NCERT Solutions for Class 9 Maths Chapter 7 Exercise 7.3 Triangles(त्रिभुज) In Hindi Medium

त्रिभुज व्यायाम 7.3

1. ABC और DBC एक ही आधार BC पर स्थित दो समद्विबाहु त्रिभुज हैं और शीर्ष BC के एक ही ओर स्थित हैं (देखिए आकृति 7.39)। यदि AD को BC को P पर प्रतिच्छेद करने के लिए बढ़ाया जाता है, तो दर्शाइए कि

(i) ABD ACD

(ii) ABP ACP

(iii) AP A और D को समद्विभाजित करता है।

(iv) AP, BC का लम्ब समद्विभाजक है।

समाधान:

उपरोक्त प्रश्न में, यह दिया गया है कि ABC और DBC दो समद्विबाहु त्रिभुज हैं।

(i) ABD और ACD SSS सर्वांगसमता से समान हैं क्योंकि:

AD = AD (यह उभयनिष्ठ भुजा है)

AB = AC (चूंकि ΔABC समद्विबाहु है)

BD = CD (चूंकि ΔDBC समद्विबाहु है)

ΔABD ACD।

(ii) ΔABP और ACP समान हैं:

AP = AP (यह उभयनिष्ठ पक्ष है)

PAB = PAC (CPCT द्वारा ABD ACD के बाद से)

AB = AC (चूंकि ΔABC समद्विबाहु है)

अत: SAS सर्वांगसमता की स्थिति से ABP ACP।

(iii) PAB = PAC CPCT द्वारा ABD ACD के रूप में।

AP A को समद्विभाजित करता है। - (मैं)

साथ ही, BPD और CPD SSS सर्वांगसमता द्वारा समान हैं जैसे

पीडी = पीडी (यह सामान्य पक्ष है)

BD = CD (चूंकि ΔDBC समद्विबाहु है।)

BP = CP (CPCT द्वारा ABP ACP के रूप में)

अत: BPD CPD।

अत: BDP = CDP बटा CPCT। - (ii)

अब (i) और (ii) की तुलना करके यह कहा जा सकता है कि AP A और D को भी समद्विभाजित करता है।

(iv) ∠BPD = CPD (CPCT द्वारा BPD ΔCPD के रूप में)

और बीपी = सीपी - (i)

भी,

BPD +∠CPD = 180° (चूंकि BC एक सीधी रेखा है।)

⇒ 2∠BPD = 180°

BPD = 90° —(ii)

अब, समीकरणों (i) और (ii) से, यह कहा जा सकता है कि

AP, BC का लम्ब समद्विभाजक है।

2. AD एक समद्विबाहु त्रिभुज ABC का एक शीर्षलंब है जिसमें AB = AC है। बताते हैं कि

(i) AD, BC को समद्विभाजित करता है (ii) AD, A को समद्विभाजित करता है।

समाधान:

यह दिया गया है कि AD एक ऊंचाई है और AB = AC है। आरेख इस प्रकार है:

(i) ABD और ACD में,

ADB = ADC = 90°

AB = AC (प्रश्न में दिया गया है)

AD = AD (सामान्य भुजा)

ABD ACD RHS सर्वांगसमता दशा द्वारा।

अब, सीपीसीटी के नियम से,

बीडी = सीडी।

अत: AD, BC को समद्विभाजित करता है

(ii) फिर से, CPCT के नियम से, BAD = CAD

अत: AD, A को समद्विभाजित करता है।

3. एक त्रिभुज ABC की दो भुजाएँ AB और BC और माध्यिका AM क्रमशः भुजाओं PQ और QR के बराबर हैं और PQR की माध्यिका PN है (देखिए आकृति 7.40)। बताते हैं कि:

(i) ABM PQN

(ii) ABC PQR

समाधान:

दिए गए पैरामीटर हैं:

एबी = पीक्यू,

बीसी = क्यूआर और

एएम = पीएन

(i) ½ BC = BM और ½ QR = QN (चूंकि AM और PN माध्यिकाएँ हैं)

साथ ही, BC = QR

तो, ½ BC = ½ QR

बीएम = क्यूएन

ABM और PQN में,

AM = PN और AB = PQ (जैसा कि प्रश्न में दिया गया है)

बीएम = क्यूएन (पहले से ही सिद्ध)

SSS सर्वांगसमता से ABM PQN।

(ii) ABC और PQR में,

एबी = पीक्यू और बीसी = क्यूआर (जैसा कि प्रश्न में दिया गया है)

ABC = PQR (CPCT द्वारा)

अत: SAS सर्वांगसमता से ABC PQR।

4. BE और CF एक त्रिभुज ABC के दो बराबर शीर्षलंब हैं। RHS सर्वांगसमता नियम का प्रयोग करके सिद्ध कीजिए कि त्रिभुज ABC समद्विबाहु है।

समाधान:

यह ज्ञात है कि BE और CF दो समान ऊँचाई हैं।

अब, BEC और CFB में,

BEC = CFB = 90° (समान ऊँचाई)

बीसी = सीबी (सामान्य पक्ष)

बीई = सीएफ (सामान्य पक्ष)

अतः, RHS सर्वांगसमता मानदंड द्वारा BEC CFB।

साथ ही, C = B (सीपीसीटी द्वारा)

अत: AB = AC, क्योंकि समान कोणों की सम्मुख भुजाएँ सदैव समान होती हैं।

5. ABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है जिसमें AB = AC है। AP BC खींचकर दर्शाइए कि B = C है।

समाधान:

प्रश्न में यह दिया गया है कि AB = AC

अब, ABP और ACP, RHS सर्वांगसमता के अनुसार समान हैं:

APB = APC = 90° (AP ऊंचाई है)

AB = AC (प्रश्न में दिया गया है)

एपी = एपी (सामान्य पक्ष)

अतः, ABP ACP।

B = C (सीपीसीटी द्वारा)