NCERT Class 9 Chapter 1 – Number Systems Exercise 1.3
NCERT class 9 Chapter 1 – Number Systems Exercise 1.3
1. Write the following in decimal form and say what
kind of decimal expansion each has :
(i) 36/100
Solution:
=
0.36 (Terminating)
(ii)1/11
Solution:
= 0.0909....
Solution:
= 4.125 (Terminating)
(iv) 3/13
Solution:
(v)
2/11
Solution:
(vi)
329/400
Solution:
= 0.8225 (Terminating)
2. You know that 1/7
= 0.142857. Can you predict what the decimal expansions of 2/7, 3/7, 4/7, 5/7,
6/7 are, without actually doing the long division? If so, how?
[Hint: Study the
remainders while finding the value of 1/7 carefully.]
Solution:
3. Express the following in the form p/q, where p and q are
integers and q 0.
Solution:
Assume
that x =
0.666…
Then,10x =
6.666…
10x =
6 + x
9x =
6
x = 2/3
Solution:
= (4/10)+(0.777/10)
Assume
that x =
0.777…
Then,
10x =
7.777…
10x =
7 + x
x = 7/9
(4/10)+(0.777../10)
= (4/10)+(7/90) ( x = 7/9 and x = 0.777…0.777…/10 = 7/(9×10) = 7/90 )
=
(36/90)+(7/90) = 43/90
Solution:
Assume
that x =
0.001001…
Then,
1000x =
1.001001…
1000x =
1 + x
999x =
1
x = 1/999
4. Express 0.99999….
in the form p/q . Are you surprised by your answer? With your teacher and
classmates discuss why the answer makes sense.
Solution:
Assume
that x =
0.9999…..Eq (a)
Multiplying
both sides by 10,
10x =
9.9999…. Eq. (b)
Eq.(b)
– Eq.(a), we get
10x =
9.9999…
-x = -0.9999…
___________
9x =
9
x = 1
The
difference between 1 and 0.999999 is 0.000001 which is negligible.
Hence,
we can conclude that, 0.999 is too much near 1, therefore, 1 as the answer can
be justified.
5. What can the
maximum number of digits be in the repeating block of digits in the decimal
expansion of 1/17 ? Perform the division to check your answer.
Solution:
1/17
Dividing
1 by 17:
There are 16 digits in the repeating block of the decimal expansion of 1/17.
6. Look at several examples of rational numbers in
the form p/q (q ≠ 0), where p and q are integers with no common factors other
than 1 and having terminating decimal representations (expansions). Can you
guess what property q must satisfy?
Solution:
We observe that when q is 2, 4, 5, 8, 10… Then
the decimal expansion is terminating. For example:
1/2 = 0. 5, denominator q = 21
7/8 = 0. 875, denominator q =23
4/5 = 0. 8, denominator q = 51
We can observe that the terminating decimal may be
obtained in the situation where prime factorization of the denominator of the
given fractions has the power of only 2 or only 5 or both.
7. Write three numbers whose decimal expansions are
non-terminating non-recurring.
Solution:
We know that all irrational numbers are
non-terminating non-recurring. three numbers with decimal expansions that are
non-terminating non-recurring are:
- √3 = 1.732050807568
- √26 =5.099019513592
- √101 = 10.04987562112
8. Find three different irrational numbers between
the rational numbers 5/7 and 9/11.
Solution:
Three different irrational numbers are:
- 0.73073007300073000073…
- 0.75075007300075000075…
- 0.76076007600076000076…
9. Classify the following numbers as rational
or irrational according to their type:
(i)√23
Solution:
√23 = 4.79583152331…
Since the number is non-terminating non-recurring
therefore, it is an irrational number.
(ii)√225
Solution:
√225 = 15 = 15/1
Since the number can be represented in p/q
form, it is a rational number.
(iii) 0.3796
Solution:
Since the number,0.3796, is terminating, it is a
rational number.
(iv) 7.478478
Solution:
The number,7.478478, is non-terminating but
recurring, it is a rational number.
(v) 1.101001000100001…
Solution:
Since the number,1.101001000100001…, is
non-terminating non-repeating (non-recurring), it is an irrational number.
Complete Exercise 1.3
Class 9th Maths Chapter 1 Exercise 1.3 Number Systems (संख्या पद्धति) in hindi medium
व्यायाम 1.3
1. निम्नलिखित को दशमलव रूप में लिखिए और बताइए कि प्रत्येक का दशमलव प्रसार किस प्रकार का है :
(i) 36/100
समाधान:
= 0.36 (समाप्त)
(ii) 1/11
समाधान:
= 0.0909....
समाधान:
= 4.125 (समाप्त)
(iv) 3/13
समाधान:
= 0.230769...
(v) 2/11
समाधान:
= 0.18181818181818..... (गैर - समाप्त करना और दोहराना)
(vi) 329/400
Solution:
= 0.8225 (समाप्त)
2. आप जानते हैं कि 1/7 = 0.142857. क्या आप अनुमान लगा सकते हैं कि 2/7, 3/7, 4/7, 5/7, 6/7 के दशमलव प्रसार वास्तव में लंबा विभाजन किए बिना क्या हैं? यदि हां, तो कैसे?
[संकेत: 1/7 का मान ज्ञात करते हुए शेष का ध्यानपूर्वक अध्ययन करें।]
समाधान:
3. निम्नलिखित को p/q के रूप में व्यक्त कीजिए, जहाँ p और q पूर्णांक हैं और q 0 है।
मान लें कि x = 0.666…
फिर, 10x = 6.666…
10x = 6 + x
9x = 6
x = 2/3
(2)
समाधान:
= (4/10)+(0.777/10)
मान लें कि x = 0.777…
फिर, 10x = 7.777…
10x = 7 + x
x = 7/9
(4/10)+(0.777../10) = (4/10)+(7/90) ( x = 7/9 और x = 0.777…0.777…/10 = 7/(9×10) = 7 /90 )
= (36/90)+(7/90) = 43/90
(3)
समाधान:
मान लें कि x = 0.001001…
फिर, 1000x = 1.001001…
1000x = 1 + x
999x = 1
x = 1/999
4. एक्सप्रेस 0.999999…. पी/क्यू के रूप में। क्या आप अपने जवाब से हैरान हैं? अपने शिक्षक और सहपाठियों के साथ चर्चा करें कि उत्तर क्यों समझ में आता है।
समाधान:
मान लें कि x = 0.9999…..Eq (a)
दोनों पक्षों को 10 से गुणा करने पर,
10x = 9.9999…. समीकरण (बी)
समीकरण (बी) - समीकरण (ए), हम प्राप्त करते हैं
10एक्स = 9.9999…
-एक्स = -0.9999…
___________
9x = 9
x = 1
1 और 0.999999 के बीच का अंतर 0.000001 है जो नगण्य है।
इसलिए, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि, 0.999 1 के पास बहुत अधिक है, इसलिए, 1 के रूप में उत्तर को उचित ठहराया जा सकता है।
5. 1/17 के दशमलव प्रसार में अंकों के दोहराव वाले ब्लॉक में अंकों की अधिकतम संख्या कितनी हो सकती है? अपने उत्तर की जांच के लिए विभाजन करें।
समाधान:
1/17
1 को 17 से भाग देना:
1/17 के दशमलव प्रसार के दोहराव वाले ब्लॉक में 16 अंक होते हैं।
6. परिमेय संख्याओं के कई उदाहरणों को p/q (q 0) के रूप में देखें, जहां p और q पूर्णांक हैं जिनमें 1 के अलावा कोई सामान्य गुणनखंड नहीं है और जिनका दशमलव निरूपण (विस्तार) है। क्या आप अनुमान लगा सकते हैं कि q को कौन-सा गुण संतुष्ट करना चाहिए?
समाधान:
हम देखते हैं कि जब q 2, 4, 5, 8, 10… है तो दशमलव प्रसार सांत होता है। उदाहरण के लिए:
1/2 = 0. 5, हर q = 21
7/8 = 0. 875, हर q =23
4/5 = 0. 8, हर q = 51
हम देख सकते हैं कि सांत दशमलव उस स्थिति में प्राप्त किया जा सकता है जहां दी गई भिन्नों के हर के अभाज्य गुणनखंड में केवल 2 या केवल 5 या दोनों की घात होती है।
7. ऐसी तीन संख्याएँ लिखिए जिनके दशमलव प्रसार अनावर्ती अनावर्ती हैं।
समाधान:
हम जानते हैं कि सभी अपरिमेय संख्याएं अनावर्ती अनावर्ती होती हैं। दशमलव प्रसार वाली तीन संख्याएँ जो अनावर्ती अनावर्ती हैं, वे हैं:
1. 3 = 1.732050807568
2. 26 =5.099019513592
3. 101 = 10.04987562112
8. परिमेय संख्याओं 5/7 और 9/11 के बीच तीन भिन्न अपरिमेय संख्याएँ ज्ञात कीजिए।
समाधान:
तीन भिन्न अपरिमेय संख्याएँ हैं:
1. 0.73073007300073000073…
2. 0.7507500700070007000075…
3. 0.76076007600076000076…
9. निम्नलिखित संख्याओं को उनके प्रकार के अनुसार परिमेय या अपरिमेय के रूप में वर्गीकृत करें:
(मैं) √23
समाधान:
23 = 4.79583152331…
चूँकि संख्या असांत अनावर्ती है इसलिए यह एक अपरिमेय संख्या है।
(ii)√225
समाधान:
225 = 15 = 15/1
चूँकि संख्या को p/q रूप में दर्शाया जा सकता है, यह एक परिमेय संख्या है।
(iii) 0.3796
समाधान:
चूँकि संख्या, 0.3796, सांत है, यह एक परिमेय संख्या है।
(iv) 7.478478
समाधान:
संख्या, 7.478478, असांत है लेकिन आवर्ती है, यह एक परिमेय संख्या है।
(v) 1.10100100100001…
समाधान:
चूँकि संख्या, 1.10100100100001…, गैर-समाप्ति गैर-दोहराव (गैर-आवर्ती) है, यह एक अपरिमेय संख्या है।
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