NCERT Solutions for Class 9 Maths Chapter 9 Exercise 9.4 Area of Parallelograms and Triangles In Hindi Medium

अध्याय 9- समांतर चतुर्भुज और त्रिभुजों का क्षेत्रफल अभ्यास 9.4

1. समांतर चतुर्भुज ABCD और आयत ABEF एक ही आधार AB पर हैं और इनका क्षेत्रफल समान है। दिखाएँ कि समांतर चतुर्भुज का परिमाप आयत के परिमाप से बड़ा है।

दिया गया,

|| gm ABCD और एक आयत ABEF का आधार AB समान है और क्षेत्रफल समान है।

साबित करना,

की परिधि || gm ABCD आयत ABEF के परिमाप से बड़ा है।

सबूत,

हम जानते हैं कि, a के विपरीत पक्ष || ग्राम और आयत बराबर हैं।

, AB = DC [चूंकि ABCD एक || . है ग्राम]

और, AB = EF [चूंकि ABEF एक आयत है]

, डीसी = ईएफ … (i)

दोनों पक्षों में AB जोड़ने पर, हम प्राप्त करते हैं,

AB + DC = AB + EF… (ii)

हम जानते हैं कि लंब खंड उन सभी खण्डों में सबसे छोटा होता है जो किसी बिंदु से उस रेखा पर खींचे जा सकते हैं जो उस पर नहीं पड़ता है।

, बीई <ईसा पूर्व और वायुसेना <एडी

⇒ BC > BE और AD > AF

BC+AD > BE+AF… (iii)

(ii) और (iii) को जोड़ने पर हमें प्राप्त होता है

एबी+डीसी+बीसी+एडी > एबी+ईएफ+बीई+एएफ

AB+BC+CD+DA > AB+ BE+EF+FA

⇒ की परिधि || gm ABCD > आयत ABEF का परिमाप।

, समांतर चतुर्भुज का परिमाप आयत के परिमाप से बड़ा होता है।

इसलिए सिद्ध।

2. आकृति 9.30 में, BC पर D और E दो बिंदु इस प्रकार हैं कि BD = DE = EC है।

दर्शाइए कि ar (ABD) = ar (ADE) = ar (AEC) है।

क्या अब आप इस प्रश्न का उत्तर दे सकते हैं कि आपने इस अध्याय के 'परिचय' में छोड़ दिया है कि क्या बुधिया के क्षेत्र को वास्तव में बराबर क्षेत्रफल के तीन भागों में विभाजित किया गया है?

[टिप्पणी: ध्यान दें कि BD = DE = EC लेने पर, त्रिभुज ABC को समान क्षेत्रफल वाले तीन त्रिभुज ABD, ADE और AEC में विभाजित किया जाता है। इसी प्रकार BC को n बराबर भागों में बाँटकर और इस प्रकार प्राप्त विभाजन बिन्दुओं को BC के सम्मुख शीर्ष से मिला कर आप DABC को बराबर क्षेत्रफल वाले n त्रिभुजों में बाँट सकते हैं।]

समाधान:

दिया गया,

बीडी = डीई = ईसी

साबित करना,

ar (△ABD) = ar (△ADE) = ar (△AEC)

सबूत,

(△ABE) में, AD माध्यिका है [चूंकि, BD = DE, दिया गया है]

हम जानते हैं कि त्रिभुज की माध्यिका उसे समान क्षेत्रफल वाले दो भागों में विभाजित करती है

, ar(△ABD) = ar(△AED) —(i)

इसी तरह,

(△ADC) में, AE माध्यिका है [चूंकि, DE = EC, दिया गया है]

, एआर (एडीई) = एआर (एईसी) -(ii)

समीकरण (i) और (ii) से, हम प्राप्त करते हैं

एआर (एबीडी) = एआर (एडीई) = एआर (एईसी)

3. आकृति 9.31 में, ABCD, DCFE और ABFE समांतर चतुर्भुज हैं। दर्शाइए कि ar (ADE) = ar (BCF) है।

समाधान:

दिया गया,

ABCD, DCFE और ABFE समांतर चतुर्भुज हैं

साबित करना,

ar (△ADE) = ar (△BCF)

सबूत,

ADE और BCF में,

AD = BC [चूंकि, वे समांतर चतुर्भुज ABCD की सम्मुख भुजाएँ हैं]

DE = CF [चूंकि, वे समांतर चतुर्भुज DCFE के विपरीत पक्ष हैं]

AE = BF [चूंकि, वे समांतर चतुर्भुज ABFE के विपरीत पक्ष हैं]

, ADE △BCF [एसएसएस सर्वांगसमता प्रमेय का प्रयोग करना]

, ar(△ADE) = ar(△BCF) [ CPCT द्वारा]

4. आकृति 9.32 में, ABCD एक समांतर चतुर्भुज है और BC को एक बिंदु Q तक इस प्रकार बढ़ाया गया है कि AD = CQ है। यदि AQ, DC को P पर काटता है, तो दर्शाइए कि ar (BPC) = ar (DPQ) है।

[संकेत : एसी से जुड़ें।]

समाधान:

दिया गया:

ABCD एक समांतर चतुर्भुज है

एडी = सीक्यू

साबित करना:

ar (△BPC) = ar (△DPQ)

सबूत:

ADP और QCP में,

∠APD = QPC [ऊर्ध्वाधर विपरीत कोण]

ADP = QCP [वैकल्पिक कोण]

एडी = सीक्यू [दिया गया]

, △ABO △ACD [AAS सर्वांगसमता]

, डीपी = सीपी [सीपीसीटी]

CDQ में, QP माध्यिका है। [चूंकि, डीपी = सीपी]

चूँकि त्रिभुज की माध्यिका उसे समान क्षेत्रफल वाले दो भागों में विभाजित करती है।

, ar(△DPQ) = ar(△QPC) —(i)

PBQ में, PC माध्यिका है। [चूंकि, AD = CQ और AD = BC BC = QC]

चूँकि त्रिभुज की माध्यिका उसे समान क्षेत्रफल वाले दो भागों में विभाजित करती है।

, ar(△QPC) = ar(△BPC) —(ii)

समीकरण (i) और (ii) से, हम प्राप्त करते हैं

ar(△BPC) = ar(△DPQ)

5. आकृति 9.33 में, ABC और BDE दो समबाहु त्रिभुज इस प्रकार हैं कि D, BC का मध्य-बिंदु है। यदि AE, BC को F पर काटता है, तो दर्शाइए कि:

(i) एआर (बीडीई) = 1/4 एआर (एबीसी)

(ii) एआर (बीडीई) = ½ एआर (बीएई)

(iii) एआर (एबीसी) = 2 एआर (बीईसी)

(iv) एआर (बीएफई) = एआर (एएफडी)

(v) ar (BFE) = 2 ar (FED)

(vi) एआर (एफईडी) = 1/8 एआर (एएफसी)

समाधान:

(i) मान लीजिए कि G और H क्रमशः भुजा AB और AC के मध्य-बिंदु हैं।

लाइन-सेगमेंट GH के साथ मध्य-बिंदुओं को मिलाएं। यहाँ, GH तीसरी भुजा के समांतर है।

, BC मध्य-बिंदु प्रमेय द्वारा BC की लंबाई का आधा होगा।

∴ जीएच = 1/2 ईसा पूर्व और जीएच || बीडी

जीएच = बीडी = डीसी और जीएच || BD (चूंकि, D, BC का मध्य-बिंदु है)

इसी तरह,

जीडी = एचसी = एचए

एचडी = एजी = बीजी

, ΔABC 4 समान समबाहु त्रिभुजों ΔBGD, ΔAGH, DHC और GHD में विभाजित है

हम कह सकते हैं कि,

बीजीडी = एबीसी

BDG और BDE . को ध्यान में रखते हुए

बीडी = बीडी (सामान्य आधार)

चूँकि दोनों त्रिभुज समबाहु त्रिभुज हैं, हम कह सकते हैं कि,

बीजी = बीई

डीजी = डीई

, BDG BDE [एसएसएस सर्वांगसमता द्वारा]

, क्षेत्रफल (ΔBDG) = क्षेत्रफल (ΔBDE)

ar (ΔBDE) = ar (ΔABC)

इसलिए साबित हुआ

(ii)

ar(ΔBDE) = ar(ΔAED) (सामान्य आधार DE और DE||AB)

ar(ΔBDE)−ar(ΔFED) = ar(ΔAED)−ar (ΔFED)

ar(ΔBEF) = ar(ΔAFD) …(i)

अब,

ar(ΔABD) = ar(ΔABF)+ar(ΔAFD)

ar(ΔABD) = ar(ΔABF)+ar(ΔBEF) [समीकरण (i) से]

ar(ΔABD) = ar(ΔABE) …(ii)

AD ABC की माध्यिका है।

ar(ΔABD) = ½ ar (ΔABC)

= (4/2) एआर (ΔBDE)

= 2 ar (ΔBDE)…(iii)

(ii) और (iii) से, हम प्राप्त करते हैं

2 ar (ΔBDE) = ar (ΔABE)

एआर (बीडीई) = ½ एआर (बीएई)

इसलिए साबित हुआ

(iii) ar(ΔABE) = ar(ΔBEC) [उभयनिष्ठ आधार BE और BE || एसी]

ar(ΔABF) + ar(ΔBEF) = ar(ΔBEC)

eqn (i) से, हम प्राप्त करते हैं,

ar(ΔABF) + ar(ΔAFD) = ar(ΔBEC)

ar(ΔABD) = ar(ΔBEC)

½ ar(ΔABC) = ar(ΔBEC)

ar(ΔABC) = 2 ar(ΔBEC)

इसलिए साबित हुआ

(iv) BDE और AED एक ही आधार (DE) पर स्थित हैं और समानांतर रेखा DE और AB के बीच में हैं।

ar (ΔBDE) = ar (ΔAED)

L.H.S और R.H.S से ar(ΔFED) घटाना,

हम पाते हैं,

ar (ΔBDE)−ar (ΔFED) = ar (ΔAED)−ar (ΔFED)

ar (ΔBFE) = ar(ΔAFD)

इसलिए साबित हुआ

(v) मान लें कि h शीर्ष E की ऊंचाई है, जो BDE में भुजा BD के संगत है।

यह भी मान लें कि H शीर्ष A की ऊंचाई है, जो ABC में भुजा BC के संगत है।

प्रश्न (i) को हल करते समय,

हमने देखा कि,

ar (ΔBDE) = ar (ΔABC)

प्रश्न (iv) हल करते समय,

हमने देखा कि,

एआर (ΔBFE) = एआर (ΔAFD)।

ar (ΔBFE) = ar (ΔAFD)

= 2 एआर (ΔFED)

अत: ar (ΔBFE) = 2 ar (ΔFED)

इसलिए साबित हुआ

(vi) ar (ΔAFC) = ar (ΔAFD) + ar(ΔADC)

= 2 ar (ΔFED) + (1/2) ar(ΔABC) [(v) का उपयोग करके

= 2 ar (ΔFED) + ½ [4ar(ΔBDE)] [प्रश्न (i) के परिणाम का उपयोग करना]

= 2 ar (ΔFED) +2 ar(ΔBDE)

चूँकि, BDE और AED एक ही आधार पर और एक ही समांतर रेखाओं के बीच स्थित हैं

= 2 ar (ΔFED) +2 ar (ΔAED)

= 2 ar (ΔFED) +2 [ar (ΔAFD) +ar (ΔFED)]

= 2 ar (ΔFED) +2 ar (ΔAFD) +2 ar (ΔFED) [प्रश्न से (viii)]

= 4 एआर (ΔFED) +4 एआर (ΔFED)

ar (ΔAFC) = 8 ar (ΔFED)

ar (ΔFED) = (1/8) ar (ΔAFC)

इसलिए साबित हुआ

6. एक चतुर्भुज ABCD के विकर्ण AC और BD एक दूसरे को P पर काटते हैं। दर्शाइए कि

ar (APB)×ar (CPD) = ar (APD)×ar (BPC)।

[संकेत : A और C से BD पर लंब खींचिए।]

समाधान:

दिया गया:

चतुर्भुज ABCD के विकर्ण AC और BD एक दूसरे को बिंदु E पर काटते हैं।

निर्माण:

A से BD पर AM लंबवत खींचिए

C से BD पर CN लंबवत खींचिए

साबित करना,

ar(ΔAED) ar(ΔBEC) = ar (ΔABE) ×ar (ΔCDE)

सबूत,

ar(ΔABE) = ½ ×BE×AM………….. (i)

ar(ΔAED) = ½ ×DE×AM………….. (ii)

ईक को विभाजित करना। ii द्वारा i , हम प्राप्त करते हैं,

एआर(एईडी)/एआर(एबीई) = डीई/बीई…….. (iii)

इसी तरह,

एआर (सीडीई)/एआर (बीईसी) = डीई/बीई ……. (iv)

ईक से। (iii) और (iv) , हम प्राप्त करते हैं

एआर(एईडी)/एआर(एबीई) = एआर(सीडीई)/एआर(बीईसी)

, ar(ΔAED)×ar(ΔBEC) = ar(ΔABE)×ar (ΔCDE)

इसलिए साबित हुआ।

7. P और Q एक त्रिभुज ABC की भुजाओं AB और BC के क्रमशः मध्य-बिंदु हैं और R, AP का मध्य-बिंदु है, दर्शाइए कि:

(i) ar (PRQ) = ½ ar (ARC)

(ii) ar (RQC) = (3/8) ar (ABC)

(iii) ar (PBQ) = ar (ARC)

समाधान:

(मैं)

हम जानते हैं कि माध्यिका त्रिभुज को समान क्षेत्रफल वाले दो त्रिभुजों में विभाजित करती है,

PC ABC की माध्यिका है।

Ar (ΔBPC) = ar (ΔAPC) ………. (i)

RC APC की माध्यिका है।

Ar (ΔARC) = ½ ar (ΔAPC) ………. (ii)

PQ, BPC की माध्यिका है।

Ar (ΔPQC) = ½ ar (ΔBPC) ………. (iii)

ईक से। (i) और (iii), हम पाते हैं,

ar (ΔPQC) = ½ ar (ΔAPC) ………. (iv)

ईक से। (ii) और (iv), हम प्राप्त करते हैं,

ar (ΔPQC) = ar (ΔARC) ……….(v)

P और Q क्रमशः AB और BC के मध्य-बिंदु हैं [दिया गया]

पीक्यू||एसी

और, पीए = ½ एसी

चूँकि समान समान्तर रेखाओं के बीच के त्रिभुज क्षेत्रफल में बराबर होते हैं, हम पाते हैं,

ar (ΔAPQ) = ar (ΔPQC) ………. (vi)

ईक से। (v) और (vi), हम प्राप्त करते हैं,

ar (ΔAPQ) = ar (ΔARC) ………. (vii)

R, AP का मध्य-बिंदु है।

, RQ APQ की माध्यिका है।

Ar (ΔPRQ) = ½ ar (ΔAPQ) ………. (viii)

(vii) और (viii) से, हम प्राप्त करते हैं,

ar (ΔPRQ) = ½ ar (ΔARC)

इसलिए सिद्ध।

(ii) PQ BPC . की माध्यिका है

ar (ΔPQC) = ½ ar (ΔBPC)

= (½) ×(1/2 )ar (ΔABC)

= ar (ΔABC) ………. (ix)

भी,

ar (ΔPRC) = ½ ar (ΔAPC) [से (iv)]

एआर (ΔPRC) = (1/2)×(1/2)ar (एबीसी)

= ar(ΔABC) ……….(x)

ईक जोड़ें। (ix) और (x), हम प्राप्त करते हैं,

ar (ΔPQC) + ar (ΔPRC) = (1/4)×(1/4)ar (ΔABC)

ar (quad. PQCR) = ar (ΔABC) ……….(xi)

L.H.S और R.H.S से ar (ΔPRQ) घटाना,

ar (quad. PQCR)–ar (ΔPRQ) = ½ ar (ΔABC)–ar (ΔPRQ)

ar (ΔRQC) = ½ ar (ΔABC) – ½ ar (ΔARC) [परिणाम से (i)]

ar (ΔARC) = ½ ar (ΔABC) –(1/2)×(1/2)ar (ΔAPC)

ar (ΔRQC) = ½ ar (ΔABC) –(1/4)ar (ΔAPC)

ar (ΔRQC) = ½ ar (ΔABC) –(1/4)×(1/2)ar (ΔABC) [क्योंकि, PC ΔABC की माध्यिका है]

ar (ΔRQC) = ½ ar (ΔABC)–(1/8)ar (ΔABC)

ar (ΔRQC) = [(1/2)-(1/8)]ar (ΔABC)

ar (ΔRQC) = (3/8)ar (ΔABC)

(iii) ar (ΔPRQ) = ½ ar (ΔARC) [परिणाम से (i)]

2ar (ΔPRQ) = ar (ΔARC) ……………..(xii)

ar (ΔPRQ) = ½ ar (ΔAPQ) [RQ APQ की माध्यिका है] ……….(xiii)

लेकिन, हम जानते हैं कि,

ar (ΔAPQ) = ar (ΔPQC) [ईक में उल्लिखित कारण से। (vi)] ……….(xiv)

ईक से। (xiii) और (xiv), हम प्राप्त करते हैं,

ar (ΔPRQ) = ½ ar (ΔPQC) ……….(xv)

एक ही समय पर,

ar (ΔBPQ) = ar (ΔPQC) [PQ, BPC की माध्यिका है] ……….(xvi)

ईक से। (xv) और (xvi), हम पाते हैं,

एआर (ΔPRQ) = ½ एआर (ΔBPQ) ………. (xvii)

ईक से। (xii) और (xvii), हम प्राप्त करते हैं,

2×(1/2)ar(ΔBPQ)= ar (ΔARC)

ar (ΔBPQ) = ar (ΔARC)

इसलिए सिद्ध।

8. आकृति 9.34 में, ABC एक समकोण त्रिभुज है जिसका कोण A है। BCED, ACFG और ABMN क्रमशः BC, CA और AB भुजाओं पर वर्ग हैं। रेखा खंड AX ^ DE, BC से Y पर मिलता है। दर्शाइए कि:

(i) MBC ABD

(ii) ar(BYXD) = 2ar(MBC)

(iii) एआर (बीवाईएक्सडी) = एआर (एबीएमएन)

(iv) FCB ACE

(v) ar(CYXE) = 2ar(FCB)

(vi) ar(CYXE) = ar(ACFG)

(vii) ar(BCED) = ar(ABMN)+ar(ACFG)

नोट: परिणाम (vii) पाइथागोरस का प्रसिद्ध प्रमेय है। आप कक्षा X में इस प्रमेय के सरल प्रमाण के बारे में जानेंगे।

समाधान:

(i) हम जानते हैं कि एक वर्ग का प्रत्येक कोण 90° का होता है। अत: ABM = ∠DBC = 90º

ABM+∠ABC = DBC+∠ABC

एमबीसी = ∠एबीडी

MBC और ABD में,

MBC = ABD (ऊपर सिद्ध)

MB = AB (वर्ग ABMN की भुजाएँ)

BC = BD (वर्ग BCED की भुजाएँ)

MBC ABD (एसएएस सर्वांगसमता)

(ii) हमारे पास है

एमबीसी एबीडी

ar (∆MBC) = ar (∆ABD) … (i)

यह दिया गया है कि AX DE और BD DE (वर्ग BDEC की आसन्न भुजाएँ)

बीडी || AX (एक ही रेखा पर लंबवत दो रेखाएं एक दूसरे के समानांतर हैं)

ABD और समांतर चतुर्भुज BYXD एक ही आधार BD पर और समान समांतर रेखाओं BD और AX के बीच स्थित हैं।

क्षेत्रफल (∆YXD) = 2 क्षेत्रफल (∆MBC) [समीकरण से (i)] … (ii)

(iii) ∆MBC और समांतर चतुर्भुज ABMN एक ही आधार MB पर और एक ही समान्तर रेखाओं MB और NC के बीच स्थित हैं।

2 ar (∆MBC) = ar (ABMN)

ar (∆YXD) = ar (ABMN) [समीकरण (ii) से] … (iii)

(iv) हम जानते हैं कि एक वर्ग का प्रत्येक कोण 90° का होता है।

∴∠FCA = BCE = 90º

∴∠FCA+∠ACB = BCE+∠ACB

FCB = ACE

FCB और ACE में,

FCB = ACE

FC = AC (वर्ग ACFG की भुजाएँ)

CB = CE (वर्ग BCED की भुजाएँ)

FCB ACE (एसएएस सर्वांगसमता)

(v) AX DE और CE DE (वर्ग BDEC की आसन्न भुजाएँ) [दिया गया]

अत,

सीई || AX (एक ही रेखा पर लंबवत दो रेखाएं एक दूसरे के समानांतर हैं)

BACE और समांतर चतुर्भुज CYXE पर विचार करें

BACE और समांतर चतुर्भुज CYXE एक ही आधार CE पर और समान समानांतर CE और AX के बीच स्थित हैं।

ar (∆YXE) = 2ar (∆ACE) … (iv)

हमने साबित कर दिया था कि

FCB ACE

ar (∆FCB) ar (∆ACE) … (v)

समीकरण (iv) और (v) से, हम प्राप्त करते हैं

ar (CYXE) = 2 ar (∆FCB) … (vi)

(vi) बीएफसीबी और समांतर चतुर्भुज एसीएफजी पर विचार करें

BFCB और समांतर चतुर्भुज ACFG एक ही आधार CF पर और समान समानांतर CF और BG के बीच स्थित हैं।

ar (ACFG) = 2 ar (∆FCB)

ar (ACFG) = ar (CYXE) [समीकरण (vi) से] … (vii)

(vii) आकृति से, हम देख सकते हैं कि

ar (BCED) = ar (BYXD)+ar (CYXE)

ar (BCED) = ar (ABMN)+ar (ACFG) [समीकरणों (iii) और (vii) से]।