NCERT Solutions for Class 9 Maths Exercise 13.7 Chapter 13 – Surface Areas and Volumes  In Hindi Medium

अध्याय 13 पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन अभ्यास 13.7

1. के साथ लम्ब वृत्तीय शंकु का आयतन ज्ञात कीजिए

(i) त्रिज्या 6 सेमी, ऊंचाई 7 सेमी (ii) त्रिज्या 3.5 सेमी, ऊंचाई 12 सेमी (मान लीजिए = 22/7)

समाधान:

शंकु का आयतन = (1/3) r2h घन इकाई

जहाँ r त्रिज्या हो और h शंकु की ऊँचाई हो

(i) शंकु की त्रिज्या, r = 6 सेमी

शंकु की ऊँचाई, h = 7cm

मान लीजिए, V शंकु का आयतन है, हमारे पास है

वी = (1/3)×(22/7)×36×7

= (12×22)

= 264

शंकु का आयतन 264 सेमी3 है।

(ii) शंकु की त्रिज्या, r = 3.5cm

शंकु की ऊँचाई, h = 12cm

शंकु का आयतन = (1/3)×(22/7)×3.52×7 = 154

अत,

शंकु का आयतन 154 सेमी3 है।

2. एक शंक्वाकार बर्तन के लीटर में क्षमता का पता लगाएं

(i) त्रिज्या 7 सेमी, तिरछी ऊँचाई 25 सेमी (ii) ऊँचाई 12 सेमी, तिरछी ऊँचाई 13 सेमी

(मान लीजिए = 22/7)

समाधान:

(i) शंकु की त्रिज्या, r =7 cm

शंकु की तिर्यक ऊँचाई, l = 25 cm

या एच = 24

शंकु की ऊंचाई 24 सेमी . है

अब,

शंकु का आयतन, V = (1/3) r2h (सूत्र)

वी = (1/3)×(22/7) ×72×24

= (154×8)

= 1232

अत: बर्तन का आयतन 1232 cm3 . है

इसलिए, शंक्वाकार बर्तन की क्षमता = (1232/1000) लीटर (क्योंकि 1L = 1000 cm3)

= 1.232 लीटर।

(ii) शंकु की ऊँचाई, h = 12 cm

शंकु की तिर्यक ऊँचाई, l = 13 cm

आर = 5

अतः शंकु की त्रिज्या 5 सेमी है।

अब, शंकु का आयतन, V = (1/3)πr2h

वी = (1/3)×(22/7)×52×12 सेमी3

= 2200/7

शंकु का आयतन 2200/7 cm3 . है

अब, शंक्वाकार बर्तन की क्षमता = 2200/7000 लीटर (1L = 1000 cm3)

= 11/35 लीटर

3. एक शंकु की ऊंचाई 15 सेमी है। यदि इसका आयतन 1570cm3 है, तो इसके आधार का व्यास ज्ञात कीजिए। (π = 3.14 का प्रयोग करें)

समाधान:

शंकु की ऊँचाई, h = 15 cm

शंकु का आयतन =1570 cm3

माना r शंकु की त्रिज्या है

जैसा कि हम जानते हैं: शंकु का आयतन, V = (1/3) r2h

तो, (1/3) r2h = 1570

(1/3)×3.14×r2 ×15 = 1570

r2 = 100

आर = 10

शंकु के आधार की त्रिज्या 10 सेमी.

4. यदि 9cm ऊंचाई वाले एक लंबवृत्तीय शंकु का आयतन 48πcm3 है, तो इसके आधार का व्यास ज्ञात कीजिए।

समाधान:

शंकु की ऊँचाई, h = 9cm

शंकु का आयतन =48π cm3

मान लीजिए r शंकु की त्रिज्या है।

जैसा कि हम जानते हैं: शंकु का आयतन, V = (1/3) r2h

अतः, 1/3 r2(9) = 48

r2 = 16

आर = 4

शंकु की त्रिज्या 4 सेमी है।

अत: व्यास = 2×त्रिज्या = 8

अत: आधार का व्यास 8 सेमी है।

5. शीर्ष व्यास 3.5m का एक शंक्वाकार गड्ढा 12m गहरा है। किलोलीटर में इसकी क्षमता क्या है?

(मान लीजिए = 22/7)

समाधान:

शंक्वाकार गड्ढे का व्यास = 3.5 m

शंक्वाकार गड्ढे की त्रिज्या, r = व्यास/2 = (3.5/2)m = 1.75m

गड्ढे की ऊँचाई, h = गड्ढे की गहराई = 12m

शंकु का आयतन, V = (1/3) r2h

वी = (1/3)×(22/7) ×(1.75)2×12 = 38.5

शंकु का आयतन 38.5 m3 . है

अत: गड्ढे की क्षमता = (38.5×1) किलोलीटर = 38.5 किलोलीटर।

6. एक लंब वृत्तीय शंकु का आयतन 9856cm3 है। यदि आधार का व्यास 28 सेमी है, तो ज्ञात कीजिए

(i) शंकु की ऊंचाई

(ii) शंकु की तिर्यक ऊँचाई

(iii) शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल

(मान लीजिए = 22/7)

समाधान:

एक लम्ब वृत्तीय शंकु का आयतन = 9856 cm3

आधार का व्यास = 28 सेमी

(i) शंकु की त्रिज्या, r = (28/2) सेमी = 14 सेमी

माना शंकु की ऊंचाई h . है

शंकु का आयतन, V = (1/3) r2h

(1/3) r2h = 9856

(1/3)×(22/7) ×14×14×h = 9856

एच = 48

शंकु की ऊंचाई 48 सेमी है।

शंकु की तिर्यक ऊँचाई 50 सेमी है।

(iii) शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = rl

= (22/7)×14×50

= 2200

शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल 2200 सेमी2 है।

7. एक समकोण त्रिभुज ABC जिसकी भुजाएँ 5cm, 12cm और 13cm हैं, भुजा 12cm के परितः परिक्रमण करती है। इस प्रकार प्राप्त ठोस का आयतन ज्ञात कीजिए।

समाधान:

ऊंचाई (एच)= 12 सेमी

त्रिज्या (आर) = 5 सेमी, और

तिरछी ऊँचाई (l) = 13 सेमी

शंकु का आयतन, V = (1/3) r2h

वी = (1/3)×π×52×12

= 100π

इस प्रकार बने शंकु का आयतन 100π सेमी3 है।

8. यदि प्रश्न 7 में त्रिभुज ABC को भुजा 5cm के परितः घुमाया जाए, तो प्राप्त ठोसों का आयतन ज्ञात कीजिए। प्रश्न 7 और 8 में प्राप्त दो ठोसों के आयतनों का अनुपात भी ज्ञात कीजिए।

समाधान:

एक समकोण ABC अपनी भुजा 5 सेमी के परितः परिक्रमण करता है, एक शंकु त्रिज्या 12 सेमी, ऊँचाई 5 सेमी और तिरछी ऊँचाई 13 सेमी होगी।

शंकु का आयतन = (1/3) r2h; जहाँ r त्रिज्या है और h शंकु की ऊँचाई है

= (1/3)×π×12×12×5

= 240

बने शंकुओं का आयतन 240π cm3 है।

तो, अभीष्ट अनुपात = (प्रश्न 7 का परिणाम) / (प्रश्न 8 का परिणाम) = (100π)/(240π) = 5/12 = 5:12।

9. गेहूँ का एक ढेर एक शंकु के आकार का है जिसका व्यास 10.5 मी और ऊँचाई 3 मी है। इसका आयतन ज्ञात कीजिए। ढेर को बारिश से बचाने के लिए कैनवास से ढकना चाहिए। कैनवास का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

(मान लीजिए = 22/7)

समाधान:

ढेर की त्रिज्या (r) = (10.5/2) m = 5.25

ढेर की ऊँचाई (h) = 3m

ढेर का आयतन = (1/3)πr2h

= (1/3)×(22/7)×5.25×5.25×3

= 86.625

गेहूँ के ढेर का आयतन 86.625 m3 है।

फिर से,

= (22/7)×5.25×6.05

= 99.825

इसलिए, कैनवास का क्षेत्रफल 99.825 m2 है।