NCERT Solutions for Class 9 Maths Exercise 10.4 Chapter 10  Circles  In Hindi Medium

अध्याय 10 - वृत्त अभ्यास 10.4

1. 5 सेमी और 3 सेमी त्रिज्या वाले दो वृत्त दो बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करते हैं और उनके केंद्रों के बीच की दूरी 4 सेमी है। उभयनिष्ठ जीवा की लंबाई ज्ञात कीजिए।

समाधान:

उभयनिष्ठ जीवा का लंब समद्विभाजक दोनों वृत्तों के केंद्रों से होकर गुजरता है।

चूँकि वृत्त दो बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करते हैं, हम उपरोक्त आकृति की रचना कर सकते हैं।

AB को उभयनिष्ठ जीवा और O और O' को वृत्तों के केंद्र मानें

ओ'ए = 5 सेमी

ओए = 3 सेमी

OO' = 4 सेमी [केंद्रों के बीच की दूरी 4 सेमी है]

चूंकि बड़े वृत्त की त्रिज्या दो केंद्रों के बीच की दूरी से अधिक है, हम जानते हैं कि छोटे वृत्त का केंद्र बड़े वृत्त के अंदर होता है

AB का लम्ब समद्विभाजक OO है।

ओए = ओबी = 3 सेमी

चूँकि O AB का मध्यबिंदु है

एबी = 3 सेमी + 3 सेमी = 6 सेमी

उभयनिष्ठ जीवा की लंबाई 6 सेमी . है

यह स्पष्ट है कि उभयनिष्ठ जीवा छोटे वृत्त का व्यास है

2. यदि एक वृत्त की दो समान जीवाएँ वृत्त के भीतर प्रतिच्छेद करती हैं, तो सिद्ध कीजिए कि एक जीवा के खण्ड दूसरी जीवा के संगत खण्डों के बराबर होते हैं।

समाधान:

मान लीजिए AB और CD दो बराबर डोरियाँ हैं (अर्थात AB = CD)। उपरोक्त प्रश्न में, यह दिया गया है कि AB और CD एक बिंदु, मान लीजिए, E पर प्रतिच्छेद करते हैं।

अब यह सिद्ध किया जाना है कि रेखाखंड AE = DE और CE = BE

निर्माण कदम:

चरण 1: वृत्त के केंद्र से AB पर एक लंब खींचिए, अर्थात OM AB

चरण 2: इसी तरह, सीडी पर ड्रा करें।

चरण 3: OE में शामिल हों।

अब, आरेख इस प्रकार है-

सबूत:

आरेख से, यह देखा गया है कि OM AB को समद्विभाजित करता है और इसलिए, OM AB

इसी प्रकार, ON CD को समद्विभाजित करता है और इसलिए, ON CD

यह ज्ञात है कि एबी = सीडी। इसलिए,

AM = एनडी - (i)

और एमबी = सीएन - (ii)

अब, त्रिभुज ΔOME और ONE RHS सर्वांगसमता से समरूप हैं, क्योंकि

OME = ONE (वे लंबवत हैं)

OE = OE (यह उभयनिष्ठ पक्ष है)

OM = ON (AB और CD बराबर हैं और इसलिए, वे केंद्र से समान दूरी पर हैं)

OME ONE

एमई = एन (सीपीसीटी द्वारा) - (iii)

अब, समीकरण (i) और (ii) से हम पाते हैं,

AM+ME = ND+EN

तो, एई = ईडी

अब समीकरण (ii) और (iii) से हम प्राप्त करते हैं,

एमबी-एमई = सीएन-ईएन

तो, EB = CE (इसलिए सिद्ध)।

3. यदि किसी वृत्त की दो समान जीवाएँ वृत्त के भीतर प्रतिच्छेद करती हैं, तो सिद्ध कीजिए कि प्रतिच्छेद बिंदु को केंद्र से मिलाने वाली रेखा जीवाओं के साथ समान कोण बनाती है।

समाधान:

प्रश्न से हम निम्नलिखित जानते हैं:

(i) AB और CD दो जीवाएँ हैं जो बिंदु E पर प्रतिच्छेद करती हैं।

(ii) PQ वृत्त का व्यास है।

(iii) एबी = सीडी।

अब, हमें यह सिद्ध करना होगा कि BEQ = CEQ

इसके लिए निम्नलिखित निर्माण करना होगा:

निर्माण:

OM AB और ON ⊥ D के रूप में दो लंब खींचे गए हैं। अब, OE को मिलाएँ। निर्मित आरेख इस प्रकार दिखेगा:

अब त्रिभुज OEM और OEN पर विचार करें।

यहां,

(i) OM = ON [चूंकि बराबर जीवाएं हमेशा केंद्र से समान दूरी पर होती हैं]

(ii) OE = OE [यह उभयनिष्ठ पक्ष है]

(iii) OME = ONE [ये लंबवत हैं]

अतः, RHS सर्वांगसमता मानदंड से, OEM OEN।

अत: सीपीसीटी नियम के अनुसार, MEO = NEO

BEQ = CEQ (इसलिए सिद्ध)।

4. यदि एक रेखा O केंद्र वाले दो संकेंद्रित वृत्तों (एक ही केंद्र वाले वृत्त) को A, B, C और D पर काटती है, तो सिद्ध कीजिए कि AB = CD है (देखिए आकृति 10.25)।

समाधान:

दी गई छवि इस प्रकार है:

सबसे पहले, O से AD तक एक रेखाखंड इस प्रकार खींचिए कि OM AD हो।

तो, अब OM, OM AD से AD को समद्विभाजित कर रहा है।

अत: AM = MD — (i)

साथ ही, चूँकि OM BC, OM, BC को समद्विभाजित करता है।

इसलिए, बीएम = एमसी - (ii)

समीकरण (i) और समीकरण (ii) से,

एएम-बीएम = एमडी-एमसी

एबी = सीडी

5. तीन लड़कियाँ रेशमा, सलमा और मनदीप एक पार्क में खींचे गए 5m त्रिज्या के वृत्त पर खड़े होकर एक खेल खेल रही हैं। रेशमा सलमा को गेंद फेंकती है, सलमा मनदीप को, मनदीप रेशमा को। यदि रेशमा और सलमा के बीच और सलमा और मनदीप के बीच की दूरी प्रत्येक 6 मी है, तो रेशमा और मनदीप के बीच की दूरी क्या है?

समाधान:

माना रेशमा, सलमा और मनदीप के पदों को क्रमशः A, B और C के रूप में दर्शाया गया है।

प्रश्न से, हम जानते हैं कि AB = BC = 6cm।

अत: वृत्त की त्रिज्या अर्थात् OA = 5cm

अब एक लंब BM AC खींचिए।

चूँकि AB = BC, ABC को एक समद्विबाहु त्रिभुज माना जा सकता है। M, AC का मध्य-बिंदु है। BM, AC का लम्ब समद्विभाजक है और इस प्रकार यह वृत्त के केंद्र से होकर गुजरता है।

अब,

चलो AM = y और

ओएम = एक्स

अत: BM = (5-x) होगा।

OAM में पाइथागोरस प्रमेय को लागू करने पर हम पाते हैं,

OA2 = OM2 + AM2

52 = x2 +y2 - (i)

पुनः, AMB में पाइथागोरस प्रमेय का प्रयोग करके,

AB2 = BM2 + AM2

62 = (5-x)2+y2 - (ii)

समीकरण (i) को समीकरण (ii) से घटाने पर, हम प्राप्त करते हैं

36-25 = (5-x)2 +y2 -x2-y2

अब इस समीकरण को हल करने पर हमें x का मान प्राप्त होता है

एक्स = 7/5

समीकरण (i) में x का मान रखने पर हमें प्राप्त होता है

y2 +(49/25) = 25

y2 = 25 - (49/25)

इसे हल करने पर हमें y का मान इस प्रकार प्राप्त होता है

वाई = 24/5

इस प्रकार,

एसी = 2×एएम

= 2×y

= 2×(24/5) एम

एसी = 9.6 वर्ग मीटर

अतः रेशमा और मनदीप के बीच की दूरी 9.6 मीटर है।

6. 20 मीटर त्रिज्या का एक वृत्ताकार पार्क एक कॉलोनी में स्थित है। तीन लड़के अंकुर, सैयद और डेविड इसकी सीमा पर समान दूरी पर बैठे हैं, प्रत्येक के हाथों में एक-दूसरे से बात करने के लिए एक खिलौना टेलीफोन है। प्रत्येक फोन की डोरी की लंबाई ज्ञात कीजिए।

समाधान:

सबसे पहले, दिए गए कथनों के अनुसार एक आरेख बनाएं। आरेख इस प्रकार दिखेगा।

यहां अंकुर, सैयद और डेविड के पदों को क्रमशः ए, बी और सी के रूप में दर्शाया गया है। चूँकि वे समान दूरी पर बैठे हैं, त्रिभुज ABC एक समबाहु त्रिभुज बनाएगा।

AD BC खींचा गया है। अब, AD ΔABC की माध्यिका है और यह केंद्र O से होकर गुजरती है।

साथ ही, O ABC का केन्द्रक है। OA त्रिभुज की त्रिज्या है।

ओए = 2/3 एडी

मान लीजिए किसी त्रिभुज की भुजा एक मीटर है तो BD = a/2 m है।

ABD में पाइथागोरस प्रमेय का प्रयोग करना,

AB2 = BD2+AD2

AD2 = AB2 -BD2

AD2 = a2 -(a/2)2

AD2 = 3a2/4

एडी = √3a/2

ओए = 2/3 एडी

20 मीटर = 2/3 × 3a/2

ए = 20√3 एम

अतः, खिलौने की डोरी की लंबाई 20√3 m है।