NCERT Solutions for Class 9 Maths Chapter 9 Area of Parallelograms and Triangles In Hindi Medium 

 NCERT Solutions for Class 9 Maths Chapter 9 Exercise 9.1 Area of Parallelograms and Triangles In Hindi Medium

अध्याय 9- समांतर चतुर्भुज और त्रिभुजों का क्षेत्रफल अभ्यास 9.1

1. निम्नलिखित में से कौन सी आकृति एक ही आधार पर और एक ही समांतर रेखाओं के बीच में स्थित है? ऐसी स्थिति में उभयनिष्ठ आधार और दो समांतर लिखिए।

समाधान:

(i) समलंब ABCD और PDC एक ही DC पर और समान समानांतर रेखाओं AB और DC के बीच स्थित हैं।

(ii) समांतर चतुर्भुज PQRS और समलंब SMNR एक ही आधार SR पर स्थित हैं लेकिन समान समानांतर रेखाओं के बीच में नहीं हैं।

(iii) समांतर चतुर्भुज PQRS और RTQ एक ही आधार QR पर और समान समानांतर रेखाओं QR और PS के बीच में स्थित हैं।

(iv) समांतर चतुर्भुज ABCD और ΔPQR एक ही आधार पर नहीं, बल्कि समान समानांतर रेखाओं BC और AD के बीच में स्थित हैं।

(v) चतुर्भुज ABQD और समलम्ब चतुर्भुज APCD एक ही आधार AD पर और समान समानांतर रेखाओं AD और BQ के बीच स्थित हैं।

(vi) समांतर चतुर्भुज PQRS और समांतर चतुर्भुज ABCD एक ही आधार SR पर नहीं बल्कि समान समानांतर रेखाओं SR और PQ के बीच में स्थित हैं।

 NCERT Solutions for Class 9 Maths Chapter 9 Exercise 9.2 Area of Parallelograms and Triangles In Hindi Medium

अध्याय 9 समांतर चतुर्भुजों और त्रिभुजों का क्षेत्रफल अभ्यास 9.2

1. आकृति 9.15 में, ABCD एक समांतर चतुर्भुज है, AE DC और CF ⊥ AD। यदि AB = 16 सेमी, AE = 8 सेमी और CF = 10 सेमी है, तो AD ज्ञात कीजिए।

समाधान:

दिया गया,

AB = CD = 16 सेमी (एक समांतर चतुर्भुज की विपरीत भुजाएँ)

CF = 10 सेमी और AE = 8 सेमी

अब,

समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल = आधार × ऊँचाई

= सीडी×एई = एडी×सीएफ

⇒ 16×8 = AD×10

एडी = 128/10 सेमी

एडी = 12.8 सेमी

2. यदि एक समांतर चतुर्भुज ABCD की भुजाओं के क्रमशः E, F, G और H क्रमशः मध्य-बिंदु हैं, तो दर्शाइए कि ar (EFGH) = 1/2 ar(ABCD) है। 

समाधान:

दिया गया,

E, F, G और H एक समांतर चतुर्भुज ABCD की भुजाओं के मध्य-बिंदु क्रमशः हैं।

साबित करना,

एआर (ईएफजीएच) = ½ एआर (एबीसीडी)

निर्माण,

एच और एफ शामिल हो गए हैं।

सबूत,

एडी || BC और AD = BC (एक समांतर चतुर्भुज की विपरीत भुजाएँ)

½ AD = ½ BC

भी,

आह || बीएफ और और डीएच || सीएफ़

AH = BF और DH = CF (H और F मध्य बिंदु हैं)

, ABFH और HFCD समांतर चतुर्भुज हैं।

अब,

हम जानते हैं कि ΔEFH और समांतर चतुर्भुज ABFH, दोनों एक ही FH पर उभयनिष्ठ आधार पर स्थित हैं और समान समानांतर रेखाओं AB और HF के बीच में स्थित हैं।

EFH का क्षेत्रफल = ABFH का ½ क्षेत्रफल - (i)

और, GHF का क्षेत्रफल = ½ HFCD का क्षेत्रफल - (ii)

(i) और (ii) जोड़ना,

EFH का क्षेत्रफल + ΔGHF का क्षेत्रफल = ½ ABFH का क्षेत्रफल + HFCD का ½ क्षेत्रफल

EFGH का क्षेत्रफल = ABFH का क्षेत्रफल

ar (EFGH) = ½ ar (ABCD)

3. P और Q समांतर चतुर्भुज ABCD की भुजाओं DC और AD पर स्थित कोई दो बिंदु हैं।

दिखाएँ कि ar(APB) = ar(BQC)।

समाधान:

APB और समांतर चतुर्भुज ABCD एक ही आधार AB पर और समान समानांतर AB और DC के बीच में स्थित हैं।

ar(ΔAPB) = ½ ar(समांतर चतुर्भुज ABCD) — (i)

इसी तरह,

ar(ΔBQC) = ½ ar(समांतर चतुर्भुज ABCD) - (ii)

(i) और (ii) से, हमारे पास है

ar(ΔAPB) = ar(ΔBQC)

4. आकृति 9.16 में, P एक समांतर चतुर्भुज ABCD के अभ्यंतर में स्थित एक बिंदु है। बताते हैं कि

(i) ar(APB) + ar(PCD) = ½ ar(ABCD)

(ii) ar(APD) + ar(PBC) = ar(APB) + ar(PCD)

[संकेत : P से होकर AB के समांतर एक रेखा खींचिए।]

समाधान:

(i) AB के समानांतर एक रेखा GH खींची जाती है जो P से होकर गुजरती है।

एक समांतर चतुर्भुज में,

एबी || जीएच (निर्माण द्वारा) - (i)

,

एडी || बीसी एजी || बीएच - (ii)

समीकरणों (i) और (ii) से,

ABHG एक समांतर चतुर्भुज है।

अब,

APB और समांतर चतुर्भुज ABHG एक ही आधार AB पर और समान समानांतर रेखाओं AB और GH के बीच में स्थित हैं।

ar(ΔAPB) = ½ ar(ABHG) — (iii)

भी,

PCD और समांतर चतुर्भुज CDGH एक ही आधार CD पर और समान समानांतर रेखाओं CD और GH के बीच में स्थित हैं।

ar(ΔPCD) = ½ ar(CDGH) — (iv)

समीकरण (iii) और (iv) जोड़ना,

ar(ΔAPB) + ar(ΔPCD) = ½ [ar(ABHG)+ar(CDGH)]

ar(APB)+ ar(PCD) = ½ ar(ABCD)

(ii) P से होकर जाने वाली AD के समानांतर एक रेखा EF खींची गई है।

समांतर चतुर्भुज में,

एडी || ईएफ (निर्माण द्वारा) - (i)

,

एबी || सीडी एई || डीएफ - (ii)

समीकरणों (i) और (ii) से,

AEDF एक समांतर चतुर्भुज है।

अब,

ΔAPD और समांतर चतुर्भुज AEFD एक ही आधार AD पर और समान समानांतर रेखाओं AD और EF के बीच में स्थित हैं।

ar(ΔAPD) = ½ ar(AEFD) — (iii)

भी,

PBC और समांतर चतुर्भुज BCFE एक ही आधार BC पर और समान समानांतर रेखाओं BC और EF के बीच में स्थित हैं।

ar(ΔPBC) = ½ ar(BCFE) — (iv)

समीकरण (iii) और (iv) जोड़ना,

ar(ΔAPD)+ ar(ΔPBC) = ½ {ar(AEFD)+ar(BCFE)}

ar(APD)+ar(PBC) = ar(APB)+ar(PCD)

5. आकृति 9.17 में, PQRS और ABRS समांतर चतुर्भुज हैं और X भुजा BR पर स्थित कोई बिंदु है। बताते हैं कि

(i) ar (PQRS) = ar (ABRS)

(ii) ar (AXS) = ½ ar (PQRS)

समाधान:

(i) समांतर चतुर्भुज PQRS और ABRS एक ही आधार SR और समान समानांतर रेखाओं SR और PB के बीच में स्थित हैं।

ar(PQRS) = ar(ABRS) — (i)

(ii) AXS और समांतर चतुर्भुज ABRS एक ही आधार AS और समान समानांतर रेखाओं AS और BR के बीच में स्थित हैं।

ar(ΔAXS) = ½ ar(ABRS) — (ii)

(i) और (ii) से हम पाते हैं कि,

ar(ΔAXS) = ½ ar(PQRS)

6. एक किसान के पास एक समांतर चतुर्भुज PQRS के रूप में एक खेत था। उसने RS पर कोई बिंदु A लिया और उसे बिंदु P और Q से मिला दिया। खेतों को कितने भागों में बांटा गया है? इन भागों के आकार क्या हैं? किसान गेहूँ और दालों को खेत के बराबर भागों में अलग-अलग बोना चाहता है। उसे कैसे करना चाहिए?

समाधान:

मैदान को त्रिकोणीय आकार में तीन भागों में बांटा गया है।

माना, PSA, PAQ और QAR त्रिभुज हैं।

(ΔPSA + PAQ + QAR) का क्षेत्रफल = PQRS का क्षेत्रफल — (i)

PAQ का क्षेत्रफल = PQRS का ½ क्षेत्रफल - (ii)

यहाँ, त्रिभुज और समांतर चतुर्भुज एक ही आधार पर और एक ही समानांतर रेखाओं के बीच में हैं।

(i) और (ii) से,

ΔPSA का क्षेत्रफल + QAR का क्षेत्रफल = ½ PQRS का क्षेत्रफल - (iii)

(ii) और (iii) से, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि,

किसान को PAQ या PSA और QAR दोनों में गेहूं या दाल बोना चाहिए।

 NCERT Solutions for Class 9 Maths Chapter 9 Exercise 9.3 Area of Parallelograms and Triangles In Hindi Medium

अध्याय 9 - समांतर चतुर्भुजों और त्रिभुजों का क्षेत्रफल अभ्यास 9.3

1. आकृति 9.23 में, E एक AABC की माध्यिका AD पर स्थित कोई बिंदु है। दर्शाइए कि ar (ABE) = ar (ACE) है।

समाधान:

दिया गया,

AD ABC की माध्यिका है। , यह ABC को समान क्षेत्रफल वाले दो त्रिभुजों में विभाजित करेगा।

ar(ABD) = ar(ACD) — (i)

भी,

ED ABC की माध्यिका है।

ar(EBD) = ar(ECD) — (ii)

घटाना (ii) (i) से,

एआर (एबीडी) - एआर (ईबीडी) = एआर (एसीडी) - एआर (ईसीडी)

ar(ABE) = ar(ACE)

2. एक त्रिभुज ABC में, E माध्यिका AD का मध्य-बिंदु है। दर्शाइए कि ar(BED) = ar(ABC) है।

समाधान:

ar(BED) = (1/2)×BD×DE

चूँकि E, AD का मध्य-बिन्दु है,

एई = डीई

चूँकि AD त्रिभुज ABC की भुजा BC पर माध्यिका है,

बीडी = डीसी

,

डीई = (1/2) एडी - (i)

बीडी = (1/2)बीसी - (ii)

(i) और (ii) से, हम प्राप्त करते हैं,

एआर(बीईडी) = (1/2)×(1/2)बीसी × (1/2)एडी

ar(BED) = (1/2)×(1/2)ar(ABC)

एआर (बीईडी) = ¼ एआर (एबीसी)

3. दर्शाइए कि एक समान्तर चतुर्भुज के विकर्ण उसे समान क्षेत्रफल वाले चार त्रिभुजों में विभाजित करते हैं।

समाधान:

O, AC और BD का मध्य बिंदु है। (के विकर्ण एक दूसरे को समद्विभाजित करते हैं)

ABC में, BO माध्यिका है।

ar(AOB) = ar(BOC) — (i)

भी,

ΔBCD में, CO माध्यिका है।

ar(BOC) = ar(COD) — (ii)

ΔACD में, OD माध्यिका है।

ar(AOD) = ar(COD) — (iii)

ABD में, AO माध्यिका है।

ar(AOD) = ar(AOB) — (iv)

समीकरणों (i), (ii), (iii) और (iv) से, हम प्राप्त करते हैं,

ar(BOC) = ar(COD) = ar(AOD) = ar(AOB)

इस प्रकार, हम पाते हैं, एक समांतर चतुर्भुज के विकर्ण इसे समान क्षेत्रफल वाले चार त्रिभुजों में विभाजित करते हैं।

4. आकृति 9.24 में, ABC और ABD एक ही आधार AB पर स्थित दो त्रिभुज हैं। यदि रेखाखंड CD को AB द्वारा O पर समद्विभाजित किया जाता है, तो दर्शाइए कि: ar(ABC) = ar(ABD)।

समाधान:

ABC में, AO माध्यिका है। (CD को AB द्वारा O पर समद्विभाजित किया गया है)

ar(AOC) = ar(AOD) — (i)

भी,

BCD, BO माध्यिका है। (CD को AB द्वारा O पर समद्विभाजित किया गया है)

ar(BOC) = ar(BOD) — (ii)

(i) और (ii) जोड़ना,

हम पाते हैं,

ar(AOC)+ar(BOC) = ar(AOD)+ar(BOD)

ar(ABC) = ar(ABD)

5. D, E और F क्रमशः एक ABC की भुजाओं BC, CA और AB के मध्य-बिंदु हैं।

बताते हैं कि

(i) BDEF एक समांतर चतुर्भुज है।

(ii) ar(DEF) = ar(ABC)

(iii) एआर (बीडीईएफ) = ½ एआर (एबीसी)

समाधान:

(i) ABC में,

ईएफ || BC और EF = ½ BC (मध्य बिंदु प्रमेय द्वारा)

भी,

BD = ½ BC (D मध्य बिंदु है)

तो, बीडी = ईएफ

भी,

BF और DE एक दूसरे के समानांतर और बराबर हैं।

, विपरीत भुजाओं का युग्म लंबाई में बराबर और एक दूसरे के समानांतर है।

BDEF एक समांतर चतुर्भुज है।

(ii) (i) के परिणाम से आगे बढ़ते हुए,

BDEF, DCEF, AFDE समांतर चतुर्भुज हैं।

एक समांतर चतुर्भुज का विकर्ण इसे समान क्षेत्रफल वाले दो त्रिभुजों में विभाजित करता है।

ar(ΔBFD) = ar(ΔDEF) (समानांतर चतुर्भुज BDEF के लिए) - (i)

भी,

ar(ΔAFE) = ar(ΔDEF) (समानांतर चतुर्भुज DCEF के लिए) - (ii)

ar(ΔCDE) = ar(ΔDEF) (समानांतर चतुर्भुज AFDE के लिए) - (iii)

(i), (ii) और (iii) से

ar(ΔBFD) = ar(ΔAFE) = ar(ΔCDE) = ar(ΔDEF)

ar(ΔBFD) +ar(ΔAFE) +ar(ΔCDE) +ar(ΔDEF) = ar(ΔABC)

⇒ 4 ar(ΔDEF) = ar(ΔABC)

ar(DEF) = ar(ABC)

(iii) क्षेत्रफल (समांतर चतुर्भुज BDEF) = ar(ΔDEF) +ar(ΔBDE)

ar(समांतर चतुर्भुज BDEF) = ar(ΔDEF) +ar(ΔDEF)

ar(समांतर चतुर्भुज BDEF) = 2× ar(ΔDEF)

ar(समांतर चतुर्भुज BDEF) = 2× ar(ΔABC)

ar(समांतर चतुर्भुज BDEF) = ½ ar(ΔABC)

6. आकृति 9.25 में, चतुर्भुज ABCD के विकर्ण AC और BD, O पर इस प्रकार प्रतिच्छेद करते हैं कि OB = OD है।

यदि AB = CD है, तो दर्शाइए कि:

(i) ar (DOC) = ar (AOB)

(ii) ar (DCB) = ar (ACB)

(iii) डीए || CB या ABCD एक समांतर चतुर्भुज है।

[संकेत : D और B से AC पर लम्ब खींचिए।]

समाधान:

दिया गया,

ओबी = ओडी और एबी = सीडी

निर्माण,

DE AC और BF AC खींचे गए हैं।

सबूत:

(i) DOE और BOF में,

DEO = ∠BFO (लंबवत)

DOE = BOF (ऊर्ध्वाधर सम्मुख कोण)

ओडी = ओबी (दिया गया)

, DOE BOF AAS सर्वांगसमता शर्त द्वारा।

, डीई = बीएफ (सीपीसीटी द्वारा) - (i)

भी, ar(ΔDOE) = ar(ΔBOF) (सर्वांगसम त्रिभुज) - (ii)

अब,

DEC और BFA में,

DEC = ∠BFA (लंबवत)

सीडी = एबी (दिया गया)

डीई = बीएफ (i से)

, ΔDEC BFA RHS सर्वांगसमता स्थिति द्वारा।

∴, ar(ΔDEC) = ar(ΔBFA) (सर्वांगसम त्रिभुज) - (iii)

(ii) और (iii) जोड़ना,

ar(ΔDOE) + ar(ΔDEC) = ar(ΔBOF) + ar(ΔBFA)

एआर (डीओसी) = एआर (एओबी)

(ii) ar(ΔDOC) = ar(ΔAOB)

LHS और RHS में ar(ΔOCB) जोड़ने पर, हम प्राप्त करते हैं,

ar(ΔDOC) + ar(ΔOCB) = ar(ΔAOB) + ar(ΔOCB)

ar(ΔDCB) = ar(ΔACB)

(iii) जब दो त्रिभुजों का आधार और क्षेत्रफल समान हों, तो त्रिभुज समान समानांतर रेखाओं के बीच में होंगे

ar(ΔDCB) = ar(ΔACB)

डीए || ईसा पूर्व - (iv)

चतुर्भुज ABCD के लिए, सम्मुख भुजाओं का एक युग्म बराबर (AB = CD) होता है और सम्मुख भुजाओं का दूसरा युग्म समांतर होता है।

, ABCD समांतर चतुर्भुज है।

 7. ABC की भुजाओं AB और AC पर क्रमशः D और E ऐसे बिंदु हैं कि ar(DBC) = ar(EBC) हैं। सिद्ध कीजिए कि DE || ई.पू.

समाधान:

 

DBC और EBC एक ही आधार BC पर हैं और इनका क्षेत्रफल भी बराबर है।

, वे समान समानांतर रेखाओं के बीच स्थित होंगे।

, डे || ई.पू.

8. XY एक त्रिभुज ABC की भुजा BC के समांतर एक रेखा है। अगर बीई || एसी और सीएफ || AB, XY से क्रमशः E और F पर मिलता है, दर्शाइए कि

ar(ΔABE) = ar(ΔACF)

समाधान:

दिया गया,

एक्सवाई || बीसी, बीई || एसी और सीएफ || अब

जाहिर करना,

ar(ΔABE) = ar(ΔACF)

सबूत:

बीसीवाईई एक है || gm ABE और ||gm BCYE एक ही आधार BE पर और समान समानांतर रेखाओं BE और AC के बीच स्थित हैं।

, एआर (एबीई) = ½ एआर (बीसीवाईई) … (1)

अब,

सीएफ़ || एबी और एक्सवाई || ईसा पूर्व

सीएफ || एबी और एक्सएफ || ईसा पूर्व

बीसीएफएक्स एक है || जीएम

ACF और || . के रूप में gm BCFX एक ही आधार CF पर और समान समानांतर AB और FC के बीच में हैं।

,ar (ΔACF)= ½ ar (BCFX)… (2)

परंतु,

||जीएम बीसीएफएक्स और || gm BCYE एक ही आधार BC पर और समान समानांतर BC और EF के बीच स्थित हैं।

, एआर (बीसीएफएक्स) = एआर (बीसीवाईई) … (3)

(1) , (2) और (3) से, हम प्राप्त करते हैं

ar (ΔABE) = ar(ΔACF)

एआर (बीईवाईसी) = एआर (बीएक्सएफसी)

चूँकि समांतर चतुर्भुज एक ही आधार BC पर होते हैं और एक ही समान्तर रेखाओं EF और BC के बीच में होते हैं-(iii)

भी,

AEB और ||gm BEYC एक ही आधार BE पर हैं और एक ही समानांतर BE और AC के बीच में हैं।

ar(△AEB) = ½ ar(BEYC) — (iv)

इसी तरह,

△एसीएफ और || एक ही आधार CF पर gm BXFC और समान समानांतर CF और AB के बीच।

ar(△ ACF) = ½ ar(BXFC) — (v)

(iii), (iv) और (v) से,

ar(△ABE) = ar(△ACF)

9. एक समांतर चतुर्भुज ABCD की भुजा AB किसी भी बिंदु P तक बढ़ाई जाती है। A से होकर CP के समानांतर एक रेखा Q पर निर्मित CB से मिलती है और फिर समांतर चतुर्भुज PBQR पूरा होता है (देखिए आकृति 9.26)। बताते हैं कि

एआर (एबीसीडी) = एआर (पीबीक्यूआर)।

[संकेत : AC और PQ को मिलाइए। अब ar(ACQ) और ar(APQ) की तुलना करें।]

समाधान:

एसी और पीक्यू जुड़ गए हैं।

Ar(△ACQ) = ar(△APQ) (एक ही आधार AQ पर और समान समानांतर रेखाओं AQ और CP के बीच)

ar(△ACQ)-ar(△ABQ) = ar(△APQ)-ar(△ABQ)

ar(△ABC) = ar(△QBP) — (i)

AC और QP विकर्ण ABCD और PBQR हैं।

,ar(ABC) = ½ ar(ABCD) — (ii)

ar(QBP) = ½ ar(PBQR) — (iii)

(ii) और (ii) से,

½ ar(ABCD) = ½ ar(PBQR)

ar(ABCD) = ar(PBQR)

10. AB के साथ समलंब ABCD के विकर्ण AC और BD || DC एक दूसरे को O पर काटती है। सिद्ध कीजिए कि ar (AOD) = ar (BOC) है।

समाधान:

DAC और DBC एक ही आधार DC पर और समान समांतर रेखाओं AB और CD के बीच स्थित हैं।

Ar(△DAC) = ar(△DBC)

ar(△DAC) - ar(△DOC) = ar(△DBC) - ar(△DOC)

ar(△AOD) = ar(△BOC)

11. आकृति 9.27 में, ABCDE एक पंचभुज है। B से होकर AC के समांतर एक रेखा F पर उत्पन्न DC से मिलती है।

बताते हैं कि

(i) ar(△ACB) = ar(△ACF)

(ii) एआर (एईडीएफ) = एआर (एबीसीडीई)

समाधान:

1. △ACB और ACF एक ही आधार AC पर और एक ही समान्तर रेखाओं AC और BF के बीच स्थित हैं।

ar(△ACB) = ar(△ ACF)

1. ar(△ACB) = ar(△ACF)

ar(△ACB)+ar(ACDE) = ar(△ACF)+ar(ACDE)

एआर (एबीसीडीई) = एआर (एईडीएफ)

12. एक ग्रामीण इतवारी के पास एक चतुर्भुज के आकार का एक भूखंड है। गांव की ग्राम पंचायत ने उनके भूखंड के कुछ हिस्से को एक कोने से एक स्वास्थ्य केंद्र बनाने के लिए लेने का फैसला किया। इतवारी उपरोक्त प्रस्ताव को इस शर्त के साथ स्वीकार करता है कि उसे उसके प्लाट से सटी हुई भूमि के एवज में समान मात्रा में भूमि दी जानी चाहिए ताकि एक त्रिभुजाकार प्लाट बनाया जा सके। बताएं कि इस प्रस्ताव को कैसे लागू किया जाएगा।

समाधान:

मान लीजिए ABCD एक चतुर्भुज के आकार की भूमि का प्लॉट है।

निर्मित करना,

विकर्ण BD को मिलाइए।

BD के समांतर AE खींचिए।

BE को मिलाइए, जो AD को O पर काटती है।

हम पाते हैं,

BCE मूल क्षेत्र का आकार है

AOB स्वास्थ्य केंद्र के निर्माण का क्षेत्र है।

DEO भूखंड से जुड़ी भूमि है।

साबित करना:

ar(△DEO) = ar(△AOB)

सबूत:

DEB और DAB एक ही आधार BD पर, समान समांतर रेखाओं BD और AE के बीच स्थित हैं।

Ar(△DEB) = ar(△DAB)

ar(△DEB) – ar△DOB) = ar(△DAB) – ar(△DOB)

ar(△DEO) = ar(△AOB)

13. ABCD एक समलम्ब है जिसमें AB || डीसी. AC के समांतर एक रेखा AB को X पर और BC को Y पर प्रतिच्छेद करती है। सिद्ध कीजिए कि ar (△ADX) = ar (△ACY) है।

[संकेत: सीएक्स में शामिल हों।]

समाधान:

दिया गया,

ABCD एक समलम्ब है जिसमें AB || डीसी.

एक्सवाई || एसी

निर्माण,

सीएक्स में शामिल हों

साबित करना,

एआर (एडीएक्स) = एआर (एसीवाई)

सबूत:

ar(△ADX) = ar(△AXC) - (i) (चूंकि वे एक ही आधार AX पर हैं और एक ही समानांतर AB और CD के बीच में हैं)

भी,

ar(△ AXC)=ar(△ ACY) - (ii) (चूंकि वे एक ही आधार AC पर हैं और एक ही समानांतर XY और AC के बीच में हैं।)

(i) और (ii),

ar(△ADX) = ar(△ACY)

14. चित्र 9.28 में, एपी || बीक्यू || करोड़। सिद्ध कीजिए कि ar(△AQC) = ar(△PBR)।

समाधान:

दिया गया,

एपी || बीक्यू || करोड़

साबित करना,

एआर (एक्यूसी) = एआर (पीबीआर)

सबूत:

ar(△AQB) = ar(△PBQ) - (i) (चूंकि वे एक ही आधार BQ पर हैं और समान समानांतर AP और BQ के बीच हैं।)

भी,

ar(△BQC) = ar(△BQR) - (ii) (चूंकि वे एक ही आधार BQ पर हैं और एक ही समानांतर BQ और CR के बीच हैं।)

(i) और (ii) जोड़ना,

ar(△AQB)+ar(△BQC) = ar(△PBQ)+ar(△BQR)

ar(△ AQC) = ar(△ PBR)

15. एक चतुर्भुज ABCD के विकर्ण AC और BD, O पर इस प्रकार प्रतिच्छेद करते हैं कि ar(△AOD) = ar(△BOC)। सिद्ध कीजिए कि ABCD एक समलंब है।

समाधान:

दिया गया,

ar(△AOD) = ar(△BOC)

साबित करना,

ABCD एक समलंब है।

सबूत:

ar(△AOD) = ar(△BOC)

ar(△AOD) + ar(△AOB) = ar(△BOC)+ar(△AOB)

ar(△ADB) = ar(△ACB)

ADB और ACB के क्षेत्रफल बराबर हैं। , उन्हें समान समानांतर रेखाओं के बीच स्थित होना चाहिए।

, एबी सीडी

, ABCD एक समलंब है।

16. आकृति 9.29 में, ar(DRC) = ar(DPC) और ar(BDP) = ar(ARC)। दर्शाइए कि दोनों चतुर्भुज ABCD और DCPR समलंब हैं।

समाधान:

दिया गया,

ar(△DRC) = ar(△DPC)

ar(△BDP) = ar(△ARC)

साबित करना,

ABCD और DCPR समलंब हैं।

सबूत:

ar(△BDP) = ar(△ARC)

ar(△BDP) – ar(△DPC) = ar(△DRC)

ar(△BDC) = ar(△ADC)

, ar(△BDC) और ar(△ADC) समान समानांतर रेखाओं के बीच में स्थित हैं।

, एबी सीडी

ABCD एक समलम्ब है।

इसी तरह,

ar(△DRC) = ar(△DPC)।

, ar(△DRC) और ar(△DPC) समान समानांतर रेखाओं के बीच में स्थित हैं।

, डीसी पीआर

, DCPR एक समलंब है।

 NCERT Solutions for Class 9 Maths Chapter 9 Exercise 9.4 Area of Parallelograms and Triangles In Hindi Medium

अध्याय 9- समांतर चतुर्भुज और त्रिभुजों का क्षेत्रफल अभ्यास 9.4

1. समांतर चतुर्भुज ABCD और आयत ABEF एक ही आधार AB पर हैं और इनका क्षेत्रफल समान है। दिखाएँ कि समांतर चतुर्भुज का परिमाप आयत के परिमाप से बड़ा है।

दिया गया,

|| gm ABCD और एक आयत ABEF का आधार AB समान है और क्षेत्रफल समान है।

साबित करना,

की परिधि || gm ABCD आयत ABEF के परिमाप से बड़ा है।

सबूत,

हम जानते हैं कि, a के विपरीत पक्ष || ग्राम और आयत बराबर हैं।

, AB = DC [चूंकि ABCD एक || . है ग्राम]

और, AB = EF [चूंकि ABEF एक आयत है]

, डीसी = ईएफ … (i)

दोनों पक्षों में AB जोड़ने पर, हम प्राप्त करते हैं,

AB + DC = AB + EF… (ii)

हम जानते हैं कि लंब खंड उन सभी खण्डों में सबसे छोटा होता है जो किसी बिंदु से उस रेखा पर खींचे जा सकते हैं जो उस पर नहीं पड़ता है।

, बीई <ईसा पूर्व और वायुसेना <एडी

⇒ BC > BE और AD > AF

BC+AD > BE+AF… (iii)

(ii) और (iii) को जोड़ने पर हमें प्राप्त होता है

एबी+डीसी+बीसी+एडी > एबी+ईएफ+बीई+एएफ

AB+BC+CD+DA > AB+ BE+EF+FA

⇒ की परिधि || gm ABCD > आयत ABEF का परिमाप।

, समांतर चतुर्भुज का परिमाप आयत के परिमाप से बड़ा होता है।

इसलिए सिद्ध।

2. आकृति 9.30 में, BC पर D और E दो बिंदु इस प्रकार हैं कि BD = DE = EC है।

दर्शाइए कि ar (ABD) = ar (ADE) = ar (AEC) है।

क्या अब आप इस प्रश्न का उत्तर दे सकते हैं कि आपने इस अध्याय के 'परिचय' में छोड़ दिया है कि क्या बुधिया के क्षेत्र को वास्तव में बराबर क्षेत्रफल के तीन भागों में विभाजित किया गया है?

[टिप्पणी: ध्यान दें कि BD = DE = EC लेने पर, त्रिभुज ABC को समान क्षेत्रफल वाले तीन त्रिभुज ABD, ADE और AEC में विभाजित किया जाता है। इसी प्रकार BC को n बराबर भागों में बाँटकर और इस प्रकार प्राप्त विभाजन बिन्दुओं को BC के सम्मुख शीर्ष से मिला कर आप DABC को बराबर क्षेत्रफल वाले n त्रिभुजों में बाँट सकते हैं।]

समाधान:

दिया गया,

बीडी = डीई = ईसी

साबित करना,

ar (△ABD) = ar (△ADE) = ar (△AEC)

सबूत,

(△ABE) में, AD माध्यिका है [चूंकि, BD = DE, दिया गया है]

हम जानते हैं कि त्रिभुज की माध्यिका उसे समान क्षेत्रफल वाले दो भागों में विभाजित करती है

, ar(△ABD) = ar(△AED) —(i)

इसी तरह,

(△ADC) में, AE माध्यिका है [चूंकि, DE = EC, दिया गया है]

, एआर (एडीई) = एआर (एईसी) -(ii)

समीकरण (i) और (ii) से, हम प्राप्त करते हैं

एआर (एबीडी) = एआर (एडीई) = एआर (एईसी)

3. आकृति 9.31 में, ABCD, DCFE और ABFE समांतर चतुर्भुज हैं। दर्शाइए कि ar (ADE) = ar (BCF) है।

समाधान:

दिया गया,

ABCD, DCFE और ABFE समांतर चतुर्भुज हैं

साबित करना,

ar (△ADE) = ar (△BCF)

सबूत,

ADE और BCF में,

AD = BC [चूंकि, वे समांतर चतुर्भुज ABCD की सम्मुख भुजाएँ हैं]

DE = CF [चूंकि, वे समांतर चतुर्भुज DCFE के विपरीत पक्ष हैं]

AE = BF [चूंकि, वे समांतर चतुर्भुज ABFE के विपरीत पक्ष हैं]

, ADE △BCF [एसएसएस सर्वांगसमता प्रमेय का प्रयोग करना]

, ar(△ADE) = ar(△BCF) [ CPCT द्वारा]

4. आकृति 9.32 में, ABCD एक समांतर चतुर्भुज है और BC को एक बिंदु Q तक इस प्रकार बढ़ाया गया है कि AD = CQ है। यदि AQ, DC को P पर काटता है, तो दर्शाइए कि ar (BPC) = ar (DPQ) है।

[संकेत : एसी से जुड़ें।]

समाधान:

दिया गया:

ABCD एक समांतर चतुर्भुज है

एडी = सीक्यू

साबित करना:

ar (△BPC) = ar (△DPQ)

सबूत:

ADP और QCP में,

∠APD = QPC [ऊर्ध्वाधर विपरीत कोण]

ADP = QCP [वैकल्पिक कोण]

एडी = सीक्यू [दिया गया]

, △ABO △ACD [AAS सर्वांगसमता]

, डीपी = सीपी [सीपीसीटी]

CDQ में, QP माध्यिका है। [चूंकि, डीपी = सीपी]

चूँकि त्रिभुज की माध्यिका उसे समान क्षेत्रफल वाले दो भागों में विभाजित करती है।

, ar(△DPQ) = ar(△QPC) —(i)

PBQ में, PC माध्यिका है। [चूंकि, AD = CQ और AD = BC BC = QC]

चूँकि त्रिभुज की माध्यिका उसे समान क्षेत्रफल वाले दो भागों में विभाजित करती है।

, ar(△QPC) = ar(△BPC) —(ii)

समीकरण (i) और (ii) से, हम प्राप्त करते हैं

ar(△BPC) = ar(△DPQ)

5. आकृति 9.33 में, ABC और BDE दो समबाहु त्रिभुज इस प्रकार हैं कि D, BC का मध्य-बिंदु है। यदि AE, BC को F पर काटता है, तो दर्शाइए कि:

(i) एआर (बीडीई) = 1/4 एआर (एबीसी)

(ii) एआर (बीडीई) = ½ एआर (बीएई)

(iii) एआर (एबीसी) = 2 एआर (बीईसी)

(iv) एआर (बीएफई) = एआर (एएफडी)

(v) ar (BFE) = 2 ar (FED)

(vi) एआर (एफईडी) = 1/8 एआर (एएफसी)

समाधान:

(i) मान लीजिए कि G और H क्रमशः भुजा AB और AC के मध्य-बिंदु हैं।

लाइन-सेगमेंट GH के साथ मध्य-बिंदुओं को मिलाएं। यहाँ, GH तीसरी भुजा के समांतर है।

, BC मध्य-बिंदु प्रमेय द्वारा BC की लंबाई का आधा होगा।

∴ जीएच = 1/2 ईसा पूर्व और जीएच || बीडी

जीएच = बीडी = डीसी और जीएच || BD (चूंकि, D, BC का मध्य-बिंदु है)

इसी तरह,

जीडी = एचसी = एचए

एचडी = एजी = बीजी

, ΔABC 4 समान समबाहु त्रिभुजों ΔBGD, ΔAGH, DHC और GHD में विभाजित है

हम कह सकते हैं कि,

बीजीडी = एबीसी

BDG और BDE . को ध्यान में रखते हुए

बीडी = बीडी (सामान्य आधार)

चूँकि दोनों त्रिभुज समबाहु त्रिभुज हैं, हम कह सकते हैं कि,

बीजी = बीई

डीजी = डीई

, BDG BDE [एसएसएस सर्वांगसमता द्वारा]

, क्षेत्रफल (ΔBDG) = क्षेत्रफल (ΔBDE)

ar (ΔBDE) = ar (ΔABC)

इसलिए साबित हुआ

(ii)

ar(ΔBDE) = ar(ΔAED) (सामान्य आधार DE और DE||AB)

ar(ΔBDE)−ar(ΔFED) = ar(ΔAED)−ar (ΔFED)

ar(ΔBEF) = ar(ΔAFD) …(i)

अब,

ar(ΔABD) = ar(ΔABF)+ar(ΔAFD)

ar(ΔABD) = ar(ΔABF)+ar(ΔBEF) [समीकरण (i) से]

ar(ΔABD) = ar(ΔABE) …(ii)

AD ABC की माध्यिका है।

ar(ΔABD) = ½ ar (ΔABC)

= (4/2) एआर (ΔBDE)

= 2 ar (ΔBDE)…(iii)

(ii) और (iii) से, हम प्राप्त करते हैं

2 ar (ΔBDE) = ar (ΔABE)

एआर (बीडीई) = ½ एआर (बीएई)

इसलिए साबित हुआ

(iii) ar(ΔABE) = ar(ΔBEC) [उभयनिष्ठ आधार BE और BE || एसी]

ar(ΔABF) + ar(ΔBEF) = ar(ΔBEC)

eqn (i) से, हम प्राप्त करते हैं,

ar(ΔABF) + ar(ΔAFD) = ar(ΔBEC)

ar(ΔABD) = ar(ΔBEC)

½ ar(ΔABC) = ar(ΔBEC)

ar(ΔABC) = 2 ar(ΔBEC)

इसलिए साबित हुआ

(iv) BDE और AED एक ही आधार (DE) पर स्थित हैं और समानांतर रेखा DE और AB के बीच में हैं।

ar (ΔBDE) = ar (ΔAED)

L.H.S और R.H.S से ar(ΔFED) घटाना,

हम पाते हैं,

ar (ΔBDE)−ar (ΔFED) = ar (ΔAED)−ar (ΔFED)

ar (ΔBFE) = ar(ΔAFD)

इसलिए साबित हुआ

(v) मान लें कि h शीर्ष E की ऊंचाई है, जो BDE में भुजा BD के संगत है।

यह भी मान लें कि H शीर्ष A की ऊंचाई है, जो ABC में भुजा BC के संगत है।

प्रश्न (i) को हल करते समय,

हमने देखा कि,

ar (ΔBDE) = ar (ΔABC)

प्रश्न (iv) हल करते समय,

हमने देखा कि,

एआर (ΔBFE) = एआर (ΔAFD)।

ar (ΔBFE) = ar (ΔAFD)

= 2 एआर (ΔFED)

अत: ar (ΔBFE) = 2 ar (ΔFED)

इसलिए साबित हुआ

(vi) ar (ΔAFC) = ar (ΔAFD) + ar(ΔADC)

= 2 ar (ΔFED) + (1/2) ar(ΔABC) [(v) का उपयोग करके

= 2 ar (ΔFED) + ½ [4ar(ΔBDE)] [प्रश्न (i) के परिणाम का उपयोग करना]

= 2 ar (ΔFED) +2 ar(ΔBDE)

चूँकि, BDE और AED एक ही आधार पर और एक ही समांतर रेखाओं के बीच स्थित हैं

= 2 ar (ΔFED) +2 ar (ΔAED)

= 2 ar (ΔFED) +2 [ar (ΔAFD) +ar (ΔFED)]

= 2 ar (ΔFED) +2 ar (ΔAFD) +2 ar (ΔFED) [प्रश्न से (viii)]

= 4 एआर (ΔFED) +4 एआर (ΔFED)

ar (ΔAFC) = 8 ar (ΔFED)

ar (ΔFED) = (1/8) ar (ΔAFC)

इसलिए साबित हुआ

6. एक चतुर्भुज ABCD के विकर्ण AC और BD एक दूसरे को P पर काटते हैं। दर्शाइए कि

ar (APB)×ar (CPD) = ar (APD)×ar (BPC)।

[संकेत : A और C से BD पर लंब खींचिए।]

समाधान:

दिया गया:

चतुर्भुज ABCD के विकर्ण AC और BD एक दूसरे को बिंदु E पर काटते हैं।

निर्माण:

A से BD पर AM लंबवत खींचिए

C से BD पर CN लंबवत खींचिए

साबित करना,

ar(ΔAED) ar(ΔBEC) = ar (ΔABE) ×ar (ΔCDE)

सबूत,

ar(ΔABE) = ½ ×BE×AM………….. (i)

ar(ΔAED) = ½ ×DE×AM………….. (ii)

ईक को विभाजित करना। ii द्वारा i , हम प्राप्त करते हैं,

एआर(एईडी)/एआर(एबीई) = डीई/बीई…….. (iii)

इसी तरह,

एआर (सीडीई)/एआर (बीईसी) = डीई/बीई ……. (iv)

ईक से। (iii) और (iv) , हम प्राप्त करते हैं

एआर(एईडी)/एआर(एबीई) = एआर(सीडीई)/एआर(बीईसी)

, ar(ΔAED)×ar(ΔBEC) = ar(ΔABE)×ar (ΔCDE)

इसलिए साबित हुआ।

7. P और Q एक त्रिभुज ABC की भुजाओं AB और BC के क्रमशः मध्य-बिंदु हैं और R, AP का मध्य-बिंदु है, दर्शाइए कि:

(i) ar (PRQ) = ½ ar (ARC)

(ii) ar (RQC) = (3/8) ar (ABC)

(iii) ar (PBQ) = ar (ARC)

समाधान:

(मैं)

हम जानते हैं कि माध्यिका त्रिभुज को समान क्षेत्रफल वाले दो त्रिभुजों में विभाजित करती है,

PC ABC की माध्यिका है।

Ar (ΔBPC) = ar (ΔAPC) ………. (i)

RC APC की माध्यिका है।

Ar (ΔARC) = ½ ar (ΔAPC) ………. (ii)

PQ, BPC की माध्यिका है।

Ar (ΔPQC) = ½ ar (ΔBPC) ………. (iii)

ईक से। (i) और (iii), हम पाते हैं,

ar (ΔPQC) = ½ ar (ΔAPC) ………. (iv)

ईक से। (ii) और (iv), हम प्राप्त करते हैं,

ar (ΔPQC) = ar (ΔARC) ……….(v)

P और Q क्रमशः AB और BC के मध्य-बिंदु हैं [दिया गया]

पीक्यू||एसी

और, पीए = ½ एसी

चूँकि समान समान्तर रेखाओं के बीच के त्रिभुज क्षेत्रफल में बराबर होते हैं, हम पाते हैं,

ar (ΔAPQ) = ar (ΔPQC) ………. (vi)

ईक से। (v) और (vi), हम प्राप्त करते हैं,

ar (ΔAPQ) = ar (ΔARC) ………. (vii)

R, AP का मध्य-बिंदु है।

, RQ APQ की माध्यिका है।

Ar (ΔPRQ) = ½ ar (ΔAPQ) ………. (viii)

(vii) और (viii) से, हम प्राप्त करते हैं,

ar (ΔPRQ) = ½ ar (ΔARC)

इसलिए सिद्ध।

(ii) PQ BPC . की माध्यिका है

ar (ΔPQC) = ½ ar (ΔBPC)

= (½) ×(1/2 )ar (ΔABC)

= ar (ΔABC) ………. (ix)

भी,

ar (ΔPRC) = ½ ar (ΔAPC) [से (iv)]

एआर (ΔPRC) = (1/2)×(1/2)ar (एबीसी)

= ar(ΔABC) ……….(x)

ईक जोड़ें। (ix) और (x), हम प्राप्त करते हैं,

ar (ΔPQC) + ar (ΔPRC) = (1/4)×(1/4)ar (ΔABC)

ar (quad. PQCR) = ar (ΔABC) ……….(xi)

L.H.S और R.H.S से ar (ΔPRQ) घटाना,

ar (quad. PQCR)–ar (ΔPRQ) = ½ ar (ΔABC)–ar (ΔPRQ)

ar (ΔRQC) = ½ ar (ΔABC) – ½ ar (ΔARC) [परिणाम से (i)]

ar (ΔARC) = ½ ar (ΔABC) –(1/2)×(1/2)ar (ΔAPC)

ar (ΔRQC) = ½ ar (ΔABC) –(1/4)ar (ΔAPC)

ar (ΔRQC) = ½ ar (ΔABC) –(1/4)×(1/2)ar (ΔABC) [क्योंकि, PC ΔABC की माध्यिका है]

ar (ΔRQC) = ½ ar (ΔABC)–(1/8)ar (ΔABC)

ar (ΔRQC) = [(1/2)-(1/8)]ar (ΔABC)

ar (ΔRQC) = (3/8)ar (ΔABC)

(iii) ar (ΔPRQ) = ½ ar (ΔARC) [परिणाम से (i)]

2ar (ΔPRQ) = ar (ΔARC) ……………..(xii)

ar (ΔPRQ) = ½ ar (ΔAPQ) [RQ APQ की माध्यिका है] ……….(xiii)

लेकिन, हम जानते हैं कि,

ar (ΔAPQ) = ar (ΔPQC) [ईक में उल्लिखित कारण से। (vi)] ……….(xiv)

ईक से। (xiii) और (xiv), हम प्राप्त करते हैं,

ar (ΔPRQ) = ½ ar (ΔPQC) ……….(xv)

एक ही समय पर,

ar (ΔBPQ) = ar (ΔPQC) [PQ, BPC की माध्यिका है] ……….(xvi)

ईक से। (xv) और (xvi), हम पाते हैं,

एआर (ΔPRQ) = ½ एआर (ΔBPQ) ………. (xvii)

ईक से। (xii) और (xvii), हम प्राप्त करते हैं,

2×(1/2)ar(ΔBPQ)= ar (ΔARC)

ar (ΔBPQ) = ar (ΔARC)

इसलिए सिद्ध।

8. आकृति 9.34 में, ABC एक समकोण त्रिभुज है जिसका कोण A है। BCED, ACFG और ABMN क्रमशः BC, CA और AB भुजाओं पर वर्ग हैं। रेखा खंड AX ^ DE, BC से Y पर मिलता है। दर्शाइए कि:

(i) MBC ABD

(ii) ar(BYXD) = 2ar(MBC)

(iii) एआर (बीवाईएक्सडी) = एआर (एबीएमएन)

(iv) FCB ACE

(v) ar(CYXE) = 2ar(FCB)

(vi) ar(CYXE) = ar(ACFG)

(vii) ar(BCED) = ar(ABMN)+ar(ACFG)

नोट: परिणाम (vii) पाइथागोरस का प्रसिद्ध प्रमेय है। आप कक्षा X में इस प्रमेय के सरल प्रमाण के बारे में जानेंगे।

समाधान:

(i) हम जानते हैं कि एक वर्ग का प्रत्येक कोण 90° का होता है। अत: ABM = ∠DBC = 90º

ABM+∠ABC = DBC+∠ABC

एमबीसी = ∠एबीडी

MBC और ABD में,

MBC = ABD (ऊपर सिद्ध)

MB = AB (वर्ग ABMN की भुजाएँ)

BC = BD (वर्ग BCED की भुजाएँ)

MBC ABD (एसएएस सर्वांगसमता)

(ii) हमारे पास है

एमबीसी एबीडी

ar (∆MBC) = ar (∆ABD) … (i)

यह दिया गया है कि AX DE और BD DE (वर्ग BDEC की आसन्न भुजाएँ)

बीडी || AX (एक ही रेखा पर लंबवत दो रेखाएं एक दूसरे के समानांतर हैं)

ABD और समांतर चतुर्भुज BYXD एक ही आधार BD पर और समान समांतर रेखाओं BD और AX के बीच स्थित हैं।

क्षेत्रफल (∆YXD) = 2 क्षेत्रफल (∆MBC) [समीकरण से (i)] … (ii)

(iii) ∆MBC और समांतर चतुर्भुज ABMN एक ही आधार MB पर और एक ही समान्तर रेखाओं MB और NC के बीच स्थित हैं।

2 ar (∆MBC) = ar (ABMN)

ar (∆YXD) = ar (ABMN) [समीकरण (ii) से] … (iii)

(iv) हम जानते हैं कि एक वर्ग का प्रत्येक कोण 90° का होता है।

∴∠FCA = BCE = 90º

∴∠FCA+∠ACB = BCE+∠ACB

FCB = ACE

FCB और ACE में,

FCB = ACE

FC = AC (वर्ग ACFG की भुजाएँ)

CB = CE (वर्ग BCED की भुजाएँ)

FCB ACE (एसएएस सर्वांगसमता)

(v) AX DE और CE DE (वर्ग BDEC की आसन्न भुजाएँ) [दिया गया]

अत,

सीई || AX (एक ही रेखा पर लंबवत दो रेखाएं एक दूसरे के समानांतर हैं)

BACE और समांतर चतुर्भुज CYXE पर विचार करें

BACE और समांतर चतुर्भुज CYXE एक ही आधार CE पर और समान समानांतर CE और AX के बीच स्थित हैं।

ar (∆YXE) = 2ar (∆ACE) … (iv)

हमने साबित कर दिया था कि

FCB ACE

ar (∆FCB) ar (∆ACE) … (v)

समीकरण (iv) और (v) से, हम प्राप्त करते हैं

ar (CYXE) = 2 ar (∆FCB) … (vi)

(vi) बीएफसीबी और समांतर चतुर्भुज एसीएफजी पर विचार करें

BFCB और समांतर चतुर्भुज ACFG एक ही आधार CF पर और समान समानांतर CF और BG के बीच स्थित हैं।

ar (ACFG) = 2 ar (∆FCB)

ar (ACFG) = ar (CYXE) [समीकरण (vi) से] … (vii)

(vii) आकृति से, हम देख सकते हैं कि

ar (BCED) = ar (BYXD)+ar (CYXE)

ar (BCED) = ar (ABMN)+ar (ACFG) [समीकरणों (iii) और (vii) से]।