NCERT Solutions for Class 9 Maths Chapter 7 Exercise 7.2Triangles(त्रिभुज) In Hindi Medium

अध्याय 7 - त्रिभुज व्यायाम 7.2

1. एक समद्विबाहु त्रिभुज ABC में, AB = AC के साथ, B और ∠C के समद्विभाजक एक दूसरे को O पर काटते हैं। A को O से मिलाइए। दर्शाइए कि:

(i) OB = OC (ii) AO A . को समद्विभाजित करता है

समाधान:

दिया गया:

एबी = एसी और

B और C के समद्विभाजक एक दूसरे को O . पर काटते हैं

(i) चूँकि ABC एक समद्विबाहु है जिसमें AB = AC है,

बी = सी

½ B = ½ C

OBC = OCB (कोण समद्विभाजक)

OB = OC (समान कोणों की सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं।)

(ii) AOB और AOC में,

AB = AC (प्रश्न में दिया गया है)

AO = AO (सामान्य भुजा)

ओबी = ओसी (जैसा कि पहले ही साबित हो चुका है)

अत: SSS सर्वांगसमता शर्त द्वारा AOB AOC।

बीएओ = सीएओ (सीपीसीटी द्वारा)

इस प्रकार, AO A को समद्विभाजित करता है।

2. ABC में, AD BC का लम्ब समद्विभाजक है (देखिए आकृति 7.30)। दर्शाइए कि ABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है जिसमें AB = AC है।

समाधान:

यह दिया गया है कि AD, BC का लंब समद्विभाजक है

साबित करना:

एबी = एसी

प्रमाण:

ADB और ADC में,

AD = AD (यह उभयनिष्ठ भुजा है)

ADB = ADC

BD = CD (चूंकि AD एक लंब समद्विभाजक है)

अतः, SAS सर्वांगसमता मानदंड द्वारा ADB ADC।

इस प्रकार,

एबी = एसी (सीपीसीटी द्वारा)

3. ABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है जिसमें समान भुजाओं AC और AB पर क्रमश: BE और CF के शीर्षलंब खींचे जाते हैं (देखिए आकृति 7.31)। दिखाएँ कि ये ऊँचाई बराबर हैं।

समाधान:

दिया गया:

(i) बीई और सीएफ ऊंचाई हैं।

(ii) एसी = एबी

साबित करना:

बीई = सीएफ

प्रमाण:

त्रिभुज AEB और AFC, AAS सर्वांगसमता से समरूप हैं, क्योंकि

∠A = A (यह उभयनिष्ठ भुजा है)

AEB = AFC (वे समकोण हैं)

AB = AC (प्रश्न में दिया गया है)

AEB AFC और इसलिए, BE = CF (CPCT द्वारा)।

4. ABC एक त्रिभुज है जिसमें AC और AB की भुजाओं के शीर्षलंब BE और CF बराबर हैं (देखिए आकृति 7.32)। बताते हैं कि

(i) ABE ACF

(ii) AB = AC, अर्थात् ABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है।

समाधान:

यह दिया गया है कि BE = CF

(i) ABE और ΔACF में,

∠A = A (यह उभयनिष्ठ कोण है)

AEB = AFC (वे समकोण हैं)

बीई = सीएफ (प्रश्न में दिया गया है)

ABE ACF AAS सर्वांगसमता की स्थिति से।

(ii) AB = AC बटा CPCT और इसलिए, ABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है।

5. ABC और DBC एक ही आधार BC पर स्थित दो समद्विबाहु त्रिभुज हैं (देखिए आकृति 7.33)। दर्शाइए कि ABD = ACD है।

समाधान:

प्रश्न में यह दिया गया है कि ABC और DBC दो समद्विबाहु त्रिभुज हैं।

हमें यह दिखाना होगा कि ∠ABD = ACD

प्रमाण:

त्रिभुज ΔABD और ΔACD SSS सर्वांगसमता से समरूप हैं क्योंकि

AD = AD (यह उभयनिष्ठ भुजा है)

AB = AC (चूंकि ABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है)

बीडी = सीडी (चूंकि बीसीडी एक समद्विबाहु त्रिभुज है)

अत: ABD ACD।

ABD = ACD CPCT द्वारा।

6. ABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है जिसमें AB = AC है। भुजा BA को D तक इस प्रकार बढ़ाया जाता है कि AD = AB (देखिए आकृति 7.34)। दर्शाइए कि BCD एक समकोण है।

समाधान:

यह दिया गया है कि AB = AC और AD = AB

अब हमें सिद्ध करना होगा कि BCD एक समकोण है।

प्रमाण:

ABC पर विचार करें,

AB = AC (प्रश्न में दिया गया है)

साथ ही, ∠ACB = ABC (वे बराबर भुजाओं के सम्मुख कोण होते हैं और इसलिए वे बराबर होते हैं)

अब, ACD पर विचार करें,

एडी = एबी

साथ ही, ∠ADC = ACD (वे बराबर भुजाओं के सम्मुख कोण होते हैं और इसलिए वे बराबर होते हैं)

अभी,

ABC में,

CAB + ∠ACB + ∠ABC = 180°

अत: CAB + 2∠ACB = 180°

CAB = 180° - 2∠ACB - (i)

इसी प्रकार, ΔADC में,

CAD = 180° - 2∠ACD - (ii)

भी,

CAB + ∠CAD = 180° (BD एक सीधी रेखा है।)

(i) और (ii) को जोड़ने पर हमें प्राप्त होता है,

CAB + CAD = 180° - 2∠ACB+180° - 2∠ACD

⇒ 180° = 360° - 2∠ACB-2∠ACD

⇒ 2(∠ACB+∠ACD) = 180°

BCD = 90°

7. ABC एक समकोण त्रिभुज है जिसमें A = 90° और AB = AC है। B और C खोजें।

समाधान:

प्रश्न में यह दिया गया है कि

A = 90° और AB = AC

एबी = एसी

B = C (वे बराबर भुजाओं के सम्मुख कोण होते हैं और इसलिए वे बराबर होते हैं)

अभी,

∠A+∠B+∠C = 180° (चूंकि त्रिभुज के आंतरिक कोणों का योग)

90° + 2∠B = 180°

⇒ 2∠B = 90°

B = 45°

अत: ∠B = ∠C = 45°

8. दर्शाइए कि एक समबाहु त्रिभुज के प्रत्येक कोण 60° के होते हैं।

समाधान:

मान लीजिए ABC एक समबाहु त्रिभुज है जैसा कि नीचे दिखाया गया है:

यहाँ, BC = AC = AB (चूंकि सभी भुजाओं की लंबाई समान है)

A = ∠B =∠C (समान कोणों की सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं।)

साथ ही, हम जानते हैं कि

A+∠B+∠C = 180°

⇒ 3∠A = 180°

A = 60°

A = ∠B = C = 60°

अतः एक समबाहु त्रिभुज के प्रत्येक कोण सदैव 60° के होते हैं।