NCERT Solutions for Class 9 Maths Chapter 8 Quadrilateral Exercise 8.2 In Hindi Medium

कक्षा 9 अध्याय 8 चतुर्भुज अभ्यास 8.2

1. ABCD एक चतुर्भुज है जिसमें P, Q, R और S भुजाओं AB, BC, CD और DA के मध्य-बिंदु हैं (देखिए आकृति 8.29)। एसी एक विकर्ण है। बताते हैं कि:

(i) एसआर || एसी और एसआर = 1/2 एसी

(ii) पीक्यू = एसआर

(iii) PQRS एक समांतर चतुर्भुज है।

समाधान:

(i) DAC में,

R, DC का मध्य बिंदु है और S, DA का मध्य बिंदु है।

इस प्रकार मध्य बिंदु प्रमेय द्वारा, SR || एसी और एसआर = ½ एसी

(ii) BAC में,

P, AB का मध्य बिंदु है और Q, BC का मध्य बिंदु है।

इस प्रकार मध्य बिंदु प्रमेय से, PQ || एसी और पीक्यू = ½ एसी

भी, एसआर = ½ एसी

, पीक्यू = एसआर

(iii) एसआर || एसी ————————— प्रश्न से (i)

और, पीक्यू || एसी ———————— प्रश्न से (ii)

एसआर || PQ - (i) और (ii) से

भी, PQ = SR

, PQRS एक समांतर चतुर्भुज है।

2. ABCD एक समचतुर्भुज है और P, Q, R और S क्रमशः भुजाओं AB, BC, CD और DA के मध्य-बिंदु हैं। दर्शाइए कि चतुर्भुज PQRS एक आयत है।

समाधान:

प्रश्न में दिया गया है,

ABCD एक समचतुर्भुज है और P, Q, R और S क्रमशः भुजाओं AB, BC, CD और DA के मध्य-बिंदु हैं।

साबित करना,

PQRS एक आयत है।

निर्माण,

एसी और बीडी को मिलाएं।

प्रमाण:

DRS और BPQ में,

DS = BQ (समचतुर्भुज की विपरीत भुजाओं का आधा भाग)

∠SDR = QBP (चतुर्भुज के सम्मुख कोण)

DR = BP (समचतुर्भुज की विपरीत भुजाओं का आधा भाग)

, DRS BPQ [एसएएस सर्वांगसमता]

आरएस = पीक्यू [सीपीसीटी] ———————- (i)

QCR और SAP में,

RC = PA (समचतुर्भुज की विपरीत भुजाओं का आधा भाग)

RCQ = PAS (चतुर्भुज के सम्मुख कोण)

CQ = AS (चतुर्भुज की विपरीत भुजाओं का आधा भाग)

, QCR ΔSAP [एसएएस सर्वांगसमता]

आरक्यू = एसपी [सीपीसीटी] ———————- (ii)

अभी,

ΔCDB में,

R और Q क्रमशः CD और BC के मध्य बिंदु हैं।

⇒ क्यूआर || बीडी

भी,

P और S क्रमशः AD और AB के मध्य बिंदु हैं।

पीएस || बीडी

⇒ क्यूआर || पी.एस.

, PQRS एक समांतर चतुर्भुज है।

साथ ही, PQR = 90°

अभी,

पीक्यूआरएस में,

आरएस = पीक्यू और आरक्यू = एसपी (i) और (ii) से

क्यू = 90°

, PQRS एक आयत है।

3. ABCD एक आयत है और P, Q, R और S क्रमशः भुजाओं AB, BC, CD और DA के मध्य-बिंदु हैं। दर्शाइए कि चतुर्भुज PQRS एक समचतुर्भुज है।

समाधान:

प्रश्न में दिया गया है,

ABCD एक आयत है और P, Q, R और S क्रमशः भुजाओं AB, BC, CD और DA के मध्य-बिंदु हैं।

निर्माण,

एसी और बीडी को मिलाएं।

साबित करना,

PQRS एक समचतुर्भुज है।

प्रमाण:

एबीसी . में

P और Q क्रमशः AB और BC के मध्य-बिंदु हैं

, पीक्यू || एसी और पीक्यू = ½ एसी (मध्य बिंदु प्रमेय) - (i)

ADC में,

एसआर || एसी और एसआर = ½ एसी (मध्य बिंदु प्रमेय) - (ii)

तो, पीक्यू || एसआर और पीक्यू = एसआर

जैसा कि चतुर्भुज PQRS में सम्मुख भुजाओं का एक युग्म एक दूसरे के समान और समांतर होता है, इसलिए यह एक समांतर चतुर्भुज है।

, पीएस || क्यूआर और पीएस = क्यूआर (समानांतर चतुर्भुज के विपरीत पक्ष) - (iii)

अभी,

ΔBCD में,

Q और R क्रमशः भुजा BC और CD के मध्य बिंदु हैं।

, क्यूआर || बीडी और क्यूआर = ½ बीडी (मध्य बिंदु प्रमेय) - (iv)

AC = BD (एक आयत के विकर्ण बराबर होते हैं) — (v)

समीकरणों (i), (ii), (iii), (iv) और (v) से,

पीक्यू = क्यूआर = एसआर = पीएस

अत: PQRS एक समचतुर्भुज है।

इसलिए सिद्ध

4. ABCD एक समलंब है जिसमें AB || DC, BD एक विकर्ण है और E, AD का मध्य-बिंदु है। E से होकर AB के समांतर एक रेखा खींची जाती है जो BC को F पर प्रतिच्छेद करती है (देखिए आकृति 8.30)। दर्शाइए कि F, BC का मध्य-बिंदु है।

समाधान:

मान लीजिये,

ABCD एक समलंब है जिसमें AB || DC, BD एक विकर्ण है और E, AD का मध्य-बिंदु है।

साबित करना,

F, BC का मध्य-बिंदु है।

प्रमाण,

BD, EF को G पर काटती है।

ΔBAD में,

E, AD का मध्य बिंदु है और EG भी || एबी.

अत: G, BD का मध्य बिन्दु है (मध्य बिन्दु प्रमेय का विलोम)

अभी,

BDC में,

G, BD का मध्य बिंदु है और GF भी || एबी || डीसी.

इस प्रकार, F, BC का मध्य बिंदु है (मध्य बिंदु प्रमेय का विलोम)

5. एक समांतर चतुर्भुज ABCD में, E और F क्रमशः भुजाओं AB और CD के मध्य-बिंदु हैं (देखिए आकृति 8.31)। दर्शाइए कि रेखाखंड AF और EC विकर्ण BD को समद्विभाजित करते हैं

समाधान:

मान लीजिये,

ABCD एक समांतर चतुर्भुज है। E और F क्रमशः भुजाओं AB और CD के मध्य-बिंदु हैं।

दिखाना,

AF और EC विकर्ण BD को समद्विभाजित करते हैं।

प्रमाण,

ABCD एक समांतर चतुर्भुज है

, एबी || सीडी

भी, एई || एफसी

अभी,

AB = CD (समानांतर चतुर्भुज ABCD की विपरीत भुजाएँ)

½ एबी = ½ सीडी

AE = FC (E और F भुजा AB और CD के मध्यबिंदु हैं)

AECF एक समांतर चतुर्भुज है (AE और CF समानांतर और एक दूसरे के बराबर हैं)

वायुसेना || ईसी (एक समांतर चतुर्भुज के विपरीत पक्ष)

अभी,

ΔDQC में,

F भुजा DC और FP का मध्य बिंदु है || सीक्यू (एएफ || ईसी के रूप में)।

P, DQ का मध्य-बिंदु है (मध्य-बिंदु प्रमेय का विलोम)

डीपी = पीक्यू - (i)

इसी तरह,

APB में,

E भुजा AB और EQ का मध्यबिंदु है || एपी (एएफ के रूप में || ईसी)।

Q, PB का मध्य-बिंदु है (मध्य-बिंदु प्रमेय का विलोम)

पीक्यू = क्यूबी - (ii)

समीकरणों (i) और (i) से,

डीपी = पीक्यू = बीक्यू

अत: रेखाखंड AF और EC विकर्ण BD को समद्विभाजित करते हैं।

इसलिए सिद्ध।

6. दर्शाइए कि एक चतुर्भुज की सम्मुख भुजाओं के मध्य-बिंदुओं को मिलाने वाले रेखाखंड एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं।

समाधान:

मान लीजिए ABCD एक चतुर्भुज है और P, Q, R और S क्रमशः AB, BC, CD और DA के मध्य बिंदु हैं।

अभी

ΔACD में,

R और S क्रमशः CD और DA के मध्य बिंदु हैं।

, एसआर || एसी।

इसी तरह हम दिखा सकते हैं कि,

पीक्यू || एसी,

पीएस || बीडी और

क्यूआर || बीडी

, PQRS समांतर चतुर्भुज है।

PR और QS समांतर चतुर्भुज PQRS के विकर्ण हैं। तो, वे एक दूसरे को समद्विभाजित करेंगे।

7. ABC एक त्रिभुज है जो C पर समकोण है। कर्ण AB के मध्य-बिंदु M से होकर BC के समांतर एक रेखा AC को D पर प्रतिच्छेद करती है। दर्शाइए कि

(i) D, AC का मध्य-बिंदु है

(ii) एमडी एसी

(iii) सीएम = एमए = ½ एबी

समाधान:

(i) ΔACB में,

M, AB और MD का मध्यबिंदु है || ईसा पूर्व

, D AC का मध्यबिंदु है (मध्य बिंदु प्रमेय का विलोम)

(ii) ∠ACB = ADM (संगत कोण)

साथ ही, ACB = 90°

, ∠ADM = 90° और MD ⊥ AC

(iii) AMD और ΔCMD में,

AD = CD (D भुजा AC का मध्यबिंदु है)

ADM = CDM (प्रत्येक 90°)

डीएम = डीएम (सामान्य)

, AMD CMD [एसएएस सर्वांगसमता]

एएम = सीएम [सीपीसीटी]

साथ ही, AM = ½ AB (M, AB का मध्यबिंदु है)

इसलिए, सीएम = एमए = ½ एबी