी × 10 सेमी × 7.5 सेमी आयाम की कितनी ईंटें पेंट की जा सकती हैं?

समाधान:

एक ईंट का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2(lb +bh+lb)

= [2(22.5×10+10×7.5+22.5×7.5)] सेमी2

= 2(225+75+168.75) सेमी2

= (2×468.75) सेमी2

= 937.5 सेमी2

मान लीजिए n ईंटों को कंटेनर के पेंट से रंगा जा सकता है

n ईंटों का क्षेत्रफल = (n×937.5) cm2 = 937.5n cm2

दिए गए निर्देशों के अनुसार, बर्तन के रंग से रंगा जा सकने वाला क्षेत्रफल = 9.375 m2 = 93750 cm2

तो, हमारे पास, 93750 = 937.5n

एन = 100

इसलिए, कंटेनर के पेंट से 100 ईंटों को पेंट किया जा सकता है।

5. एक घनाकार डिब्बे का प्रत्येक किनारा 10 सेमी और दूसरा घनाकार डिब्बा 12.5 सेमी लंबा, 10 सेमी चौड़ा और 8 सेमी ऊंचा है।

(i) किस डिब्बे का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल अधिक है और कितना है?

(ii) किस डिब्बे का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल कम है और कितना है?

समाधान:

प्रश्न कथन से, हमारे पास है

घन का किनारा = 10cm

लंबाई, एल = 12.5 सेमी

चौड़ाई, ख = 10 सेमी

ऊंचाई, एच = 8 सेमी

(i) दोनों आकृतियों के लिए पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए

क्यूबिकल बॉक्स का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल = 4 (किनारे)2

= 4(10)2

= 400 सेमी2 …(1)

घनाभ बॉक्स का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2[lh+bh]

= [2(12.5×8+10×8)]

= (2×180) = 360

अत: घनाभ बॉक्स का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल 360 सेमी2 है। ...(2)

(1) और (2) से, क्यूबिकल बॉक्स का पार्श्व सतह क्षेत्र क्यूबाइडल बॉक्स के पार्श्व सतह क्षेत्र से अधिक है। दोनों पार्श्व सतहों के बीच का अंतर 40 सेमी2 है।

(घनकार डिब्बे का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल - घनाभ बॉक्स का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल = 400cm2–360cm2 = 40 cm2)

(ii) दोनों आकृतियों का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए

क्यूबिकल बॉक्स का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = 6(किनारे)2 = 6(10 सेमी)2 = 600 सेमी2…(3)

घनाभ बॉक्स का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल

= 2[एलएच+बीएच+एलबी]

= [2(12.5×8+10×8+12.5×100)]

= 610

इसका तात्पर्य है, घनाभ बॉक्स का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल 610 cm2 है..(4)

(3) और (4) से, क्यूबिकल बॉक्स का कुल सतह क्षेत्र क्यूबाइडल बॉक्स की तुलना में छोटा होता है। और उनका अंतर 10cm2 है।

इसलिए, क्यूबिकल बॉक्स का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल घनाभ बॉक्स की तुलना में 10 cm2 कम है

6. एक छोटा इनडोर ग्रीनहाउस (हर्बेरियम) पूरी तरह से कांच के शीशे (आधार सहित) से बना होता है, जिसे टेप से बांधा जाता है। यह 30 सेमी लंबा, 25 सेमी चौड़ा और 25 सेमी ऊँचा होता है।

(i) कांच का क्षेत्रफल क्या है?

(ii) सभी 12 किनारों के लिए कितने टेप की आवश्यकता है?

समाधान:

ग्रीनहाउस की लंबाई, मान लीजिए l = 30cm

ग्रीनहाउस की चौड़ाई, मान लीजिए b = 25 cm

ग्रीनहाउस की ऊँचाई, मान लीजिए h = 25 cm

(i) ग्रीनहाउस का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = कांच का क्षेत्रफल = 2[lb+lh+bh]

= [2 (30×25+30×25+25×25)]

= [2 (750+750+625)]

= (2×2125) = 4250

कांच का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल 4250 सेमी2 . है

(ii)

आकृति से, AB, BC, CD, DA, EF, FG, GH, HE AH, BE, DG, और CF पक्षों के साथ टेप की आवश्यकता है।

टेप की कुल लंबाई = 4(l+b+h)

= [4(30+25+25)] (मानों को प्रतिस्थापित करने के बाद)

= 320

इसलिए, सभी 12 किनारों के लिए 320 सेमी टेप की आवश्यकता है।

7. शांति स्वीट्स स्टॉल अपनी मिठाइयों की पैकिंग के लिए गत्ते के डिब्बे बनाने का ऑर्डर दे रहा था। दो आकार के बक्सों की आवश्यकता थी। बड़ा आयाम 25 सेमी × 20 सेमी × 5 सेमी और छोटा आयाम 15 सेमी × 12 सेमी × 5 सेमी। सभी अतिव्यापनों के लिए, कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल का 5% अतिरिक्त आवश्यक है। यदि गत्ते की कीमत रु. 1000 सेमी2 के लिए 4, प्रत्येक प्रकार के 250 बक्सों की आपूर्ति के लिए आवश्यक कार्डबोर्ड की लागत ज्ञात कीजिए।

समाधान:

मान लीजिए l, b और h बॉक्स की लंबाई, चौड़ाई और ऊंचाई हैं।

बड़ा बॉक्स:

एल = 25 सेमी

बी = 20 सेमी

एच = 5 सेमी

बड़े डिब्बे का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2(lb+lh+bh)

= [2 (25×20+25×5+20×5)]

= [2(500+125+100)]

= 1450 सेमी2

अतिव्यापन के लिए आवश्यक अतिरिक्त क्षेत्र 1450×5/100 cm2

= 72.5 सेमी2

सभी गोदों पर विचार करते समय, बड़े बॉक्स का कुल सतह क्षेत्र

= (1450+72.5) सेमी2 = 1522.5 सेमी2

ऐसे 250 बड़े बक्सों के लिए आवश्यक कार्डबोर्ड शीट का क्षेत्रफल

= (1522.5×250) सेमी2 = 380625 सेमी2

छोटा बॉक्स:

Area of cardboard sheet required for 250 smaller boxes = (250×661.5) cm² = 165375 cm²

In Short:

Box	Dimensions (in cm)	Total surface area (in cm2 )	Extra area required for overlapping (in cm2)	Total surface area for all overlaps (in cm 2)	Area for 250 such boxes (in cm2)
Bigger Box	l = 25 b = 20 c = 5	1450	1450×5/100 = 72.5	(1450+72.5) = 1522.5	(1522.5×250) = 380625
Smaller Box	l = 15 b = 12 h =5	630	630×5/100 = 31.5	(630+31.5) = 661.5	( 250×661.5) = 165375

 

इसी प्रकार, छोटे डिब्बे का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = [2(15×12+15×5+12×5)] cm2

= [2(180+75+60)] सेमी2

= (2×315) सेमी2

= 630 सेमी2

अत: अतिव्यापन के लिए आवश्यक अतिरिक्त क्षेत्रफल 630×5/100 cm2 = 31.5 cm2

सभी ओवरलैप पर विचार करते हुए 1 छोटे बॉक्स का कुल सतह क्षेत्र

= (630+31.5) सेमी2 = 661.5 सेमी2

250 छोटे बक्सों के लिए आवश्यक कार्डबोर्ड शीट का क्षेत्रफल = (250×661.5) cm2 = 165375 cm2

संक्षेप में:

बॉक्स आयाम (सेमी में) कुल सतह क्षेत्र (सेमी 2 में) ओवरलैपिंग के लिए आवश्यक अतिरिक्त क्षेत्र (सेमी 2 में) सभी ओवरलैप के लिए कुल सतह क्षेत्र (सेमी 2 में) 250 ऐसे बक्से के लिए क्षेत्र (सेमी 2 में)

बड़ा डिब्बा l = 25

बी = 20

सी = 5 1450 1450×5/100

= 72.5 (1450+72.5) = 1522.5 (1522.5×250) = 380625

छोटा डिब्बा l = 15

बी = 12

एच =5 630 630×5/100 = 31.5 (630+31.5) = 661.5 ( 250×661.5) = 165375

अब, कुल कार्डबोर्ड शीट की आवश्यकता = (380625+165375) cm2

= 546000 सेमी2

दिया गया है: 1000 सेमी2 कार्डबोर्ड शीट का मूल्य = रु. 4

इसलिए, 546000 सेमी2 कार्डबोर्ड शीट का मूल्य =रु। (546000×4)/1000 = रु. 2184

इसलिए, प्रत्येक प्रकार के 250 बक्से की आपूर्ति के लिए आवश्यक कार्डबोर्ड की लागत रु। 2184.

8. प्रवीण तिरपाल के साथ एक बॉक्स जैसी संरचना बनाकर अपनी कार के लिए एक अस्थायी आश्रय बनाना चाहता था, जो चारों तरफ और कार के शीर्ष को कवर करता है (सामने वाला चेहरा एक फ्लैप के रूप में जिसे लुढ़काया जा सकता है)। यह मानते हुए कि सिलाई का मार्जिन बहुत छोटा है, और इसलिए नगण्य है, आधार आयाम 4m×3m के साथ 2.5m ऊंचाई का आश्रय बनाने के लिए कितने तिरपाल की आवश्यकता होगी?

समाधान:

मान लीजिए l, b और h आश्रय की लंबाई, चौड़ाई और ऊंचाई हैं।

दिया गया:

एल = 4m

बी = 3 एम

एच = 2.5 एम

आश्रय के ऊपर और चार दीवारों के लिए तिरपाल की आवश्यकता होगी।

सूत्र का उपयोग करते हुए, आवश्यक तिरपाल का क्षेत्रफल = 2(lh+bh)+lb

l, b और h के मान रखने पर, हम प्राप्त करते हैं

= [2(4×2.5+3×2.5)+4×3] एम2

= [2(10+7.5)+12]एम2

= 47m2

इसलिए 47 एम2 तिरपाल की आवश्यकता होगी।

 NCERT Solutions for Class 9 Maths Exercise 13.2 Chapter 13 – Surface Areas and Volumes  In Hindi Medium

अध्याय 13 पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन अभ्यास 13.2

1. 14 cm ऊँचाई वाले एक लंब वृत्तीय बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल 88 cm' है। बेलन के आधार का व्यास ज्ञात कीजिए। (मान लीजिए =22/7 )

समाधान:

बेलन की ऊँचाई, h = 14cm

माना बेलन का व्यास d . है

बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = 88 cm2

हम जानते हैं कि बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात करने का सूत्र 2πrh है।

अतः 2πrh =88 cm2 (r बेलन के आधार की त्रिज्या है)

2×(22/7)×r×14 = 88 सेमी2

2r = 2 सेमी

घ = 2 सेमी

अतः बेलन के आधार का व्यास 2 सेमी है।

2. एक धातु की शीट से 1m ऊँचाई और आधार व्यास 140cm का एक बंद बेलनाकार टैंक बनाना आवश्यक है। इसके लिए कितने वर्ग मीटर शीट की आवश्यकता होगी? मान लीजिए = 22/7

समाधान:

मान लीजिए h ऊँचाई है और r एक बेलनाकार टैंक की त्रिज्या है।

बेलनाकार टैंक की ऊँचाई, h = 1m

त्रिज्या = आधा व्यास = (140/2) सेमी = 70 सेमी = 0.7 मी

आवश्यक शीट का क्षेत्रफल = टैंक की कुल सतह = 2πr(r+h) इकाई वर्ग

= [2×(22/7)×0.7(0.7+1)]

= 7.48 वर्ग मीटर

इसलिए, शीट के 7.48 वर्ग मीटर की आवश्यकता है।

3. एक धातु का पाइप 77 सेमी लंबा है। एक क्रॉस सेक्शन का आंतरिक व्यास 4 सेमी है, बाहरी व्यास 4.4 सेमी है। (अंजीर देखें। 13.11)। इसका पता लगाएं

(i) आंतरिक घुमावदार सतह क्षेत्र,

(ii) बाहरी घुमावदार सतह क्षेत्र

(iii) कुल सतह क्षेत्र

(मान लीजिए =22/7)

समाधान:

माना r1 और r2 बेलनाकार पाइप की आंतरिक और बाहरी त्रिज्या

r1 = 4/2 सेमी = 2 सेमी

r2 = 4.4/2 सेमी = 2.2 सेमी

बेलनाकार पाइप की ऊंचाई, h = बेलनाकार पाइप की लंबाई = 77 सेमी

(i) पाइप की बाहरी सतह का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2πr1h

= 2×(22/7)×2×77 सेमी2

= 968 सेमी2

(ii) पाइप की बाहरी सतह का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2πr2h

= 2×(22/7)×2.2×77 सेमी2

= (22×22×2.2) सेमी2

= 1064.8 सेमी2

(iii) पाइप का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = आंतरिक वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल + बाहरी वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल + पाइप के दोनों वृत्ताकार सिरों का क्षेत्रफल।

= 2r1h+2r2h+2π(r12-r22)

= 9668+1064.8+2×(22/7)×(2.22-22)

= 2031.8+5.28

= 2038.08 सेमी2

अतः बेलनाकार पाइप का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल 2038.08 cm2 है।

4. एक रोलर का व्यास 84 सेमी है और इसकी लंबाई 120 सेमी है। इसमें 500 पूर्ण चक्कर लगते हैं

खेल के मैदान को समतल करने के लिए एक बार आगे बढ़ें। m2 में खेल के मैदान का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए? (मान लीजिए = 22/7)

समाधान:

एक रोलर एक सिलेंडर के आकार का होता है।

माना रोलर की ऊंचाई h और त्रिज्या r है।

h = रोलर की लंबाई = 120 सेमी

रोलर के वृत्ताकार सिरे की त्रिज्या = r = (84/2) सेमी = 42 सेमी

अब, रोलर का CSA = 2πrh

= 2×(22/7)×42×120

= 31680 सेमी2

क्षेत्र का क्षेत्रफल = 500×रोलर का CSA

= (500×31680) सेमी2

= 15840000 सेमी2

= 1584 एम2।

अत: खेल के मैदान का क्षेत्रफल 1584 वर्ग मीटर है।

5. एक बेलनाकार स्तंभ 50 सेमी व्यास और 3.5 मीटर ऊंचाई का है। रुपये की दर से खंभे की घुमावदार सतह को पेंट करने की लागत पाएं। 12.50 प्रति एम2।

(मान लीजिए = 22/7)

समाधान:

माना एक बेलनाकार स्तंभ की ऊंचाई h है और r त्रिज्या है।

दिया गया:

ऊँचाई बेलनाकार स्तंभ = h = 3.5 m

स्तंभ के वृत्ताकार सिरे की त्रिज्या = r = व्यास/2 = 50/2 = 25cm = 0.25m

स्तंभ का सीएसए = 2πrh

= 2×(22/7)×0.25×3.5

= 5.5 एम2

पेंटिंग की लागत 1 वर्ग मीटर क्षेत्रफल = रु. 12.50

पेंटिंग की लागत 5.5 वर्ग मीटर क्षेत्रफल = रुपये (5.5×12.50)

= रु.68.75

इसलिए, खंभे की घुमावदार सतह को पेंट करने की लागत रुपये की दर से है। 12.50 प्रति वर्ग मीटर 68.75 रुपये है।

6. एक लम्ब वृत्तीय बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल 4.4 m2 है। यदि बेलन के आधार के आधार की त्रिज्या 0.7 मी है, तो इसकी ऊँचाई ज्ञात कीजिए। (मान लीजिए = 22/7)

समाधान:

माना वृत्तीय बेलन की ऊँचाई h है और r त्रिज्या है।

बेलन के आधार की त्रिज्या, r = 0.7m

बेलन का CSA = 2πrh

सिलेंडर का सीएसए = 4.4m2

दोनों समीकरणों को बराबर करने पर, हमारे पास है

2×(22/7)×0.7×h = 4.4

या एच = 1

अत: बेलन की ऊँचाई 1 m है।

7. एक वृत्ताकार कुएँ का भीतरी व्यास 3.5m है। यह 10 मीटर गहरा है। पाना

(i) इसका आंतरिक वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल,

(ii) रुपये की दर से इस घुमावदार सतह को पलस्तर करने की लागत। 40 प्रति एम2।

(मान लीजिए = 22/7)

समाधान:

वृत्ताकार कुएँ की भीतरी त्रिज्या, r = 3.5/2m = 1.75m

वृत्ताकार कुएँ की गहराई, मान लीजिए h = 10m

(i) आंतरिक वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2πrh

= (2×(22/7)×1.75×10)

= 110 एम2

अत: वृत्ताकार कुएँ का आंतरिक वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल 110 m2 है।

(ii) 1 वर्ग मीटर क्षेत्रफल पर प्लास्टर करने की लागत = रु.40

110 वर्गमीटर क्षेत्रफल पर प्लास्टर करने की लागत = रु (110×40)

= रु.4400

इसलिए, कुएं की घुमावदार सतह को पलस्तर करने की लागत रु। 4400.

8. एक गर्म पानी के हीटिंग सिस्टम में, 28 मीटर लंबाई और 5 सेमी व्यास का बेलनाकार पाइप होता है। पाना

प्रणाली में कुल विकिरण सतह। (मान लीजिए = 22/7)

समाधान:

बेलनाकार पाइप की ऊंचाई = बेलनाकार पाइप की लंबाई = 28m

पाइप के वृत्ताकार सिरे की त्रिज्या = व्यास/2 = 5/2 सेमी = 2.5 सेमी = 0.025 मी

अब, बेलनाकार पाइप का CSA = 2πrh, जहाँ r = त्रिज्या और h = बेलन की ऊँचाई

= 2×(22/7)×0.025×28 m2

= 4.4m2

प्रणाली की विकिरण सतह का क्षेत्रफल 4.4m2 है।

9. खोजें

(i) एक बंद बेलनाकार पेट्रोल भंडारण टैंक का पार्श्व या घुमावदार सतह क्षेत्र जो 4.2 मीटर in . है

व्यास और 4.5 मीटर ऊँचा।

(ii) वास्तव में कितना स्टील इस्तेमाल किया गया था, अगर वास्तव में इस्तेमाल किया गया स्टील का 1/12 टैंक बनाने में बर्बाद हो गया था। (मान लीजिए = 22/7)

समाधान:

बेलनाकार टैंक की ऊँचाई, h = 4.5m

वृत्ताकार सिरे की त्रिज्या, r = (4.2/2)m = 2.1m

(i) बेलनाकार टैंक का पार्श्व या वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल 2πrh . है

= 2×(22/7)×2.1×4.5 एम2

= (44×0.3×4.5) एम2

= 59.4 एम2

अत: टैंक का CSA 59.4 m2 है।

(ii) टैंक का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2πr(r+h)

= 2×(22/7)×2.1×(2.1+4.5)

= 44×0.3×6.6

= 87.12 एम2

अब, टैंक बनाने में वास्तव में S m2 स्टील शीट का उपयोग करने दें।

एस(1 -1/12) = 87.12 एम2

इसका मतलब है, एस = 95.04 एम 2

इसलिए, इस तरह के टैंक को बनाते समय 95.04m2 स्टील का वास्तविक उपयोग किया गया था।

10. अंजीर में। 13.12, आप एक लैंपशेड का फ्रेम देखते हैं। इसे एक सजावटी कपड़े से ढंकना है।

फ्रेम का आधार व्यास 20 सेमी और ऊंचाई 30 सेमी है। फ्रेम के ऊपर और नीचे इसे मोड़ने के लिए 2.5 सेमी का मार्जिन दिया जाना है। ज्ञात कीजिए कि लैम्पशेड को ढकने के लिए कितने कपड़े की आवश्यकता है। (मान लीजिए = 22/7)

समाधान:

मान लीजिए h = लैम्पशेड के फ्रेम की ऊंचाई, बेलनाकार आकार जैसा दिखता है

आर = त्रिज्या

कुल ऊंचाई h = (2.5+30+2.5) सेमी = 35 सेमी और

आर = (20/2) सेमी = 10 सेमी

2πrh . के लैम्पशेड को ढकने के लिए आवश्यक कपड़े को खोजने के लिए घुमावदार सतह क्षेत्र सूत्र का उपयोग करें

= (2×(22/7)×10×35) सेमी2

= 2200 सेमी2

इसलिए, लैम्पशेड को ढकने के लिए 2200 सेमी2 कपड़े की आवश्यकता होती है।

11. विद्यालय के छात्रों को कार्डबोर्ड का उपयोग करके आधार के साथ एक सिलेंडर के आकार में पेनहोल्डर बनाने और सजाने के लिए एक प्रतियोगिता में भाग लेने के लिए कहा गया था। प्रत्येक पेनहोल्डर की त्रिज्या 3 सेमी और ऊंचाई 10.5 सेमी होनी चाहिए। विद्यालय को प्रतियोगियों को कार्डबोर्ड की आपूर्ति करनी थी। यदि 35 प्रतियोगी थे, तो प्रतियोगिता के लिए कितने कार्डबोर्ड खरीदने की आवश्यकता थी? (मान लीजिए =22/7)

समाधान:

बेलनाकार पेनहोल्डर के वृत्ताकार सिरे की त्रिज्या, r = 3cm

पेनहोल्डर की ऊंचाई, h = 10.5cm

पेन होल्डर का पृष्ठीय क्षेत्रफल = पेन होल्डर का CSA + पेन होल्डर के आधार का क्षेत्रफल

= 2πrh+πr2

= 2×(22/7)×3×10.5+(22/7)×32= 1584/7

इसलिए, एक प्रतियोगी द्वारा प्रयुक्त कार्डबोर्ड शीट का क्षेत्रफल 1584/7 cm2 . है

तो, 35 प्रतियोगियों द्वारा प्रयुक्त कार्डबोर्ड शीट का क्षेत्रफल = 35×1584/7 = 7920 cm2

इसलिए प्रतियोगिता के लिए 7920 सेमी2 कार्डबोर्ड शीट की आवश्यकता होगी।

 NCERT Solutions for Class 9 Maths Exercise 13.3 Chapter 13 – Surface Areas and Volumes  In Hindi Medium

अध्याय 13 सतही क्षेत्रफल और आयतन अभ्यास 13.3

1. एक शंकु के आधार का व्यास 10.5 सेमी है और इसकी तिर्यक ऊंचाई 10 सेमी है। इसका वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए (मान लीजिए =22/7)

समाधान:

शंकु के आधार की त्रिज्या = व्यास/2 = (10.5/2)cm = 5.25cm

शंकु की तिर्यक ऊँचाई, मान लीजिए l = 10 cm

शंकु का CSA = rl . है

= (22/7)×5.25×10 = 165 सेमी2

अतः शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल 165 cm' है।

2. एक शंकु का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, यदि इसकी तिर्यक ऊँचाई 21 मीटर और आधार का व्यास 24 मीटर है। (मान लीजिए = 22/7)

समाधान:

शंकु की त्रिज्या, r = 24/2 m = 12m

तिरछी ऊँचाई, l = 21 m

सूत्र: शंकु का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = r(l+r)

शंकु का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = (22/7)×12×(21+12) m2

= 1244.57m2

3. एक शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल 308 सेमी2 है और इसकी तिर्यक ऊंचाई 14 सेमी है। पाना

(i) आधार की त्रिज्या और (ii) शंकु का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल।

(मान लीजिए = 22/7)

समाधान:

शंकु की तिर्यक ऊँचाई, l = 14 cm

माना शंकु की त्रिज्या r है।

(i) हम जानते हैं, शंकु का CSA = rl

दिया गया है: एक शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल 308 सेमी2 है

(308 ) = (22/7)×r×14

308 = 44 आर

आर = 308/44 = 7 सेमी

एक शंकु के आधार की त्रिज्या 7 सेमी है।

(ii) शंकु का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = शंकु का CSA + आधार का क्षेत्रफल (πr2)

शंकु का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = 308+(22/7)×72 = 308+154 = 462 सेमी2

अत: शंकु का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल 462 cm' है।

4. एक शंक्वाकार तंबू 10 मीटर ऊंचा है और उसके आधार की त्रिज्या 24 मीटर है। पाना

(i) तम्बू की तिरछी ऊँचाई।

(ii) तम्बू बनाने के लिए आवश्यक कैनवास की लागत, यदि 1 मी 2 कैनवास की लागत 70 रुपये है।

(मान लीजिए =22/7)

समाधान:

माना ABC एक शंक्वाकार तम्बू है

शंक्वाकार तम्बू की ऊँचाई, h = 10 m

शंक्वाकार तम्बू की त्रिज्या, r = 24m

माना तम्बू की तिर्यक ऊँचाई l है।

(i) समकोण त्रिभुज ABO में, हमारे पास है

AB2 = AO2+BO2 (पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके)

एल2 = एच2+आर2

= (10)2+(24)2

= 676

एल = 26 एम

अत: तम्बू की तिर्यक ऊँचाई 26 m है।

(ii) तम्बू का सीएसए = rl

= (22/7)×24×26 एम2

1 m2 कैनवास का मूल्य = रु 70

(13728/7)m2 कैनवास की लागत रुपये (13728/7)×70 = रुपये 137280 . के बराबर है

अतः इस प्रकार के तंबू को बनाने के लिए आवश्यक कैनवास की लागत 137280 रुपये है।

5. 8 मीटर ऊंचाई और आधार त्रिज्या 6 मीटर का शंक्वाकार तम्बू बनाने के लिए 3 मीटर चौड़े तिरपाल की कितनी लंबाई की आवश्यकता होगी? मान लें कि स्टिचिंग मार्जिन और कटिंग में अपव्यय के लिए आवश्यक सामग्री की अतिरिक्त लंबाई लगभग 20 सेमी है। [=3.14 का प्रयोग करें]

समाधान:

शंक्वाकार तम्बू की ऊँचाई, h = 8m

तम्बू के आधार की त्रिज्या, r = 6m

तम्बू की तिरछी ऊँचाई, l2 = (r2+h2)

एल2 = (62+82) = (36+64) = (100)

या एल = 10 एम

फिर से, शंक्वाकार तम्बू का CSA = rl

= (3.14×6×10) एम2

= 188.4m2

माना तिरपाल शीट की लंबाई L

चूंकि 20 सेमी बर्बाद हो जाएगा, इसलिए,

प्रभावी लंबाई (L-0.2m) होगी।

तिरपाल की चौड़ाई = 3m (दिया गया)

शीट का क्षेत्रफल = तम्बू का सीएसए

[(एल–0.2)×3] = 188.4

एल-0.2 = 62.8

एल = 63 एम

अत: अभीष्ट तिरपाल शीट की लम्बाई 63 मी होगी।

6. शंक्वाकार मकबरे की तिरछी ऊंचाई और आधार व्यास क्रमशः 25 मीटर और 14 मीटर है। रुपये की दर से इसकी घुमावदार सतह को सफेद करने की लागत पाएं। 210 प्रति 100 एम2। (मान लीजिए = 22/7)

समाधान:

शंक्वाकार मकबरे की तिरछी ऊँचाई, l = 25m

आधार त्रिज्या, r = व्यास/2 = 14/2 m = 7m

शंक्वाकार मकबरे का सीएसए = rl

= (22/7)×7×25 = 550

शंक्वाकार मकबरे का CSA= 550m2

सफेद धुलाई की लागत 550 वर्ग मीटर है, जो कि रु (210×550)/100 . है

= रु. 1155

इसलिए, लागत रु। 1155 जबकि सफेदी करने वाला मकबरा।

7. एक जोकर की टोपी आधार त्रिज्या 7 सेमी और ऊंचाई 24 सेमी के दाएं गोलाकार शंकु के रूप में होती है। ऐसी 10 टोपियां बनाने के लिए आवश्यक शीट का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। (मान लीजिए =22/7)

समाधान:

शंक्वाकार टोपी की त्रिज्या, r = 7 cm

शंक्वाकार टोपी की ऊँचाई, h = 24cm

तिरछी ऊँचाई, l2 = (r2+h2)

= (72+242)

= (49+576)

= (625)

या एल = 25 सेमी

1 शंक्वाकार टोपी का CSA = rl

= (22/7)×7×25

= 550 सेमी2

10 कैप्स का CSA = (10×550) cm2 = 5500 cm2

इसलिए, ऐसी 10 टोपियां बनाने के लिए आवश्यक शीट का क्षेत्रफल 5500 cm2 है।

8. रीसाइकल किए गए कार्डबोर्ड से बने 50 खोखले शंकुओं का उपयोग करके, सड़क के शेष भाग से एक बस स्टॉप को बैरिकेडिंग किया जाता है। प्रत्येक शंकु का आधार व्यास 40 सेमी और ऊंचाई 1 मीटर है। यदि प्रत्येक शंकु के बाहरी भाग को रंगना है और पेंटिंग की लागत रु. 12 प्रति वर्गमीटर, इन सभी शंकुओं को रंगने की लागत क्या होगी? (π = 3.14 का प्रयोग करें और √(1.04) =1.02) लें।

समाधान:

दिया गया:

शंकु की त्रिज्या, r = व्यास/2 = 40/2 cm = 20cm = 0.2 m

शंकु की ऊँचाई, h = 1m

शंकु की तिर्यक ऊँचाई l है, और l2 = (r2+h2)

दिए गए मानों का उपयोग करते हुए, l2 = (0.22+12)

= (1.04)

या एल = 1.02 एम

शंकु की तिर्यक ऊँचाई 1.02 m . है

अब,

प्रत्येक शंकु का CSA = rl

= (3.14×0.2×1.02)

= 0.64056 वर्ग मीटर

ऐसे 50 शंकुओं का CSA = (50×0.64056) = 32.028

ऐसे 50 शंकुओं का CSA = 32.028 m2

फिर से,

पेंटिंग की लागत 1 वर्ग मीटर क्षेत्रफल = 12 रुपये (दिया गया)

पेंटिंग की लागत 32.028 वर्ग मीटर क्षेत्रफल = रुपये (32.028×12)

= रु.384.336

= रु.384.34 (लगभग)

अत: इन सभी शंकुओं को रंगने की लागत रु. 384.34.

 NCERT Solutions for Class 9 Maths Exercise 13.4 Chapter 13 – Surface Areas and Volumes  In Hindi Medium

अध्याय 13 - पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन अभ्यास 13.4

1. त्रिज्या के एक गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए:

(i) 10.5cm (ii) 5.6cm (iii) 14cm

(मान लीजिए =22/7)

समाधान:

सूत्र: गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल (SA) = 4πr2

(i) गोले की त्रिज्या, r = 10.5 cm

एसए = 4×(22/7)×10.52 = 1386

गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल 1386 सेमी2 . है

(ii) गोले की त्रिज्या, r = 5.6cm

सूत्र का उपयोग करते हुए, SA = 4×(22/ 7)×5.62 = 394.24

गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल 394.24 cm2 . है

(iii) गोले की त्रिज्या, r = 14cm

एसए = 4πr2

= 4×(22/7)×(14)2

= 2464

गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल 2464 सेमी2 . है

2. व्यास के एक गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए:

(i) 14cm (ii) 21cm (iii) 3.5cm

(मान लीजिए = 22/7)

समाधान:

(i) गोले की त्रिज्या, r = व्यास/2 = 14/2 सेमी = 7 सेमी

गोले के पृष्ठीय क्षेत्रफल का सूत्र = 4πr2

= 4×(22/7)×72 = 616

एक गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल 616 सेमी2 . है

(ii) गोले की त्रिज्या (r) = 21/2 = 10.5 cm

गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल = 4πr2

= 4×(22/7)×10.52 = 1386

एक गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल 1386 सेमी2 . है

अत: 21 सेमी व्यास वाले एक गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल 1386 सेमी2 . है

(iii) गोले की त्रिज्या (r) = 3.5/2 = 1.75 cm

गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल = 4πr2

= 4×(22/7)×1.752 = 38.5

एक गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल 38.5 सेमी2 . है

3. 10 सेमी त्रिज्या वाले एक अर्धगोले का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। [=3.14 का प्रयोग करें]

समाधान:

अर्धगोले की त्रिज्या, r = 10cm

सूत्र: अर्धगोले का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = 3πr2

= 3×3.14×102 = 942

दिए गए अर्धगोले का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल 942 सेमी2 है।

4. एक गोलाकार गुब्बारे की त्रिज्या 7cm से 14cm तक बढ़ जाती है क्योंकि इसमें हवा डाली जा रही है। दोनों स्थितियों में गुब्बारे के पृष्ठीय क्षेत्रफलों का अनुपात ज्ञात कीजिए।

समाधान:

मान लीजिए कि r1 और r2 गोलाकार गुब्बारे और गोलाकार गुब्बारे की त्रिज्याएँ हैं, जब उसमें हवा को क्रमशः पंप किया जाता है। इसलिए

r1 = 7cm

r2 = 14 सेमी

अब, अभीष्ट अनुपात = (प्रारंभिक पृष्ठीय क्षेत्रफल)/(गुब्बारे में हवा भरने के बाद पृष्ठीय क्षेत्रफल)

= 4πr12/4πr22

= (आर1/आर2)2

= (7/14)2 = (1/2)2 =

इसलिए, सतह क्षेत्रों के बीच का अनुपात 1:4 है।

5. पीतल से बने एक गोलार्द्ध के कटोरे का भीतरी व्यास 10.5 सेमी है। 16 रुपये प्रति 100 सेमी2 की दर से इसे अंदर से टिन-प्लेट करने का खर्च ज्ञात कीजिए। (मान लीजिए = 22/7)

समाधान:

अर्धगोलाकार कटोरे की आंतरिक त्रिज्या, मान लीजिए r = व्यास/2 = (10.5)/2 सेमी = 5.25 सेमी

अर्धगोलाकार कटोरे के पृष्ठीय क्षेत्रफल का सूत्र = 2πr2

= 2×(22/7)×(5.25)2 = 173.25

अर्धगोलाकार कटोरे का पृष्ठीय क्षेत्रफल 173.25 cm2 . है

टिन-प्लेटिंग की लागत 100 सेमी2 क्षेत्रफल = रु 16

टिन-प्लेटिंग की लागत 1 सेमी2 क्षेत्रफल = रु 16/100

टिन-प्लेटिंग की लागत 173.25 वर्ग सेमी क्षेत्रफल = रु. (16×173.25)/100 = रु 27.72

अतः अर्धगोलाकार कटोरे के भीतरी भाग पर 16 रुपये प्रति 100 सेमी2 की दर से टिन की परत चढ़ाने की लागत 27.72 रुपये है।

6. एक गोले की त्रिज्या ज्ञात कीजिए जिसका पृष्ठीय क्षेत्रफल 154 cm' है। (मान लीजिए = 22/7)

समाधान:

माना गोले की त्रिज्या r है।

गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल = 154 (दिया गया)

अब,

4πr2 = 154

r2 = (154×7)/(4×22) = (49/4)

आर = (7/2) = 3.5

गोले की त्रिज्या 3.5 सेमी है।

7. चंद्रमा का व्यास पृथ्वी के व्यास का लगभग एक चौथाई है।

उनके पृष्ठीय क्षेत्रफलों का अनुपात ज्ञात कीजिए।

समाधान:

यदि पृथ्वी का व्यास d कहा जाए, तो चंद्रमा का व्यास d/4 होगा (दिए गए कथन के अनुसार)

पृथ्वी की त्रिज्या = d/2

चन्द्रमा की त्रिज्या = ½×d/4 = d/8

चन्द्रमा का पृष्ठीय क्षेत्रफल = 4π(d/8)2

पृथ्वी का पृष्ठीय क्षेत्रफल = 4π(d/2)2

.उनके सतह क्षेत्रों के बीच का अनुपात 1:16 है।

8. एक गोलार्द्ध का कटोरा 0.25 सेमी मोटा स्टील का बना होता है। कटोरे की भीतरी त्रिज्या 5cm है। कटोरे की बाहरी घुमावदार सतह का पता लगाएं। (मान लीजिए =22/7)

समाधान:

दिया गया:

अर्धगोलाकार कटोरे की भीतरी त्रिज्या = 5cm

कटोरी की मोटाई = 0.25 सेमी

अर्धगोलाकार कटोरे की बाहरी त्रिज्या = (5+0.25) सेमी = 5.25 सेमी

अर्धगोलाकार कटोरे के बाहरी CSA का सूत्र = 2πr2, जहाँ r अर्धगोले की त्रिज्या है

= 2×(22/7)×(5.25)2 = 173.25 सेमी2

अत: कटोरे का बाहरी वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल 173.25 cm' है।

9. एक लम्ब वृत्तीय बेलन r त्रिज्या के एक गोले को घेरता है (देखिए आकृति 13.22)। पाना

(i) गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल,

(ii) बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल,

(iii) (i) और (ii) में प्राप्त क्षेत्रों का अनुपात।

समाधान:

(i) गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल = 4πr2, जहाँ r गोले की त्रिज्या है

(ii) बेलन की ऊँचाई, h = r+r =2r

बेलन की त्रिज्या = r

सिलेंडर सूत्र का CSA = 2πrh = 2πr(2r) (h के मान का उपयोग करके)

= 4πr2

(iii) क्षेत्रों के बीच अनुपात = (गोले का सतह क्षेत्र)/(सिलेंडर का सीएसए)

= 4πr2/4πr2 = 1/1

(i) और (ii) में प्राप्त क्षेत्रफलों का अनुपात 1:1 है।

 NCERT Solutions for Class 9 Maths Exercise 13.5 Chapter 13 – Surface Areas and Volumes  In Hindi Medium

अध्याय 13 पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन अभ्यास 13.5

1. एक माचिस की डिबिया 4 सेमी × 2.5 सेमी × 1.5 सेमी मापती है। ऐसे 12 बक्सों वाले पैकेट का आयतन क्या होगा?

समाधान:

माचिस (एक घनाभ) के आयाम हैं l×b×h = 4cm×2.5cm×1.5cm क्रमशः

माचिस का आयतन ज्ञात करने का सूत्र = l×b×h = (4×2.5×1.5) = 15

माचिस का आयतन = 15 cm3

अब, ऐसे 12 माचिस का आयतन = (15×12) cm3 = 180 cm3

अत: 12 माचिस की डिब्बियों का आयतन 180cm3 है।

2. एक घनाकार पानी की टंकी 6 मीटर लंबी, 5 मीटर चौड़ी और 4.5 मीटर गहरी है। यह कितने लीटर पानी धारण कर सकता है? (1 एम3 = 1000 एल)

समाधान:

एक घनाकार पानी की टंकी के आयाम हैं: l = 6 m और b = 5 m और h = 4.5 m

टैंक का आयतन ज्ञात करने का सूत्र, V = l×b×h

मान रखें, हमें मिलता है

वी = (6×5×4.5) = 135

पानी की टंकी का आयतन 135 m3 . है

फिर से,

हमें दिया गया है कि, पानी की मात्रा जो 1m3 आयतन धारण कर सकती है = 1000 l

पानी की मात्रा, 135 m3वॉल्यूम होल्ड = (135×1000) लीटर = 135000 लीटर

इसलिए, दिए गए घनाकार पानी की टंकी में 135000 लीटर तक पानी हो सकता है।

3. एक घनाभ का बर्तन 10 मीटर लंबा और 8 मीटर चौड़ा है। 380 घन मीटर तरल को धारण करने के लिए इसे कितना ऊंचा बनाया जाना चाहिए?

समाधान:

दिया गया:

घनाभ बर्तन की लंबाई, l = 10 m

घनाभ बर्तन की चौड़ाई, b = 8m

घनाभ पात्र का आयतन, V = 380 m3

माना दिए गए बर्तन की ऊंचाई h है।

घनाभ के आयतन का सूत्र, V = l×b×h

सूत्र का उपयोग करते हुए, हमारे पास है

एल × बी × एच = 380

10×8×h= 380

या एच = 4.75

इसलिए, जहाजों की ऊंचाई 4.75 मीटर है।

4. 30 रुपये प्रति घन मीटर की दर से 8 मीटर लंबा, 6 मीटर चौड़ा और 3 मीटर गहरा घनाकार गड्ढा खोदने का खर्च ज्ञात कीजिए।

समाधान:

दिए गए गड्ढे की लंबाई (एल) 8 मीटर, चौड़ाई (बी) 6 मीटर और गहराई (एच) 3 मीटर है।

घनाकार गड्ढे का आयतन = l×b×h = (8×6×3) = 144 (सूत्र का उपयोग करके)

आवश्यक मात्रा 144 m3 . है

अब,

प्रति घन मीटर खुदाई की लागत = रु 30

144 घन मीटर खुदाई की लागत = रुपये (144×30) = रुपये 4320

5. एक घनाभ टंकी की क्षमता 50000 लीटर पानी है। टैंक की चौड़ाई ज्ञात कीजिए, यदि इसकी लंबाई और गहराई क्रमशः 2.5 मीटर और 10 मीटर है।

समाधान:

टैंक की लंबाई (एल) और गहराई (एच) क्रमशः 2.5 मीटर और 10 मीटर है।

खोजने के लिए: चौड़ाई का मान, मान लीजिए b।

टैंक का आयतन ज्ञात करने का सूत्र = l×b×h = (2.5× b×10) m3= 25b m3

टैंक की क्षमता = 25b m3, जो कि 25000b लीटर के बराबर है

साथ ही, एक घनाभ टंकी की क्षमता 50000 लीटर पानी है (दिया है)

इसलिए, 25000 ख = 50000

इसका मतलब है, बी = 2

अत: टंकी की चौड़ाई 2 m है।

6. 4000 की आबादी वाले एक गांव को प्रतिदिन प्रति व्यक्ति 150 लीटर पानी की आवश्यकता होती है।

इसमें 20 मीटर × 15 मीटर × 6 मीटर का एक टैंक है। इस टंकी का पानी कितने दिनों तक चलेगा?

समाधान:

टंकी की लंबाई = l = 20 m

टंकी की चौड़ाई = b = 15 m

टंकी की ऊँचाई = h = 6 m

एक गाँव की कुल जनसंख्या = 4000

प्रति व्यक्ति प्रति दिन पानी की खपत = 150 लीटर

लोगों द्वारा 1 दिन में खपत किया गया पानी = (4000×150) लीटर = 600000 लीटर …(1)

टैंक की क्षमता ज्ञात करने का सूत्र, C = l×b×h

दिए गए डेटा का उपयोग करते हुए, हमारे पास है

सी = (20×15×6) एम3= 1800 एम3

या सी = 1800000 लीटर

इस टंकी में पानी d दिनों तक चलने दें।

d दिनों में सभी लोगों द्वारा खपत किया गया पानी = टैंक की क्षमता (समीकरण (1) का उपयोग करके)

600000 डी = 1800000

डी = 3

इसलिए इस टंकी का पानी 3 दिन तक चलेगा।

7. एक गोदाम का माप 40 मीटर × 25 मीटर × 15 मीटर है। प्रत्येक लकड़ी के टोकरे की अधिकतम संख्या ज्ञात कीजिए

माप 1.5m×1.25m×0.5m जो गोदाम में संग्रहीत किया जा सकता है।

समाधान:

कथन से, हमारे पास है

गोदाम की लंबाई = 40 मी

चौड़ाई = 25 वर्ग मीटर

ऊँचाई = 15 मी

जबकि,

लकड़ी के टोकरे की लंबाई = 1.5 m

चौड़ाई = 1.25 वर्ग मीटर

ऊँचाई = 0.5 मी

चूंकि गोदाम और लकड़ी के टोकरे घनाकार आकार में हैं। सूत्र का उपयोग करके प्रत्येक का आयतन ज्ञात कीजिए, V = lbh।

अब,

गोदाम का आयतन = (40×25×15) m3 = 15000 m3

लकड़ी के टोकरे का आयतन = (1.5×1.25×0.5) m3 = 0.9375 m3

मान लें कि गोदाम में लकड़ी के टोकरे रखे जा सकते हैं, तो

लकड़ी के क्रेटों का आयतन = गोदाम का आयतन

0.9375×n =15000

या n= 15000/0.9375 = 16000

अतः गोदाम में रखे जा सकने वाले लकड़ी के टोकरे की संख्या 16,000 है।

8. 12 सेमी भुजा वाले एक ठोस घन को बराबर आयतन के आठ घनों में काटा जाता है। नए घन की भुजा क्या होगी? साथ ही, उनके पृष्ठीय क्षेत्रफलों के बीच का अनुपात ज्ञात कीजिए।

समाधान:

एक घन की भुजा = 12 सेमी (दिया है)

घन का आयतन ज्ञात कीजिए:

घन का आयतन = (भुजा)3 = (12)3cm3= 1728cm3

12 सेमी भुजा वाले घन का पृष्ठीय क्षेत्रफल = 6a2 = 6(12) 2 सेमी2 …(1)

घन को बराबर आयतन के आठ छोटे घनों में काटा जाता है, मान लीजिए कि प्रत्येक घन की भुजा p है।

एक छोटे घन का आयतन = p3

पृष्ठीय क्षेत्रफल = 6p2 …(2)

प्रत्येक छोटे घन का आयतन = (1728/8) cm3 = 216 cm3

या (पी)3 = 216 सेमी3

या पी = 6 सेमी

अब, घनों के पृष्ठीय क्षेत्रफलों का अनुपात = (बड़े घन का पृष्ठीय क्षेत्रफल)/(छोटे घनों का पृष्ठीय क्षेत्रफल)

समीकरण (1) और (2) से, हम प्राप्त करते हैं

घन अनुपातों के पृष्ठीय क्षेत्रफल = (6a2)/(6p2) = a2/p2 = 122/62 = 4

अतः अभीष्ट अनुपात 4:1 है।

9. 3मी गहरी और 40मी चौड़ी एक नदी 2किमी प्रति घंटे की दर से बह रही है। एक मिनट में समुद्र में कितना पानी गिरेगा?

समाधान:

दिया गया:

नदी की गहराई, h = 3 m

नदी की चौड़ाई, b = 40 m

जल प्रवाह की दर = 2 किमी प्रति घंटा = 2000 मीटर/60 मिनट = 100/3 मीटर/मिनट

अब, 1 मिनट में बहने वाले पानी का आयतन = (100/3) × 40 × 3 = 4000m3

इसलिए एक मिनट में 4000 m3 पानी समुद्र में गिरेगा।

 NCERT Solutions for Class 9 Maths Exercise 13.6 Chapter 13 – Surface Areas and Volumes  In Hindi Medium

कक्षा 9 गणित अध्याय 13 - पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन अभ्यास 13.6

1. बेलनाकार बर्तन के आधार की परिधि 132 सेमी है और इसकी ऊंचाई 25 सेमी है।

यह कितने लीटर पानी धारण कर सकता है? (1000 सेमी3 = 1 लीटर) (मान लें = 22/7)

समाधान:

बेलनाकार बर्तन के आधार की परिधि = 132 cm

बर्तन की ऊँचाई, h = 25 cm

माना r बेलनाकार बर्तन की त्रिज्या है।

चरण 1: बर्तन की त्रिज्या ज्ञात कीजिए

हम जानते हैं कि, आधार की परिधि = 2πr, so

2πr = 132 (दिया गया)

आर = (132/(2 ))

आर = 66×7/22 = 21

त्रिज्या 21 सेमी . है

चरण 2: बर्तन का आयतन ज्ञात कीजिए

सूत्र: बेलनाकार बर्तन का आयतन = r2h

= (22/7)×212×25

= 34650

इसलिए, आयतन 34650 cm3 . है

चूँकि, 1000 cm3 = 1L

तो, आयतन = 34650/1000 एल = 34.65 एल

अत: पात्र में 34.65 लीटर पानी हो सकता है।

2. एक बेलनाकार लकड़ी के पाइप का भीतरी व्यास 24 सेमी है और इसका बाहरी व्यास 28 सेमी है। पाइप की लंबाई 35 सेमी है। पाइप का द्रव्यमान ज्ञात करें, यदि 1 सेमी 3 लकड़ी का द्रव्यमान 0.6 ग्राम है। (मान लीजिए = 22/7)

समाधान:

बेलनाकार पाइप की आंतरिक त्रिज्या, मान लीजिए r1 = व्यास1/2 = 24/2 सेमी = 12 सेमी

बेलनाकार पाइप की बाहरी त्रिज्या, मान लीजिए r2 = व्यास2/2 = 28/2 सेमी = 14 सेमी

पाइप की ऊंचाई, h = पाइप की लंबाई = 35cm

अब, पाइप का आयतन = π(r22-r12)h cm3

मूल्यों को प्रतिस्थापित करें।

पाइप का आयतन = 110×52 cm3 = 5720 cm3

चूँकि, 1 cm' लकड़ी का द्रव्यमान = 0.6 g

5720 cm3 लकड़ी का द्रव्यमान = (5720×0.6) g = 3432 g या 3.432 kg।

3. एक शीतल पेय दो पैकों में उपलब्ध है - (i) एक टिन के डिब्बे जिसकी लंबाई 5 सेमी और चौड़ाई 4 सेमी है, जिसकी ऊंचाई 15 सेमी है और (ii) एक प्लास्टिक सिलेंडर जिसका व्यास 7 सेमी और ऊंचाई 10 सेमी है। . किस कंटेनर की क्षमता अधिक है और कितनी है? (मान लीजिए =22/7)

समाधान:

(i) टिन के डिब्बे आकार में घनाकार होंगे

टिन के आयाम हैं

लंबाई, एल = 5 सेमी

चौड़ाई, ख = 4 सेमी

ऊंचाई, एच = 15 सेमी

टिन कैन की क्षमता = l×b×h= (5×4×15) cm3 = 300 cm3

(ii) प्लास्टिक सिलेंडर आकार में बेलनाकार होगा।

प्लास्टिक कैन के आयाम हैं:

प्लास्टिक बेलन के वृत्ताकार सिरे की त्रिज्या, r = 3.5cm

ऊंचाई, एच = 10 सेमी

प्लास्टिक सिलेंडर की क्षमता = r2H

प्लास्टिक सिलेंडर की क्षमता = (22/7)×(3.5)2×10 = 385

प्लास्टिक सिलेंडर की क्षमता 385 cm3 . है

(i) और (ii) के परिणामों से, प्लास्टिक सिलेंडर की क्षमता अधिक होती है।

क्षमता में अंतर = (385-300) cm3 = 85cm3

4. यदि एक बेलन की पार्श्व सतह 94.2cm2 है और इसकी ऊंचाई 5cm है, तो खोजें

(i) इसके आधार की त्रिज्या (ii) इसका आयतन। [π= 3.14 का प्रयोग करें]

समाधान:

बेलन का CSA = 94.2 cm2

बेलन की ऊँचाई, h = 5cm

(i) माना बेलन की त्रिज्या r है।

सिलेंडर के सीएसए का उपयोग करने पर, हम प्राप्त करते हैं

2πrh = 94.2

2×3.14×r×5 = 94.2

आर = 3

त्रिज्या 3 सेमी . है

(ii) सिलेंडर का आयतन

बेलन के आयतन का सूत्र = r2h

अब, r2h = (3.14×(3)2×5) ((i) से r के मान का उपयोग करके)

= 141.3

आयतन 141.3 सेमी3 . है

5. 10 मीटर गहरे एक बेलनाकार बर्तन की आंतरिक घुमावदार सतह को पेंट करने में 2200 रुपये का खर्च आता है। यदि पेंटिंग की लागत 20 रुपये प्रति एम 2 की दर से है, तो खोजें

(i) बर्तन का आंतरिक वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल

(ii) आधार की त्रिज्या

(iii) पोत की क्षमता

(मान लीजिए = 22/7)

समाधान:

(i) 20 रुपये 1 m2 क्षेत्र को पेंट करने की लागत है।

1/20 एम2 क्षेत्र को पेंट करने की लागत 1 रु है

तो, 2200 रुपये पेंटिंग की लागत है = (1/20×2200) m2

= 110 वर्गमीटर क्षेत्रफल

बर्तन की आंतरिक सतह का क्षेत्रफल 110m2 है।

(ii) बर्तन के आधार की त्रिज्या, मान लीजिए r.

ऊंचाई (एच) = 10 मीटर और

सतह क्षेत्र सूत्र = 2πrh

(i) के परिणाम का उपयोग करना

2πrh = 110 m2

2×22/7×r×10 = 110

आर = 1.75

त्रिज्या 1.75 मीटर है।

(iii) पात्र सूत्र का आयतन = r2h

यहाँ r = 1.75 और h = 10

आयतन = (22/7)×(1.75)2×10 = 96.25

बर्तन का आयतन 96.25 m3 . है

इसलिए, बर्तन की क्षमता 96.25 m3 या 96250 लीटर है।

6. 1m ऊँचाई वाले एक बंद बेलनाकार बर्तन की क्षमता 15.4 लीटर है। इसे बनाने के लिए कितने वर्ग मीटर धातु की शीट की आवश्यकता होगी? (मान लीजिए = 22/7)

समाधान:

बेलनाकार बर्तन की ऊँचाई, h = 1 m

बेलनाकार बर्तन की क्षमता = 15.4 लीटर = 0.0154 m3

मान लीजिए r वृत्ताकार सिरे की त्रिज्या है।

अब,

बेलनाकार बर्तन की क्षमता = (22/7)×r2×1 = 0.0154

सरलीकरण के बाद, हम प्राप्त करते हैं, r = 0.07 m

पुनः, बर्तन का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2πr(r+h)

= 2×22/7×0.07(0.07+1)

= 0.44×1.07

= 0.4708

पोत का कुल सतह क्षेत्र 0.4708 एम 2 . है

इसलिए, बेलनाकार बर्तन बनाने के लिए धातु की शीट के 0.4708 m2 की आवश्यकता होगी।

7. एक लेड पेंसिल में लकड़ी का एक सिलेंडर होता है जिसके अंदर ग्रेफाइट का ठोस सिलेंडर भरा होता है। पेंसिल का व्यास 7 मिमी और ग्रेफाइट का व्यास 1 मिमी है। यदि पेंसिल की लंबाई 14 सेमी है, तो लकड़ी और ग्रेफाइट का आयतन ज्ञात कीजिए। (मान लीजिए = 22/7)

समाधान:

पेंसिल की त्रिज्या, r1 = 7/2 मिमी = 0.7/2 सेमी = 0.35 सेमी

ग्रेफाइट की त्रिज्या, r2 = 1/2 मिमी = 0.1/2 सेमी = 0.05 सेमी

पेंसिल की ऊँचाई, h = 14 cm

पेंसिल में लकड़ी का आयतन ज्ञात करने का सूत्र = (r12-r22)h घन इकाई

मूल्यों को प्रतिस्थापित करें, हमारे पास है

= [(22/7)×(0.352-0.052)×14]

= 44×0.12

= 5.28

इसका अर्थ है, पेंसिल में लकड़ी का आयतन = 5.28 cm3

फिर से,

ग्रेफाइट का आयतन = r22h घन इकाई

मूल्यों को प्रतिस्थापित करें, हमारे पास है

= (22/7)×0.052×14

= 44×0.0025

= 0.11

अतः ग्रेफाइट का आयतन 0.11 cm3 है।

8. एक अस्पताल में रोगी को 7 सेमी व्यास के बेलनाकार कटोरे में प्रतिदिन सूप दिया जाता है। यदि कटोरा सूप से 4 सेमी की ऊंचाई तक भरा जाता है, तो 250 रोगियों की सेवा के लिए अस्पताल को प्रतिदिन कितना सूप तैयार करना पड़ता है? (मान लीजिए = 22/7)

समाधान:

बेलनाकार कटोरे का व्यास = 7 सेमी

बेलनाकार कटोरे की त्रिज्या, r = 7/2 सेमी = 3.5 सेमी

कटोरा सूप से 4 सेमी की ऊंचाई तक भरा हुआ है, इसलिए h = 4 सेमी

एक कटोरी में सूप का आयतन = r2h

(22/7)×3.52×4 = 154

एक कटोरी में सूप का आयतन 154 cm3 . है

इसलिए,

250 रोगियों को दिए गए सूप का आयतन = (250×154) cm3= 38500 cm3

= 38.5 लीटर।

 NCERT Solutions for Class 9 Maths Exercise 13.7 Chapter 13 – Surface Areas and Volumes  In Hindi Medium

अध्याय 13 पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन अभ्यास 13.7

1. के साथ लम्ब वृत्तीय शंकु का आयतन ज्ञात कीजिए

(i) त्रिज्या 6 सेमी, ऊंचाई 7 सेमी (ii) त्रिज्या 3.5 सेमी, ऊंचाई 12 सेमी (मान लीजिए = 22/7)

समाधान:

शंकु का आयतन = (1/3) r2h घन इकाई

जहाँ r त्रिज्या हो और h शंकु की ऊँचाई हो

(i) शंकु की त्रिज्या, r = 6 सेमी

शंकु की ऊँचाई, h = 7cm

मान लीजिए, V शंकु का आयतन है, हमारे पास है

वी = (1/3)×(22/7)×36×7

= (12×22)

= 264

शंकु का आयतन 264 सेमी3 है।

(ii) शंकु की त्रिज्या, r = 3.5cm

शंकु की ऊँचाई, h = 12cm

शंकु का आयतन = (1/3)×(22/7)×3.52×7 = 154

अत,

शंकु का आयतन 154 सेमी3 है।

2. एक शंक्वाकार बर्तन के लीटर में क्षमता का पता लगाएं

(i) त्रिज्या 7 सेमी, तिरछी ऊँचाई 25 सेमी (ii) ऊँचाई 12 सेमी, तिरछी ऊँचाई 13 सेमी

(मान लीजिए = 22/7)

समाधान:

(i) शंकु की त्रिज्या, r =7 cm

शंकु की तिर्यक ऊँचाई, l = 25 cm

या एच = 24

शंकु की ऊंचाई 24 सेमी . है

अब,

शंकु का आयतन, V = (1/3) r2h (सूत्र)

वी = (1/3)×(22/7) ×72×24

= (154×8)

= 1232

अत: बर्तन का आयतन 1232 cm3 . है

इसलिए, शंक्वाकार बर्तन की क्षमता = (1232/1000) लीटर (क्योंकि 1L = 1000 cm3)

= 1.232 लीटर।

(ii) शंकु की ऊँचाई, h = 12 cm

शंकु की तिर्यक ऊँचाई, l = 13 cm

आर = 5

अतः शंकु की त्रिज्या 5 सेमी है।

अब, शंकु का आयतन, V = (1/3)πr2h

वी = (1/3)×(22/7)×52×12 सेमी3

= 2200/7

शंकु का आयतन 2200/7 cm3 . है

अब, शंक्वाकार बर्तन की क्षमता = 2200/7000 लीटर (1L = 1000 cm3)

= 11/35 लीटर

3. एक शंकु की ऊंचाई 15 सेमी है। यदि इसका आयतन 1570cm3 है, तो इसके आधार का व्यास ज्ञात कीजिए। (π = 3.14 का प्रयोग करें)

समाधान:

शंकु की ऊँचाई, h = 15 cm

शंकु का आयतन =1570 cm3

माना r शंकु की त्रिज्या है

जैसा कि हम जानते हैं: शंकु का आयतन, V = (1/3) r2h

तो, (1/3) r2h = 1570

(1/3)×3.14×r2 ×15 = 1570

r2 = 100

आर = 10

शंकु के आधार की त्रिज्या 10 सेमी.

4. यदि 9cm ऊंचाई वाले एक लंबवृत्तीय शंकु का आयतन 48πcm3 है, तो इसके आधार का व्यास ज्ञात कीजिए।

समाधान:

शंकु की ऊँचाई, h = 9cm

शंकु का आयतन =48π cm3

मान लीजिए r शंकु की त्रिज्या है।

जैसा कि हम जानते हैं: शंकु का आयतन, V = (1/3) r2h

अतः, 1/3 r2(9) = 48

r2 = 16

आर = 4

शंकु की त्रिज्या 4 सेमी है।

अत: व्यास = 2×त्रिज्या = 8

अत: आधार का व्यास 8 सेमी है।

5. शीर्ष व्यास 3.5m का एक शंक्वाकार गड्ढा 12m गहरा है। किलोलीटर में इसकी क्षमता क्या है?

(मान लीजिए = 22/7)

समाधान:

शंक्वाकार गड्ढे का व्यास = 3.5 m

शंक्वाकार गड्ढे की त्रिज्या, r = व्यास/2 = (3.5/2)m = 1.75m

गड्ढे की ऊँचाई, h = गड्ढे की गहराई = 12m

शंकु का आयतन, V = (1/3) r2h

वी = (1/3)×(22/7) ×(1.75)2×12 = 38.5

शंकु का आयतन 38.5 m3 . है

अत: गड्ढे की क्षमता = (38.5×1) किलोलीटर = 38.5 किलोलीटर।

6. एक लंब वृत्तीय शंकु का आयतन 9856cm3 है। यदि आधार का व्यास 28 सेमी है, तो ज्ञात कीजिए

(i) शंकु की ऊंचाई

(ii) शंकु की तिर्यक ऊँचाई

(iii) शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल

(मान लीजिए = 22/7)

समाधान:

एक लम्ब वृत्तीय शंकु का आयतन = 9856 cm3

आधार का व्यास = 28 सेमी

(i) शंकु की त्रिज्या, r = (28/2) सेमी = 14 सेमी

माना शंकु की ऊंचाई h . है

शंकु का आयतन, V = (1/3) r2h

(1/3) r2h = 9856

(1/3)×(22/7) ×14×14×h = 9856

एच = 48

शंकु की ऊंचाई 48 सेमी है।

शंकु की तिर्यक ऊँचाई 50 सेमी है।

(iii) शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = rl

= (22/7)×14×50

= 2200

शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल 2200 सेमी2 है।

7. एक समकोण त्रिभुज ABC जिसकी भुजाएँ 5cm, 12cm और 13cm हैं, भुजा 12cm के परितः परिक्रमण करती है। इस प्रकार प्राप्त ठोस का आयतन ज्ञात कीजिए।

समाधान:

ऊंचाई (एच)= 12 सेमी

त्रिज्या (आर) = 5 सेमी, और

तिरछी ऊँचाई (l) = 13 सेमी

शंकु का आयतन, V = (1/3) r2h

वी = (1/3)×π×52×12

= 100π

इस प्रकार बने शंकु का आयतन 100π सेमी3 है।

8. यदि प्रश्न 7 में त्रिभुज ABC को भुजा 5cm के परितः घुमाया जाए, तो प्राप्त ठोसों का आयतन ज्ञात कीजिए। प्रश्न 7 और 8 में प्राप्त दो ठोसों के आयतनों का अनुपात भी ज्ञात कीजिए।

समाधान:

एक समकोण ABC अपनी भुजा 5 सेमी के परितः परिक्रमण करता है, एक शंकु त्रिज्या 12 सेमी, ऊँचाई 5 सेमी और तिरछी ऊँचाई 13 सेमी होगी।

शंकु का आयतन = (1/3) r2h; जहाँ r त्रिज्या है और h शंकु की ऊँचाई है

= (1/3)×π×12×12×5

= 240

बने शंकुओं का आयतन 240π cm3 है।

तो, अभीष्ट अनुपात = (प्रश्न 7 का परिणाम) / (प्रश्न 8 का परिणाम) = (100π)/(240π) = 5/12 = 5:12।

9. गेहूँ का एक ढेर एक शंकु के आकार का है जिसका व्यास 10.5 मी और ऊँचाई 3 मी है। इसका आयतन ज्ञात कीजिए। ढेर को बारिश से बचाने के लिए कैनवास से ढकना चाहिए। कैनवास का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

(मान लीजिए = 22/7)

समाधान:

ढेर की त्रिज्या (r) = (10.5/2) m = 5.25

ढेर की ऊँचाई (h) = 3m

ढेर का आयतन = (1/3)πr2h

= (1/3)×(22/7)×5.25×5.25×3

= 86.625

गेहूँ के ढेर का आयतन 86.625 m3 है।

फिर से,

= (22/7)×5.25×6.05

= 99.825

इसलिए, कैनवास का क्षेत्रफल 99.825 m2 है।