Class 9th Maths Chapter 1 Exercise 1.5 Number Systems (संख्या पद्धति) in hindi medium

प्रश्नावली 1.5 कक्षा 9

1. निम्नलिखित संख्याओं को परिमेय या अपरिमेय के रूप में वर्गीकृत कीजिए:

(i) 2 -√5

समाधान:

हम जानते हैं कि, 5 = 2.2360679…

यहाँ, 2.2360679… अनावर्ती और अनावर्ती है।

अब, 5 के मान को 2 –√5 में प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं,

2-√5 = 2-2.2360679… = -0.2360679

चूँकि संख्या, – 0.2360679…, अनावर्ती अनावर्ती है, 2 –√5 एक अपरिमेय संख्या है।

(ii) (3 +√23)- √23

समाधान:

(3 +√23) –√23 = 3+√23–√23

= 3

= 3/1

चूँकि संख्या 3/1 p/q रूप में है, (3 +√23)- √23 परिमेय है।

(iii) 2√7/7√7

समाधान:

2√7/7√7 = ( 2/7)× (√7/√7)

हम जानते हैं कि (√7/√7) = 1

इसलिए, ( 2/7)× (√7/√7) = (2/7)×1 = 2/7

चूँकि संख्या, 2/7 p/q रूप में है, 2√7/7√7 परिमेय है।

(iv) 1/√2

समाधान:

अंश और हर को √2 से गुणा और भाग करने पर हमें प्राप्त होता है,

(1/√2) ×(√2/√2)= √2/2 ( 2×√2 = 2 के बाद से)

हम जानते हैं कि, 2 = 1.4142…

फिर, 2/2 = 1.4142/2 = 0.7071..

चूँकि संख्या 0.7071..अनावश्यक अनावर्ती है, 1/√2 एक अपरिमेय संख्या है।

(b) 2

समाधान:

हम जानते हैं कि, का मान = 3.1415

अत: 2 = 2×3.1415.. = 6.2830…

चूँकि संख्या, 6.2830…, अनावर्ती अनावर्ती है, 2 एक अपरिमेय संख्या है।

2. निम्नलिखित में से प्रत्येक व्यंजक को सरल कीजिए:

(i) (3+√3)(2+√2)

समाधान:

(3+√3)(2+√2)

कोष्ठकों को खोलने पर, हम प्राप्त करते हैं, (3×2)+(3×√2)+(√3×2)+(√3×√2)

= 6+3√2+2√3+√6

(ii) (3+√3)(3-√3)

समाधान:

(3+√3)(3-√3) = 32-(√3)2 = 9-3

= 6

(iii) (√5+√2)2

समाधान:

(√5+√2)2 = √52+(2×√5×√2)+ √22

= 5+2×√10+2 = 7+2√10

(iv) (√5-√2)(√5+√2)

समाधान:

(√5-√2)(√5+√2) = (√52-√22) = 5-2 = 3

3. याद कीजिए, को एक वृत्त की परिधि (मान लीजिए c) और उसके व्यास (जैसे d) के अनुपात के रूप में परिभाषित किया गया है। यानी = सी/डी। यह इस तथ्य का खंडन करता प्रतीत होता है कि अपरिमेय है। आप इस विरोधाभास का समाधान कैसे करेंगे?

समाधान:

कोई विरोधाभास नहीं है। जब हम किसी मान को पैमाने से मापते हैं, तो हमें केवल एक अनुमानित मान प्राप्त होता है। हम कभी भी एक सटीक मूल्य प्राप्त नहीं करते हैं। इसलिए, हम यह महसूस नहीं कर सकते हैं कि c या d अपरिमेय है। का मान लगभग 22/7 या 3.142857 के बराबर होता है...

4. संख्या रेखा पर (√9.3) निरूपित करें।

समाधान:

चरण 1: 9.3 इकाई लंबी रेखाखंड, AB खींचिए। AB को C तक इस प्रकार बढ़ाइए कि BC=1 इकाई हो।

चरण 2: अब, AC = 10.3 इकाई। माना AC का केंद्र O है।

चरण 3: त्रिज्या OC का एक अर्धवृत्त बनाएं जिसका केंद्र O है।

चरण 4: बिंदु B पर AC पर एक BD लंब खींचिए जो अर्धवृत्त को D पर काटता है। OD को मिलाएँ।

चरण 5: प्राप्त OBD एक समकोण त्रिभुज है।

यहाँ, OD 10.3/2 (अर्धवृत्त की त्रिज्या), OC = 10.3/2, BC = 1

ओबी = ओसी - बीसी

(10.3/2)-1 = 8.3/2

पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करते हुए,

हम पाते हैं,

OD2=BD2+OB2

(10.3/2)2 = BD2+(8.3/2)2

BD2 = (10.3/2)2-(8.3/2)2

(बीडी)2 = (10.3/2)-(8.3/2)(10.3/2)+(8.3/2)

BD2 = 9.3

बीडी = √9.3

अत: BD की लंबाई √9.3 है।

चरण 6: BD को त्रिज्या और B को केंद्र मानकर एक चाप खींचिए जो रेखाखंड को स्पर्श करता है। जिस बिंदु पर यह रेखा खंड को छूता है वह 0 से 9.3 की दूरी पर है जैसा कि चित्र में दिखाया गया है।