NCERT Solutions for Class 9 Maths Chapter 7 Triangles(त्रिभुज) In Hindi Medium

 NCERT Solutions for Class 9 Maths Chapter 7 Exercise 7.1Triangles(त्रिभुज) In Hindi Medium

NCERT Solutions for Class 9 Maths Chapter 7 - त्रिभुज अभ्यास 7.1

1. चतुर्भुज ACBD में, AC = AD और AB A को समद्विभाजित करते हैं (देखिए आकृति 7.16)। दर्शाइए कि ABC≅ ABD. आप BC और BD के बारे में क्या कह सकते हैं?

समाधान:

यह दिया गया है कि AC और AD बराबर हैं अर्थात AC = AD और रेखाखंड AB ∠A को समद्विभाजित करता है।

अब हमें यह सिद्ध करना होगा कि दो त्रिभुज ABC और ABD समरूप हैं अर्थात् ABC ABD

प्रमाण:

त्रिभुज ABC और ABD पर विचार करें,

(i) एसी = एडी (यह प्रश्न में दिया गया है)

(ii) एबी = एबी (सामान्य)

(iii) ∠CAB = DAB (चूंकि AB कोण A का समद्विभाजक है)

अतः, SAS सर्वांगसमता कसौटी के अनुसार, ABC ABD।

प्रश्न के दूसरे भाग के लिए, BC और BD समान लंबाई के हैं C.P.C.T के नियम के अनुसार।

2. ABCD एक चतुर्भुज है जिसमें AD = BC और ZDAB = ZCBA है (देखिए आकृति 7.17)। साबित करो

(i) ABD BAC

(ii) बीडी = एसी

(iii) ∠ABD = BAC।

समाधान:

प्रश्नों में दिए गए पैरामीटर ∠DAB = CBA और AD = BC हैं।

(i) SAS सर्वांगसमता से ABD और BAC समान हैं:

AB = BA (यह उभयनिष्ठ भुजा है)

DAB = CBA और AD = BC (ये प्रश्न में दिए गए हैं)

अत: त्रिभुज ABD और BAC समरूप हैं अर्थात् ABD BAC। (इसलिए सिद्ध)।

(ii) अब यह ज्ञात है कि ABD BAC इसलिए,

बीडी = एसी (सीपीसीटी के नियम से)।

(iii) चूँकि ABD BAC इसलिए,

कोण ∠ABD = BAC (CPCT के नियम से)।

3. AD और BC एक रेखाखंड AB पर समान लंब हैं (देखिए आकृति 7.18)। दर्शाइए कि CD AB को समद्विभाजित करती है।

समाधान:

यह दिया गया है कि AD और BC AB पर दो समान लम्ब हैं।

हमें सिद्ध करना होगा कि CD, AB का समद्विभाजक है

अभी,

त्रिभुज ΔAOD और BOC, AAS सर्वांगसमता से समरूप हैं क्योंकि:

(i) A = B (वे लंबवत हैं)

(ii) AD = BC (जैसा कि प्रश्न में दिया गया है)

(iii) ∠AOD = BOC (वे शीर्षाभिमुख कोण हैं)

AOD BOC।

तो, AO = OB (CPCT के नियम से)।

इस प्रकार, CD AB को समद्विभाजित करती है (इसलिए सिद्ध)।

4. l और m दो समानांतर रेखाएँ हैं जो समानांतर रेखाओं p और q के एक अन्य युग्म द्वारा प्रतिच्छेदित होती हैं (देखिए आकृति 7.19)। दर्शाइए कि ABC CDA।

समाधान:

यह दिया गया है कि पी || क्यू और एल || एम

साबित करना:

त्रिभुज ABC और CDA समरूप हैं अर्थात ABC ΔCDA

प्रमाण:

ABC और CDA पर विचार करें,

(i) BCA = DAC और BAC = DCA क्योंकि वे एकांतर अंतः कोण हैं।

(ii) AC = CA क्योंकि यह उभयनिष्ठ भुजा है

अतः, ASA सर्वांगसमता मानदंड से, ABC CDA।

5. रेखा l कोण A का समद्विभाजक है और B, l पर कोई बिंदु है। BP और BQ, B से A की भुजाओं पर लम्ब हैं (देखिए आकृति 7.20)। बताते हैं कि:

(i) APB AQB

(ii) BP = BQ या B, A की भुजाओं से समान दूरी पर है।

समाधान:

यह दिया गया है कि रेखा "l" कोण A का समद्विभाजक है और रेखा खंड BP और BQ, l से खींचे गए लंबवत हैं।

(i) AAS सर्वांगसमता से APB और AQB समान हैं क्योंकि:

P = Q (वे दो समकोण हैं)

AB = AB (यह उभयनिष्ठ भुजा है)

BAP = BAQ (चूंकि रेखा l कोण A का समद्विभाजक है)

अतः, APB AQB।

(ii) सीपीसीटी के नियम से, बीपी = बीक्यू। अतः, यह कहा जा सकता है कि बिंदु B, A की भुजाओं से समान दूरी पर है।

6. आकृति 7.21 में, AC = AE, AB = AD और ZBAD = ZEAC। दर्शाइए कि BC = DE है।

समाधान:

प्रश्न में दिया गया है कि AB = AD, AC = AE, और ∠BAD = EAC

साबित करना:

रेखाखंड BC और DE समरूप हैं अर्थात BC = DE

प्रमाण:

हम जानते हैं कि BAD = EAC

अब, दोनों पक्षों में DAC जोड़ने पर, हम प्राप्त करते हैं,

BAD + DAC = EAC +∠DAC

इसका तात्पर्य है, BAC = EAD

अब, ABC और ADE SAS सर्वांगसमता द्वारा समान हैं क्योंकि:

(i) एसी = एई (जैसा कि प्रश्न में दिया गया है)

(ii) ∠BAC = EAD

(iii) AB = AD (यह प्रश्न में भी दिया गया है)

त्रिभुज ABC और ADE समरूप हैं अर्थात ABC ADE।

तो, CPCT के नियम से यह कहा जा सकता है कि BC = DE।

7. AB एक रेखाखंड है और P इसका मध्य-बिंदु है। D और E AB के एक ही ओर स्थित बिंदु इस प्रकार हैं कि ∠BAD = ABE और EPA = DPB (देखिए आकृति 7.22)। बताते हैं कि

(i) डीएपी ईबीपी

(ii) एडी = बीई

समाधान:

प्रश्न में, यह दिया गया है कि P रेखाखंड AB का मध्य-बिंदु है। साथ ही, BAD = ABE और ∠EPA = DPB

(i) यह दिया गया है कि ∠EPA = DPB

अब, दोनों तरफ DPE डालें,

ईपीए +∠डीपीई = डीपीबी+∠डीपीई

इसका तात्पर्य यह है कि कोण DPA और EPB बराबर हैं अर्थात DPA = EPB

अब, त्रिभुज DAP और EBP पर विचार करें।

डीपीए = ईपीबी

AP = BP (चूंकि P रेखाखंड AB का मध्य-बिंदु है)

BAD = ABE (जैसा कि प्रश्न में दिया गया है)

अतः, ASA सर्वांगसमता से, DAP EBP।

(ii) सीपीसीटी के नियम से, एडी = बीई।

8. समकोण त्रिभुज ABC में, C पर समकोण, M कर्ण AB का मध्य-बिंदु है। C को M से जोड़ा जाता है और एक बिंदु D तक इस प्रकार बढ़ाया जाता है कि DM = CM हो। बिंदु D को बिंदु B से जोड़ा गया है (देखिए आकृति 7.23)। बताते हैं कि:

(i) एएमसी बीएमडी

(ii) DBC एक समकोण है।

(iii) DBC ACB

(iv) सीएम = ½ एबी

समाधान:

यह दिया गया है कि M रेखाखंड AB का मध्य-बिंदु है, C = 90°, और DM = CM

(i) त्रिभुजों ΔAMC और BMD पर विचार कीजिए:

AM = BM (चूंकि M मध्य-बिंदु है)

सीएम = डीएम (प्रश्न में दिया गया है)

CMA = DMB (वे लंबवत विपरीत कोण हैं)

अतः, SAS सर्वांगसमता मानदंड से, AMC BMD।

(ii) ∠ACM = BDM (CPCT द्वारा)

∴ एसी || BD, क्योंकि एकांतर अंतः कोण बराबर होते हैं।

अब, ACB +∠DBC = 180° (चूंकि वे सह-आंतरिक कोण हैं)

90° +∠B = 180°

DBC = 90°

(iii) DBC और ACB में,

बीसी = सीबी (सामान्य पक्ष)

ACB = DBC (वे समकोण हैं)

डीबी = एसी (सीपीसीटी द्वारा)

अत: SAS सर्वांगसमता से DBC ACB।

(iv) DC = AB (चूंकि ΔDBC ACB)

डीएम = सीएम = एएम = बीएम (चूंकि एम मध्य बिंदु है)

तो, डीएम + सीएम = बीएम + एएम

इसलिए, सीएम + सीएम = एबी

⇒ सीएम = (½) एबी

 NCERT Solutions for Class 9 Maths Chapter 7 Exercise 7.2Triangles(त्रिभुज) In Hindi Medium

अध्याय 7 - त्रिभुज व्यायाम 7.2

1. एक समद्विबाहु त्रिभुज ABC में, AB = AC के साथ, B और ∠C के समद्विभाजक एक दूसरे को O पर काटते हैं। A को O से मिलाइए। दर्शाइए कि:

(i) OB = OC (ii) AO A . को समद्विभाजित करता है

समाधान:

दिया गया:

एबी = एसी और

B और C के समद्विभाजक एक दूसरे को O . पर काटते हैं

(i) चूँकि ABC एक समद्विबाहु है जिसमें AB = AC है,

बी = सी

½ B = ½ C

OBC = OCB (कोण समद्विभाजक)

OB = OC (समान कोणों की सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं।)

(ii) AOB और AOC में,

AB = AC (प्रश्न में दिया गया है)

AO = AO (सामान्य भुजा)

ओबी = ओसी (जैसा कि पहले ही साबित हो चुका है)

अत: SSS सर्वांगसमता शर्त द्वारा AOB AOC।

बीएओ = सीएओ (सीपीसीटी द्वारा)

इस प्रकार, AO A को समद्विभाजित करता है।

2. ABC में, AD BC का लम्ब समद्विभाजक है (देखिए आकृति 7.30)। दर्शाइए कि ABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है जिसमें AB = AC है।

समाधान:

यह दिया गया है कि AD, BC का लंब समद्विभाजक है

साबित करना:

एबी = एसी

प्रमाण:

ADB और ADC में,

AD = AD (यह उभयनिष्ठ भुजा है)

ADB = ADC

BD = CD (चूंकि AD एक लंब समद्विभाजक है)

अतः, SAS सर्वांगसमता मानदंड द्वारा ADB ADC।

इस प्रकार,

एबी = एसी (सीपीसीटी द्वारा)

3. ABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है जिसमें समान भुजाओं AC और AB पर क्रमश: BE और CF के शीर्षलंब खींचे जाते हैं (देखिए आकृति 7.31)। दिखाएँ कि ये ऊँचाई बराबर हैं।

समाधान:

दिया गया:

(i) बीई और सीएफ ऊंचाई हैं।

(ii) एसी = एबी

साबित करना:

बीई = सीएफ

प्रमाण:

त्रिभुज AEB और AFC, AAS सर्वांगसमता से समरूप हैं, क्योंकि

∠A = A (यह उभयनिष्ठ भुजा है)

AEB = AFC (वे समकोण हैं)

AB = AC (प्रश्न में दिया गया है)

AEB AFC और इसलिए, BE = CF (CPCT द्वारा)।

4. ABC एक त्रिभुज है जिसमें AC और AB की भुजाओं के शीर्षलंब BE और CF बराबर हैं (देखिए आकृति 7.32)। बताते हैं कि

(i) ABE ACF

(ii) AB = AC, अर्थात् ABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है।

समाधान:

यह दिया गया है कि BE = CF

(i) ABE और ΔACF में,

∠A = A (यह उभयनिष्ठ कोण है)

AEB = AFC (वे समकोण हैं)

बीई = सीएफ (प्रश्न में दिया गया है)

ABE ACF AAS सर्वांगसमता की स्थिति से।

(ii) AB = AC बटा CPCT और इसलिए, ABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है।

5. ABC और DBC एक ही आधार BC पर स्थित दो समद्विबाहु त्रिभुज हैं (देखिए आकृति 7.33)। दर्शाइए कि ABD = ACD है।

समाधान:

प्रश्न में यह दिया गया है कि ABC और DBC दो समद्विबाहु त्रिभुज हैं।

हमें यह दिखाना होगा कि ∠ABD = ACD

प्रमाण:

त्रिभुज ΔABD और ΔACD SSS सर्वांगसमता से समरूप हैं क्योंकि

AD = AD (यह उभयनिष्ठ भुजा है)

AB = AC (चूंकि ABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है)

बीडी = सीडी (चूंकि बीसीडी एक समद्विबाहु त्रिभुज है)

अत: ABD ACD।

ABD = ACD CPCT द्वारा।

6. ABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है जिसमें AB = AC है। भुजा BA को D तक इस प्रकार बढ़ाया जाता है कि AD = AB (देखिए आकृति 7.34)। दर्शाइए कि BCD एक समकोण है।

समाधान:

यह दिया गया है कि AB = AC और AD = AB

अब हमें सिद्ध करना होगा कि BCD एक समकोण है।

प्रमाण:

ABC पर विचार करें,

AB = AC (प्रश्न में दिया गया है)

साथ ही, ∠ACB = ABC (वे बराबर भुजाओं के सम्मुख कोण होते हैं और इसलिए वे बराबर होते हैं)

अब, ACD पर विचार करें,

एडी = एबी

साथ ही, ∠ADC = ACD (वे बराबर भुजाओं के सम्मुख कोण होते हैं और इसलिए वे बराबर होते हैं)

अभी,

ABC में,

CAB + ∠ACB + ∠ABC = 180°

अत: CAB + 2∠ACB = 180°

CAB = 180° - 2∠ACB - (i)

इसी प्रकार, ΔADC में,

CAD = 180° - 2∠ACD - (ii)

भी,

CAB + ∠CAD = 180° (BD एक सीधी रेखा है।)

(i) और (ii) को जोड़ने पर हमें प्राप्त होता है,

CAB + CAD = 180° - 2∠ACB+180° - 2∠ACD

⇒ 180° = 360° - 2∠ACB-2∠ACD

⇒ 2(∠ACB+∠ACD) = 180°

BCD = 90°

7. ABC एक समकोण त्रिभुज है जिसमें A = 90° और AB = AC है। B और C खोजें।

समाधान:

प्रश्न में यह दिया गया है कि

A = 90° और AB = AC

एबी = एसी

B = C (वे बराबर भुजाओं के सम्मुख कोण होते हैं और इसलिए वे बराबर होते हैं)

अभी,

∠A+∠B+∠C = 180° (चूंकि त्रिभुज के आंतरिक कोणों का योग)

90° + 2∠B = 180°

⇒ 2∠B = 90°

B = 45°

अत: ∠B = ∠C = 45°

8. दर्शाइए कि एक समबाहु त्रिभुज के प्रत्येक कोण 60° के होते हैं।

समाधान:

मान लीजिए ABC एक समबाहु त्रिभुज है जैसा कि नीचे दिखाया गया है:

यहाँ, BC = AC = AB (चूंकि सभी भुजाओं की लंबाई समान है)

A = ∠B =∠C (समान कोणों की सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं।)

साथ ही, हम जानते हैं कि

A+∠B+∠C = 180°

⇒ 3∠A = 180°

A = 60°

A = ∠B = C = 60°

अतः एक समबाहु त्रिभुज के प्रत्येक कोण सदैव 60° के होते हैं।

NCERT Solutions for Class 9 Maths Chapter 7 Exercise 7.3 Triangles(त्रिभुज) In Hindi Medium

त्रिभुज व्यायाम 7.3

1. ABC और DBC एक ही आधार BC पर स्थित दो समद्विबाहु त्रिभुज हैं और शीर्ष BC के एक ही ओर स्थित हैं (देखिए आकृति 7.39)। यदि AD को BC को P पर प्रतिच्छेद करने के लिए बढ़ाया जाता है, तो दर्शाइए कि

(i) ABD ACD

(ii) ABP ACP

(iii) AP A और D को समद्विभाजित करता है।

(iv) AP, BC का लम्ब समद्विभाजक है।

समाधान:

उपरोक्त प्रश्न में, यह दिया गया है कि ABC और DBC दो समद्विबाहु त्रिभुज हैं।

(i) ABD और ACD SSS सर्वांगसमता से समान हैं क्योंकि:

AD = AD (यह उभयनिष्ठ भुजा है)

AB = AC (चूंकि ΔABC समद्विबाहु है)

BD = CD (चूंकि ΔDBC समद्विबाहु है)

ΔABD ACD।

(ii) ΔABP और ACP समान हैं:

AP = AP (यह उभयनिष्ठ पक्ष है)

PAB = PAC (CPCT द्वारा ABD ACD के बाद से)

AB = AC (चूंकि ΔABC समद्विबाहु है)

अत: SAS सर्वांगसमता की स्थिति से ABP ACP।

(iii) PAB = PAC CPCT द्वारा ABD ACD के रूप में।

AP A को समद्विभाजित करता है। - (मैं)

साथ ही, BPD और CPD SSS सर्वांगसमता द्वारा समान हैं जैसे

पीडी = पीडी (यह सामान्य पक्ष है)

BD = CD (चूंकि ΔDBC समद्विबाहु है।)

BP = CP (CPCT द्वारा ABP ACP के रूप में)

अत: BPD CPD।

अत: BDP = CDP बटा CPCT। - (ii)

अब (i) और (ii) की तुलना करके यह कहा जा सकता है कि AP A और D को भी समद्विभाजित करता है।

(iv) ∠BPD = CPD (CPCT द्वारा BPD ΔCPD के रूप में)

और बीपी = सीपी - (i)

भी,

BPD +∠CPD = 180° (चूंकि BC एक सीधी रेखा है।)

⇒ 2∠BPD = 180°

BPD = 90° —(ii)

अब, समीकरणों (i) और (ii) से, यह कहा जा सकता है कि

AP, BC का लम्ब समद्विभाजक है।

2. AD एक समद्विबाहु त्रिभुज ABC का एक शीर्षलंब है जिसमें AB = AC है। बताते हैं कि

(i) AD, BC को समद्विभाजित करता है (ii) AD, A को समद्विभाजित करता है।

समाधान:

यह दिया गया है कि AD एक ऊंचाई है और AB = AC है। आरेख इस प्रकार है:

(i) ABD और ACD में,

ADB = ADC = 90°

AB = AC (प्रश्न में दिया गया है)

AD = AD (सामान्य भुजा)

ABD ACD RHS सर्वांगसमता दशा द्वारा।

अब, सीपीसीटी के नियम से,

बीडी = सीडी।

अत: AD, BC को समद्विभाजित करता है

(ii) फिर से, CPCT के नियम से, BAD = CAD

अत: AD, A को समद्विभाजित करता है।

3. एक त्रिभुज ABC की दो भुजाएँ AB और BC और माध्यिका AM क्रमशः भुजाओं PQ और QR के बराबर हैं और PQR की माध्यिका PN है (देखिए आकृति 7.40)। बताते हैं कि:

(i) ABM PQN

(ii) ABC PQR

समाधान:

दिए गए पैरामीटर हैं:

एबी = पीक्यू,

बीसी = क्यूआर और

एएम = पीएन

(i) ½ BC = BM और ½ QR = QN (चूंकि AM और PN माध्यिकाएँ हैं)

साथ ही, BC = QR

तो, ½ BC = ½ QR

बीएम = क्यूएन

ABM और PQN में,

AM = PN और AB = PQ (जैसा कि प्रश्न में दिया गया है)

बीएम = क्यूएन (पहले से ही सिद्ध)

SSS सर्वांगसमता से ABM PQN।

(ii) ABC और PQR में,

एबी = पीक्यू और बीसी = क्यूआर (जैसा कि प्रश्न में दिया गया है)

ABC = PQR (CPCT द्वारा)

अत: SAS सर्वांगसमता से ABC PQR।

4. BE और CF एक त्रिभुज ABC के दो बराबर शीर्षलंब हैं। RHS सर्वांगसमता नियम का प्रयोग करके सिद्ध कीजिए कि त्रिभुज ABC समद्विबाहु है।

समाधान:

यह ज्ञात है कि BE और CF दो समान ऊँचाई हैं।

अब, BEC और CFB में,

BEC = CFB = 90° (समान ऊँचाई)

बीसी = सीबी (सामान्य पक्ष)

बीई = सीएफ (सामान्य पक्ष)

अतः, RHS सर्वांगसमता मानदंड द्वारा BEC CFB।

साथ ही, C = B (सीपीसीटी द्वारा)

अत: AB = AC, क्योंकि समान कोणों की सम्मुख भुजाएँ सदैव समान होती हैं।

5. ABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है जिसमें AB = AC है। AP BC खींचकर दर्शाइए कि B = C है।

समाधान:

प्रश्न में यह दिया गया है कि AB = AC

अब, ABP और ACP, RHS सर्वांगसमता के अनुसार समान हैं:

APB = APC = 90° (AP ऊंचाई है)

AB = AC (प्रश्न में दिया गया है)

एपी = एपी (सामान्य पक्ष)

अतः, ABP ACP।

B = C (सीपीसीटी द्वारा)

 NCERT Solutions for Class 9 Maths Chapter 7 Exercise 7.4Triangles(त्रिभुज) In Hindi Medium

त्रिभुज व्यायाम 7.4

1. दिखाएँ कि एक समकोण त्रिभुज में, कर्ण सबसे लंबी भुजा होती है।

समाधान:

यह ज्ञात है कि ABC एक त्रिभुज है जो B पर समकोण है।

हम जानते हैं कि,

A +∠B+∠C = 180°

अब, यदि B+∠C = 90° है, तो A को 90° होना चाहिए।

चूँकि A त्रिभुज का सबसे बड़ा कोण है, इसके विपरीत भुजा सबसे बड़ी होनी चाहिए।

अतः, AB वह कर्ण है जो उपरोक्त समकोण त्रिभुज की सबसे बड़ी भुजा होगी अर्थात ABC।

2. आकृति 7.48 में, AABC की भुजाओं AB और AC को क्रमशः बिंदु P और Q तक बढ़ाया गया है। साथ ही, PBC <∠QCB। दर्शाइए कि AC > AB।

समाधान:

यह दिया गया है कि PBC <∠QCB

हम जानते हैं कि ABC + PBC = 180°

अत: ABC = 180°-∠PBC

भी,

ACB +∠QCB = 180°

इसलिए ∠ACB = 180° -∠QCB

अब, क्योंकि PBC <∠QCB,

एबीसी > एसीबी

अत: AC > AB क्योंकि बड़े कोण की सम्मुख भुजाएँ सदैव बड़ी होती हैं।

3. आकृति 7.49 में, B < A और C < D। दर्शाइए कि AD <BC.

समाधान:

प्रश्न में, यह उल्लेख किया गया है कि कोण B और कोण C क्रमशः कोण A और D से छोटे हैं अर्थात B <∠A और ∠C <∠D।

अभी,

चूँकि छोटे कोण की सम्मुख भुजा सदैव छोटी होती है

एओ <बीओ - (i)

और ओडी <ओसी - (ii)

समीकरण (i) और समीकरण (ii) को जोड़ने पर हम प्राप्त करते हैं

एओ+ओडी <बीओ + ओसी

अत: AD <BC

4. AB और CD एक चतुर्भुज ABCD की क्रमशः सबसे छोटी और सबसे लंबी भुजाएँ हैं (देखिए आकृति 7.50)।

दर्शाइए कि A > C तथा ∠B > D ।

समाधान:

ΔABD में, हम देखते हैं कि

एबी <एडी <बीडी

अतः, ADB < ABD — (i) (चूंकि लंबी भुजा का सम्मुख कोण हमेशा बड़ा होता है)

अब, BCD में,

बीसी <डीसी <बीडी

अत: यह निष्कर्ष निकाला जा सकता है कि

BDC <∠CBD — (ii)

अब, समीकरण (i) और समीकरण (ii) को जोड़ने पर, हम प्राप्त करते हैं,

ADB + BDC <∠ABD + CBD

एडीसी <∠एबीसी

बी > डी

इसी प्रकार, त्रिभुज ABC में,

ACB <∠BAC — (iii) (चूंकि लंबी भुजा का सम्मुख कोण हमेशा बड़ा होता है)

अब, ADC में,

DCA < DAC - (iv)

समीकरण (iii) और समीकरण (iv) को जोड़ने पर हम प्राप्त करते हैं,

ACB + DCA <∠BAC+∠DAC

BCD <∠BAD

ए > सी

5. आकृति 7.51 में, PR > PQ और PS QPR को समद्विभाजित करते हैं। सिद्ध कीजिए कि PSR > PSQ।

समाधान:

यह दिया गया है कि PR > PQ और PS QPR . को समद्विभाजित करते हैं

अब हमें यह सिद्ध करना होगा कि कोण PSR, PSQ से छोटा है अर्थात PSR > PSQ

प्रमाण:

QPS = RPS - (ii) (जैसे PS ∠QPR को समद्विभाजित करता है)

PQR > PRQ — (i) (चूंकि PR > PQ बड़ी भुजा के सम्मुख कोण हमेशा बड़ा होता है)

PSR = PQR + QPS - (iii) (चूंकि त्रिभुज का बाह्य कोण सम्मुख अंतः कोणों के योग के बराबर होता है)

PSQ = ∠PRQ + ∠RPS — (iv) (क्योंकि त्रिभुज का बाह्य कोण सम्मुख अंतः कोणों के योग के बराबर होता है)

(i) और (ii) को जोड़कर

PQR +∠QPS> PRQ +∠RPS

इस प्रकार, (i), (ii), (iii) और (iv) से हमें प्राप्त होता है

PSR > PSQ

6. दर्शाइए कि किसी दिए गए बिंदु से खींचे गए सभी रेखाखंडों में से लंब रेखाखंड सबसे छोटा होता है।

समाधान:

सबसे पहले, मान लीजिए कि "l" एक रेखाखंड है और "B" उस पर स्थित एक बिंदु है। अब l पर लम्ब एक रेखा AB खींची गई है। साथ ही, मान लीजिए कि L पर कोई अन्य बिंदु C है। आरेख इस प्रकार होगा:

साबित करना:

एबी <एसी

प्रमाण:

ABC में, B = 90°

अब, हम जानते हैं कि

A+∠B+∠C = 180°

A +∠C = 90°

इसलिए, ∠C एक न्यून कोण होना चाहिए जिसका अर्थ है C < B

अत: AB <AC (क्योंकि बड़े कोण की सम्मुख भुजा सदैव बड़ी होती है)