NCERT Solutions for Class 9 Maths Chapter 7 Exercise 7.4Triangles(त्रिभुज) In Hindi Medium

त्रिभुज व्यायाम 7.4

1. दिखाएँ कि एक समकोण त्रिभुज में, कर्ण सबसे लंबी भुजा होती है।

समाधान:

यह ज्ञात है कि ABC एक त्रिभुज है जो B पर समकोण है।

हम जानते हैं कि,

A +∠B+∠C = 180°

अब, यदि B+∠C = 90° है, तो A को 90° होना चाहिए।

चूँकि A त्रिभुज का सबसे बड़ा कोण है, इसके विपरीत भुजा सबसे बड़ी होनी चाहिए।

अतः, AB वह कर्ण है जो उपरोक्त समकोण त्रिभुज की सबसे बड़ी भुजा होगी अर्थात ABC।

2. आकृति 7.48 में, AABC की भुजाओं AB और AC को क्रमशः बिंदु P और Q तक बढ़ाया गया है। साथ ही, PBC <∠QCB। दर्शाइए कि AC > AB।

समाधान:

यह दिया गया है कि PBC <∠QCB

हम जानते हैं कि ABC + PBC = 180°

अत: ABC = 180°-∠PBC

भी,

ACB +∠QCB = 180°

इसलिए ∠ACB = 180° -∠QCB

अब, क्योंकि PBC <∠QCB,

एबीसी > एसीबी

अत: AC > AB क्योंकि बड़े कोण की सम्मुख भुजाएँ सदैव बड़ी होती हैं।

3. आकृति 7.49 में, B < A और C < D। दर्शाइए कि AD <BC.

समाधान:

प्रश्न में, यह उल्लेख किया गया है कि कोण B और कोण C क्रमशः कोण A और D से छोटे हैं अर्थात B <∠A और ∠C <∠D।

अभी,

चूँकि छोटे कोण की सम्मुख भुजा सदैव छोटी होती है

एओ <बीओ - (i)

और ओडी <ओसी - (ii)

समीकरण (i) और समीकरण (ii) को जोड़ने पर हम प्राप्त करते हैं

एओ+ओडी <बीओ + ओसी

अत: AD <BC

4. AB और CD एक चतुर्भुज ABCD की क्रमशः सबसे छोटी और सबसे लंबी भुजाएँ हैं (देखिए आकृति 7.50)।

दर्शाइए कि A > C तथा ∠B > D ।

समाधान:

ΔABD में, हम देखते हैं कि

एबी <एडी <बीडी

अतः, ADB < ABD — (i) (चूंकि लंबी भुजा का सम्मुख कोण हमेशा बड़ा होता है)

अब, BCD में,

बीसी <डीसी <बीडी

अत: यह निष्कर्ष निकाला जा सकता है कि

BDC <∠CBD — (ii)

अब, समीकरण (i) और समीकरण (ii) को जोड़ने पर, हम प्राप्त करते हैं,

ADB + BDC <∠ABD + CBD

एडीसी <∠एबीसी

बी > डी

इसी प्रकार, त्रिभुज ABC में,

ACB <∠BAC — (iii) (चूंकि लंबी भुजा का सम्मुख कोण हमेशा बड़ा होता है)

अब, ADC में,

DCA < DAC - (iv)

समीकरण (iii) और समीकरण (iv) को जोड़ने पर हम प्राप्त करते हैं,

ACB + DCA <∠BAC+∠DAC

BCD <∠BAD

ए > सी

5. आकृति 7.51 में, PR > PQ और PS QPR को समद्विभाजित करते हैं। सिद्ध कीजिए कि PSR > PSQ।

समाधान:

यह दिया गया है कि PR > PQ और PS QPR . को समद्विभाजित करते हैं

अब हमें यह सिद्ध करना होगा कि कोण PSR, PSQ से छोटा है अर्थात PSR > PSQ

प्रमाण:

QPS = RPS - (ii) (जैसे PS ∠QPR को समद्विभाजित करता है)

PQR > PRQ — (i) (चूंकि PR > PQ बड़ी भुजा के सम्मुख कोण हमेशा बड़ा होता है)

PSR = PQR + QPS - (iii) (चूंकि त्रिभुज का बाह्य कोण सम्मुख अंतः कोणों के योग के बराबर होता है)

PSQ = ∠PRQ + ∠RPS — (iv) (क्योंकि त्रिभुज का बाह्य कोण सम्मुख अंतः कोणों के योग के बराबर होता है)

(i) और (ii) को जोड़कर

PQR +∠QPS> PRQ +∠RPS

इस प्रकार, (i), (ii), (iii) और (iv) से हमें प्राप्त होता है

PSR > PSQ

6. दर्शाइए कि किसी दिए गए बिंदु से खींचे गए सभी रेखाखंडों में से लंब रेखाखंड सबसे छोटा होता है।

समाधान:

सबसे पहले, मान लीजिए कि "l" एक रेखाखंड है और "B" उस पर स्थित एक बिंदु है। अब l पर लम्ब एक रेखा AB खींची गई है। साथ ही, मान लीजिए कि L पर कोई अन्य बिंदु C है। आरेख इस प्रकार होगा:

साबित करना:

एबी <एसी

प्रमाण:

ABC में, B = 90°

अब, हम जानते हैं कि

A+∠B+∠C = 180°

A +∠C = 90°

इसलिए, ∠C एक न्यून कोण होना चाहिए जिसका अर्थ है C < B

अत: AB <AC (क्योंकि बड़े कोण की सम्मुख भुजा सदैव बड़ी होती है)