NCERT Solutions for Class 9 Maths Chapter 7 Exercise 7.1Triangles(त्रिभुज) In Hindi Medium

NCERT Solutions for Class 9 Maths Chapter 7 - त्रिभुज अभ्यास 7.1

1. चतुर्भुज ACBD में, AC = AD और AB A को समद्विभाजित करते हैं (देखिए आकृति 7.16)। दर्शाइए कि ABC≅ ABD. आप BC और BD के बारे में क्या कह सकते हैं?

समाधान:

यह दिया गया है कि AC और AD बराबर हैं अर्थात AC = AD और रेखाखंड AB ∠A को समद्विभाजित करता है।

अब हमें यह सिद्ध करना होगा कि दो त्रिभुज ABC और ABD समरूप हैं अर्थात् ABC ABD

प्रमाण:

त्रिभुज ABC और ABD पर विचार करें,

(i) एसी = एडी (यह प्रश्न में दिया गया है)

(ii) एबी = एबी (सामान्य)

(iii) ∠CAB = DAB (चूंकि AB कोण A का समद्विभाजक है)

अतः, SAS सर्वांगसमता कसौटी के अनुसार, ABC ABD।

प्रश्न के दूसरे भाग के लिए, BC और BD समान लंबाई के हैं C.P.C.T के नियम के अनुसार।

2. ABCD एक चतुर्भुज है जिसमें AD = BC और ZDAB = ZCBA है (देखिए आकृति 7.17)। साबित करो

(i) ABD BAC

(ii) बीडी = एसी

(iii) ∠ABD = BAC।

समाधान:

प्रश्नों में दिए गए पैरामीटर ∠DAB = CBA और AD = BC हैं।

(i) SAS सर्वांगसमता से ABD और BAC समान हैं:

AB = BA (यह उभयनिष्ठ भुजा है)

DAB = CBA और AD = BC (ये प्रश्न में दिए गए हैं)

अत: त्रिभुज ABD और BAC समरूप हैं अर्थात् ABD BAC। (इसलिए सिद्ध)।

(ii) अब यह ज्ञात है कि ABD BAC इसलिए,

बीडी = एसी (सीपीसीटी के नियम से)।

(iii) चूँकि ABD BAC इसलिए,

कोण ∠ABD = BAC (CPCT के नियम से)।

3. AD और BC एक रेखाखंड AB पर समान लंब हैं (देखिए आकृति 7.18)। दर्शाइए कि CD AB को समद्विभाजित करती है।

समाधान:

यह दिया गया है कि AD और BC AB पर दो समान लम्ब हैं।

हमें सिद्ध करना होगा कि CD, AB का समद्विभाजक है

अभी,

त्रिभुज ΔAOD और BOC, AAS सर्वांगसमता से समरूप हैं क्योंकि:

(i) A = B (वे लंबवत हैं)

(ii) AD = BC (जैसा कि प्रश्न में दिया गया है)

(iii) ∠AOD = BOC (वे शीर्षाभिमुख कोण हैं)

AOD BOC।

तो, AO = OB (CPCT के नियम से)।

इस प्रकार, CD AB को समद्विभाजित करती है (इसलिए सिद्ध)।

4. l और m दो समानांतर रेखाएँ हैं जो समानांतर रेखाओं p और q के एक अन्य युग्म द्वारा प्रतिच्छेदित होती हैं (देखिए आकृति 7.19)। दर्शाइए कि ABC CDA।

समाधान:

यह दिया गया है कि पी || क्यू और एल || एम

साबित करना:

त्रिभुज ABC और CDA समरूप हैं अर्थात ABC ΔCDA

प्रमाण:

ABC और CDA पर विचार करें,

(i) BCA = DAC और BAC = DCA क्योंकि वे एकांतर अंतः कोण हैं।

(ii) AC = CA क्योंकि यह उभयनिष्ठ भुजा है

अतः, ASA सर्वांगसमता मानदंड से, ABC CDA।

5. रेखा l कोण A का समद्विभाजक है और B, l पर कोई बिंदु है। BP और BQ, B से A की भुजाओं पर लम्ब हैं (देखिए आकृति 7.20)। बताते हैं कि:

(i) APB AQB

(ii) BP = BQ या B, A की भुजाओं से समान दूरी पर है।

समाधान:

यह दिया गया है कि रेखा "l" कोण A का समद्विभाजक है और रेखा खंड BP और BQ, l से खींचे गए लंबवत हैं।

(i) AAS सर्वांगसमता से APB और AQB समान हैं क्योंकि:

P = Q (वे दो समकोण हैं)

AB = AB (यह उभयनिष्ठ भुजा है)

BAP = BAQ (चूंकि रेखा l कोण A का समद्विभाजक है)

अतः, APB AQB।

(ii) सीपीसीटी के नियम से, बीपी = बीक्यू। अतः, यह कहा जा सकता है कि बिंदु B, A की भुजाओं से समान दूरी पर है।

6. आकृति 7.21 में, AC = AE, AB = AD और ZBAD = ZEAC। दर्शाइए कि BC = DE है।

समाधान:

प्रश्न में दिया गया है कि AB = AD, AC = AE, और ∠BAD = EAC

साबित करना:

रेखाखंड BC और DE समरूप हैं अर्थात BC = DE

प्रमाण:

हम जानते हैं कि BAD = EAC

अब, दोनों पक्षों में DAC जोड़ने पर, हम प्राप्त करते हैं,

BAD + DAC = EAC +∠DAC

इसका तात्पर्य है, BAC = EAD

अब, ABC और ADE SAS सर्वांगसमता द्वारा समान हैं क्योंकि:

(i) एसी = एई (जैसा कि प्रश्न में दिया गया है)

(ii) ∠BAC = EAD

(iii) AB = AD (यह प्रश्न में भी दिया गया है)

त्रिभुज ABC और ADE समरूप हैं अर्थात ABC ADE।

तो, CPCT के नियम से यह कहा जा सकता है कि BC = DE।

7. AB एक रेखाखंड है और P इसका मध्य-बिंदु है। D और E AB के एक ही ओर स्थित बिंदु इस प्रकार हैं कि ∠BAD = ABE और EPA = DPB (देखिए आकृति 7.22)। बताते हैं कि

(i) डीएपी ईबीपी

(ii) एडी = बीई

समाधान:

प्रश्न में, यह दिया गया है कि P रेखाखंड AB का मध्य-बिंदु है। साथ ही, BAD = ABE और ∠EPA = DPB

(i) यह दिया गया है कि ∠EPA = DPB

अब, दोनों तरफ DPE डालें,

ईपीए +∠डीपीई = डीपीबी+∠डीपीई

इसका तात्पर्य यह है कि कोण DPA और EPB बराबर हैं अर्थात DPA = EPB

अब, त्रिभुज DAP और EBP पर विचार करें।

डीपीए = ईपीबी

AP = BP (चूंकि P रेखाखंड AB का मध्य-बिंदु है)

BAD = ABE (जैसा कि प्रश्न में दिया गया है)

अतः, ASA सर्वांगसमता से, DAP EBP।

(ii) सीपीसीटी के नियम से, एडी = बीई।

8. समकोण त्रिभुज ABC में, C पर समकोण, M कर्ण AB का मध्य-बिंदु है। C को M से जोड़ा जाता है और एक बिंदु D तक इस प्रकार बढ़ाया जाता है कि DM = CM हो। बिंदु D को बिंदु B से जोड़ा गया है (देखिए आकृति 7.23)। बताते हैं कि:

(i) एएमसी बीएमडी

(ii) DBC एक समकोण है।

(iii) DBC ACB

(iv) सीएम = ½ एबी

समाधान:

यह दिया गया है कि M रेखाखंड AB का मध्य-बिंदु है, C = 90°, और DM = CM

(i) त्रिभुजों ΔAMC और BMD पर विचार कीजिए:

AM = BM (चूंकि M मध्य-बिंदु है)

सीएम = डीएम (प्रश्न में दिया गया है)

CMA = DMB (वे लंबवत विपरीत कोण हैं)

अतः, SAS सर्वांगसमता मानदंड से, AMC BMD।

(ii) ∠ACM = BDM (CPCT द्वारा)

∴ एसी || BD, क्योंकि एकांतर अंतः कोण बराबर होते हैं।

अब, ACB +∠DBC = 180° (चूंकि वे सह-आंतरिक कोण हैं)

90° +∠B = 180°

DBC = 90°

(iii) DBC और ACB में,

बीसी = सीबी (सामान्य पक्ष)

ACB = DBC (वे समकोण हैं)

डीबी = एसी (सीपीसीटी द्वारा)

अत: SAS सर्वांगसमता से DBC ACB।

(iv) DC = AB (चूंकि ΔDBC ACB)

डीएम = सीएम = एएम = बीएम (चूंकि एम मध्य बिंदु है)

तो, डीएम + सीएम = बीएम + एएम

इसलिए, सीएम + सीएम = एबी

⇒ सीएम = (½) एबी