NCERT Solutions for Class 9 Maths Exercise 10.5 Chapter 10  Circles  In Hindi Medium

अध्याय 10 - मंडलियां व्यायाम 10.5

1. आकृति 10.36 में, O केंद्र वाले एक वृत्त पर तीन बिंदु A, B और C इस प्रकार हैं कि ZBOC = 30° और ZAOB = 60° है। यदि चाप ABC के अलावा वृत्त पर D एक बिंदु है, तो ADC ज्ञात कीजिए।

समाधान:

दिया जाता है कि,

AOC = ∠AOB+∠BOC

अत: ∠AOC = 60°+30°

AOC = 90°

यह ज्ञात है कि एक चाप द्वारा वृत्त के केंद्र पर जो कोण बनाया जाता है, वह वृत्त के शेष भाग पर किसी भी बिंदु पर उस चाप द्वारा बनाए गए कोण का दोगुना होता है।

इसलिए,

∠ADC = (½)∠AOC

= (½)× 90° = 45°

2. एक वृत्त की जीवा वृत्त की त्रिज्या के बराबर होती है। जीवा द्वारा लघु चाप पर एक बिंदु पर और दीर्घ चाप के एक बिंदु पर भी अंतरित कोण ज्ञात कीजिए।

समाधान:

यहाँ जीवा AB वृत्त की त्रिज्या के बराबर है। उपरोक्त आरेख में, OA और OB वृत्त की दो त्रिज्याएँ हैं।

अब, OAB पर विचार करें। यहां,

AB = OA = OB = वृत्त की त्रिज्या।

अतः, यह कहा जा सकता है कि OAB की सभी भुजाएँ समान हैं और इस प्रकार, यह एक समबाहु त्रिभुज है।

AOC = 60°

और, ACB = ½ AOB

अत: ACB = ½ × 60° = 30°

अब चूँकि ACBD एक चक्रीय चतुर्भुज है,

∠ADB +∠ACB = 180° (चूंकि वे चक्रीय चतुर्भुज के सम्मुख कोण हैं)

अत: ADB = 180°-30° = 150°

अतः जीवा द्वारा लघु चाप पर एक बिंदु पर और दीर्घ चाप के एक बिंदु पर अंतरित कोण क्रमशः 150° और 30° हैं।

3. आकृति 10.37 में, PQR = 100°, जहाँ P, Q और R, O केंद्र वाले एक वृत्त पर स्थित बिंदु हैं। OPR ज्ञात कीजिए।

समाधान:

चूँकि एक चाप द्वारा वृत्त के केंद्र पर जो कोण अंतरित किया जाता है, वह वृत्त के शेष भाग पर किसी भी बिंदु पर उस चाप द्वारा बनाए गए कोण का दोगुना होता है।

अतः प्रतिवर्त POR = 2×∠PQR

हम कोण PQR के मान को 100° . के रूप में जानते हैं

अत: POR = 2×100° = 200°

पोर = 360°-200° = 160°

अब, ΔOPR में,

OP और OR वृत्त की त्रिज्याएँ हैं

अत: OP = OR

साथ ही, OPR = ORP

अब, हम जानते हैं कि त्रिभुज में कोणों का योग 180 डिग्री के बराबर होता है

इसलिए,

पोर+∠ओपीआर+∠ओआरपी = 180°

∠ओपीआर+∠ओपीआर = 180°-160°

OPR = ORP . के रूप में

2∠OPR = 20°

अत: ∠OPR = 10°

4. आकृति 10.38 में, ABC = 69°, ∠ACB = 31°, BDC ज्ञात कीजिए।

समाधान:

हम जानते हैं कि वृत्त के खंड में कोण बराबर होते हैं, इसलिए,

BAC = BDC

अब ABC में, सभी अंतः कोणों का योग 180° . होगा

अत: ∠ABC+∠BAC+∠ACB = 180°

अब, मान डालकर,

BAC = 180°-69°-31°

अत: BAC = 80°

BDC = 80°

5. आकृति 10.39 में, A, B, C और D एक वृत्त पर चार बिंदु हैं। AC और BD बिंदु E पर इस प्रकार प्रतिच्छेद करते हैं कि BEC = 130° और ECD = 20° है। बीएसी खोजें।

समाधान:

हम जानते हैं कि वृत्त के खंड में कोण बराबर होते हैं।

इसलिए,

बीएसी = सीडीई

अब, त्रिभुज के बाह्य कोणों के गुणधर्म का उपयोग करके

CDE में हम पाते हैं,

सीईबी = ∠ सीडीई+∠ डीसीई

हम जानते हैं कि DCE 20° . के बराबर होता है

अत: सीडीई = 110°

बीएसी और सीडीई बराबर हैं

बीएसी = 110°

6. ABCD एक चक्रीय चतुर्भुज है जिसके विकर्ण बिंदु E पर प्रतिच्छेद करते हैं। यदि DBC = 70°, BAC 30° है, तो BCD ज्ञात कीजिए। इसके अलावा, यदि AB = BC है, तो ECD ज्ञात कीजिए।

समाधान:

निम्नलिखित आरेख पर विचार करें।

कॉर्ड सीडी पर विचार करें,

हम जानते हैं कि एक ही खण्ड में कोण बराबर होते हैं।

अत: सीबीडी = सीएडी

सीएडी = 70°

अब, BAD कोणों BAC और CAD के योग के बराबर होगा।

तो, बीएडी = ∠ बीएसी + ∠ सीएडी

= 30°+70°

खराब = 100°

हम जानते हैं कि एक चक्रीय चतुर्भुज के सम्मुख कोणों का योग 180 डिग्री तक होता है।

इसलिए,

∠ बीसीडी+∠ बीएडी = 180°

यह ज्ञात है कि BAD = 100°

अत: BCD = 80°

अब ABC पर विचार करें।

यहाँ, यह दिया गया है कि AB = BC

साथ ही, BCA = CAB (ये त्रिभुज की बराबर भुजाओं के सम्मुख कोण होते हैं)

∠ बीसीए = 30°

साथ ही, BCD = 80°

∠ बीसीए +∠ एसीडी = 80°

अत: ACD = 50° और ∠ECD = 50°

7. यदि एक चक्रीय चतुर्भुज के विकर्ण चतुर्भुज के शीर्षों से होकर जाने वाले वृत्त के व्यास हैं, तो सिद्ध कीजिए कि यह एक आयत है।

समाधान:

O केंद्र वाले वृत्त के अंदर एक चक्रीय चतुर्भुज ABCD इस प्रकार खींचिए कि उसका विकर्ण AC और BD वृत्त के दो व्यास हों।

हम जानते हैं कि अर्धवृत्त में कोण बराबर होते हैं।

अत: ABC = BCD = CDA = DAB = 90°

इसलिए, चूंकि प्रत्येक आंतरिक कोण 90° है, यह कहा जा सकता है कि चतुर्भुज ABCD एक आयत है।

8. यदि किसी समलम्ब चतुर्भुज की गैर-समानांतर भुजाएँ बराबर हों, तो सिद्ध कीजिए कि वह चक्रीय है।

समाधान:

9. दो वृत्त दो बिंदुओं B और C पर प्रतिच्छेद करते हैं। B से होकर वृत्तों को क्रमशः A, D और P, Q पर प्रतिच्छेद करने के लिए दो रेखाखंड ABD और PBQ खींचे जाते हैं (देखिए आकृति 10.40)। सिद्ध कीजिए कि ACP = QCD।

समाधान:

निर्माण:

जीवाओं AP और DQ को मिलाइए।

जीवा AP के लिए, हम जानते हैं कि एक ही खंड में कोण बराबर होते हैं।

अतः, PBA = ACP — (i)

इसी प्रकार जीवा DQ के लिए,

डीबीक्यू = ∠ क्यूसीडी - (ii)

यह ज्ञात है कि ABD और PBQ दो रेखाखंड हैं जो B पर प्रतिच्छेद करते हैं।

B पर शीर्षाभिमुख कोण बराबर होंगे।

पीबीए = डीबीक्यू - (iii)

समीकरण (i), समीकरण (ii) और समीकरण (iii) से हम पाते हैं,

एसीपी = ∠ क्यूसीडी

10. यदि किसी त्रिभुज की दो भुजाओं को व्यास मानकर वृत्त खींचे जाते हैं, तो सिद्ध कीजिए कि इन वृत्तों का प्रतिच्छेद बिंदु तीसरी भुजा पर स्थित है।

समाधान:

पहले एक त्रिभुज ABC और फिर दो वृत्त खींचिए जिनका व्यास क्रमशः AB और AC है।

अब हमें यह सिद्ध करना होगा कि D, BC पर स्थित है और BDC एक सीधी रेखा है।

सबूत:

हम जानते हैं कि अर्धवृत्त में कोण बराबर होते हैं

अत: ADB = ADC = 90°

अत: ADB+∠ ADC = 180°

BDC एक सीधी रेखा है।

अतः, यह कहा जा सकता है कि D रेखा BC पर स्थित है।

11. ABC और ADC उभयनिष्ठ कर्ण AC वाले दो समकोण त्रिभुज हैं। सिद्ध कीजिए कि CAD = CBD।

समाधान:

हम जानते हैं कि AC सार्व कर्ण है और B = D = 90°।

अब, यह सिद्ध करना होगा कि CAD = CBD

चूँकि ABC और ∠ ADC 90° हैं, इसलिए यह कहा जा सकता है कि वे अर्धवृत्त में स्थित हैं।

तो, त्रिभुज ABC और ADC अर्धवृत्त में हैं और बिंदु A, B, C और D चक्रीय हैं।

अत: CD, O केंद्र वाले वृत्त की जीवा है।

हम जानते हैं कि वृत्त के एक ही खण्ड में कोण बराबर होते हैं।

सीएडी = सीबीडी

12. सिद्ध कीजिए कि एक चक्रीय समांतर चतुर्भुज एक आयत होता है।

समाधान:

यह दिया गया है कि ABCD एक चक्रीय समांतर चतुर्भुज है और हमें यह सिद्ध करना होगा कि ABCD एक आयत है।

सबूत:

अत: ABCD एक आयत है।