NCERT Solutions for Class 9 Maths Exercise 10.6 Chapter 10  Circles  In Hindi Medium

अध्याय 10 - वृत्त अभ्यास 10.6

1. सिद्ध कीजिए कि दो प्रतिच्छेद करने वाले वृत्तों के केंद्रों की रेखा प्रतिच्छेदन के दो बिंदुओं पर समान कोण अंतरित करती है।

समाधान:

निम्नलिखित आरेख पर विचार करें

POO’ और QOO’ में

OP = OQ (वृत्त 1 की त्रिज्या)

O'P = O'Q (वृत्त 2 की त्रिज्या)

OO' = OO' (सामान्य भुजा)

तो, SSS सर्वांगसमता से, POO’ QOO’

इस प्रकार, OPO’ = OQO’ (सिद्ध)।

2. एक वृत्त की दो जीवाएँ AB और CD जिनकी लंबाई क्रमशः 5 सेमी और 11 सेमी है, एक दूसरे के समानांतर हैं और इसके केंद्र के विपरीत दिशा में हैं। यदि AB और CD के बीच की दूरी 6 है, तो वृत्त की त्रिज्या ज्ञात कीजिए।

समाधान:

यहाँ, OM AB और ON CD। खींचा जाता है और OB और OD को मिला दिया जाता है।

हम जानते हैं कि AB, BM को केंद्र से लम्ब के रूप में समद्विभाजित करता है, जीवा को समद्विभाजित करता है।

चूँकि AB = 5 इसलिए,

बीएम = एबी/2 = 5/2

इसी तरह, एनडी = सीडी/2 = 11/2

अब मान लीजिए ON x है।

तो, OM = 6−x।

MOB पर विचार करें,

OB2 = OM2+MB2

या,

NOD पर विचार करें,

OD2 = ON2 + ND2

या

हम जानते हैं, OB = OD (त्रिज्या)

समीकरण 1 और समीकरण 2 से हम प्राप्त करते हैं

अब, समीकरण (2) से हमारे पास है,

ओडी2= 12 +(121/4)

या ओडी = (5/2)×√5 सेमी

3. एक वृत्त की दो समांतर जीवाओं की लंबाई 6 सेमी और 8 सेमी है। यदि छोटी जीवा केंद्र से 4 सेमी की दूरी पर है, तो केंद्र से दूसरी जीवा की दूरी क्या है?

समाधान:

निम्नलिखित आरेख पर विचार करें

यहाँ AB और CD 2 समांतर जीवाएँ हैं। अब, OB और OD को मिलाएँ।

वृत्त के केंद्र से छोटी जीवा AB की दूरी = 4 सेमी

अतः OM = 4 सेमी

एमबी = एबी/2 = 3 सेमी

OMB . पर विचार करें

OB2 = OM2+MB2

या, ओबी = 5 सेमी

अब, OND पर विचार करें,

OB = OD = 5 (क्योंकि वे त्रिज्याएँ हैं)

एनडी = सीडी/2 = 4 सेमी

अब, OD2= ON2+ND2

या, ON = 3 सेमी.

4. मान लीजिए कि एक कोण ABC का शीर्ष एक वृत्त के बाहर स्थित है और कोण की भुजाएँ वृत्त के साथ समान जीवाओं AD और CE को प्रतिच्छेद करती हैं। सिद्ध कीजिए कि ABC, जीवाओं AC और DE द्वारा केंद्र में अंतरित कोणों के अंतर के आधे के बराबर है।

समाधान:

आरेख पर विचार करें

यहाँ AD = CE

हम जानते हैं कि त्रिभुज का कोई भी बहिष्कोण अंत: सम्मुख कोणों के योग के बराबर होता है।

इसलिए,

DAE = ∠ABC+∠AEC (ΔBAE में) ——————- (i)

DE केंद्र में DOE और वृत्त के शेष भाग में DAE को घटाता है।

इसलिए,

DAE = (½)∠DOE ——————- (ii)

इसी तरह, ∠AEC = (½)∠AOC ———————(iii)

अब, समीकरण (i), (ii), और (iii) से हम पाते हैं,

(½)∠DOE = ∠ABC+(½)∠AOC

या, ABC = (½)[∠DOE-∠AOC] (इसलिए सिद्ध)।

5. सिद्ध कीजिए कि किसी समचतुर्भुज की किसी भुजा को व्यास मानकर खींचा गया वृत्त उसके विकर्णों के प्रतिच्छेद बिंदु से होकर जाता है।

समाधान:

सिद्ध करना: Q को केंद्र मानकर खींचा गया एक वृत्त, A, B और O से होकर जाएगा (अर्थात QA = QB = QO)

चूँकि समचतुर्भुज की सभी भुजाएँ समान होती हैं,

एबी = डीसी

अब, दोनों तरफ से (½) गुणा करें

(½)एबी = (½)डीसी

अत: एक्यू = डीपी

बीक्यू = डीपी

चूँकि Q AB का मध्यबिंदु है,

एक्यू = बीक्यू

इसी तरह,

आरए = एसबी

पुन:, जब PQ को AD के समान्तर खींचा जाता है,

आरए = क्यूओ

अब, AQ = BQ और RA = QO के रूप में हम प्राप्त करते हैं,

क्यूए = क्यूबी = क्यूओ (इसलिए सिद्ध)।

6. ABCD एक समांतर चतुर्भुज है। ए, बी और सी के माध्यम से सर्कल ई पर सीडी (यदि आवश्यक हो तो उत्पादित) को छेड़छाड़ करता है। साबित करें कि एई, = एडी।

समाधान:

यहाँ ABCE एक चक्रीय चतुर्भुज है। एक चक्रीय चतुर्भुज में सम्मुख कोणों का योग 180° होता है।

अत: ∠AEC+∠CBA = 180°

चूँकि AEC और AED रैखिक युग्म हैं,

एईसी+∠एईडी = 180°

या, AED = ∠CBA … (1)

हम एक समांतर चतुर्भुज में जानते हैं; सम्मुख कोण बराबर होते हैं।

तो, ADE = ∠CBA … (2)

अब, समीकरणों (1) और (2) से हम प्राप्त करते हैं,

एईडी = एडीई

अब, AD और AE एक त्रिभुज की समान भुजाओं के सम्मुख कोण हैं,

AD = AE (साबित)।

7. AC और BD एक वृत्त की जीवाएँ हैं जो एक दूसरे को समद्विभाजित करती हैं। सिद्ध कीजिए कि (i) AC और BD व्यास हैं; (ii) ABCD एक आयत है।

समाधान:

यहाँ जीवाएँ AB और CD एक दूसरे को O पर काटती हैं।

AOB और COD पर विचार करें,

AOB = COD (वे शीर्षाभिमुख कोण हैं)

OB = OD (प्रश्न में दिया गया है)

OA = OC (प्रश्न में दिया गया है)

अतः, SAS सर्वांगसमता से, AOB COD

साथ ही, AB = CD (CPCT द्वारा)

इसी प्रकार, AOD COB

या, AD = CB (CPCT द्वारा)

चतुर्भुज ACBD में सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं।

अत: ACBD एक समांतर चतुर्भुज है।

हम जानते हैं कि समांतर चतुर्भुज के सम्मुख कोण बराबर होते हैं।

तो, A = ∠C

साथ ही, चूँकि ABCD एक चक्रीय चतुर्भुज है,

A+∠C = 180°

⇒∠A+∠A = 180°

या, A = 90°

चूँकि ACBD एक समांतर चतुर्भुज है और इसका एक आंतरिक कोण 90° का है, इसलिए यह एक आयत है।

A जीवा BD द्वारा बनाया गया कोण है। और चूंकि ∠A = 90° है, इसलिए BD वृत्त का व्यास होना चाहिए। इसी प्रकार, AC वृत्त का व्यास है।

8. एक त्रिभुज ABC के कोणों A, B और C के समद्विभाजक इसके परिवृत्त को क्रमशः D, E और F पर प्रतिच्छेद करते हैं। सिद्ध कीजिए कि त्रिभुज DEF के कोण 90°–(½)A, 90°–(½)B और 90°–(½)C हैं।

समाधान: 

निम्नलिखित आरेख पर विचार करें

यहाँ, ABC केंद्र O वाले एक वृत्त में अंकित है और A, B और ∠C के समद्विभाजक क्रमशः D, E और F पर परिवृत्त को काटते हैं।

अब, DE, EF और FD को मिलाइए

चूंकि एक ही खंड में कोण बराबर होते हैं, इसलिए,

EDA = ∠FCA ————- (i)

एफडीए = ∠ईबीए ————— (i)

समीकरण (i) और (ii) को जोड़ने पर, हम प्राप्त करते हैं,

FDA+∠EDA = ∠FCA+∠EBA

या, FDE = ∠FCA+∠EBA = (½)∠C+(½)∠B

हम जानते हैं, A +∠B+∠C = 180°

तो, ∠FDE = (½)[∠C+∠B] = (½)[180°-∠A]

FDE = [90-(∠A/2)]

एक समान तरीके से,

FED = [90° -(∠B/2)] °

और,

∠EFD = [90° -(∠C/2)] °

9. दो सर्वांगसम वृत्त एक दूसरे को बिंदु A और B पर प्रतिच्छेद करते हैं। A से होकर कोई भी रेखाखंड PAQ इस प्रकार खींचा जाता है कि P, Q दो वृत्तों पर स्थित हो। सिद्ध कीजिए कि BP = BQ।

समाधान:

आरेख होगा

यहाँ, APB = AQB (क्योंकि AB दोनों सर्वांगसम वृत्तों में उभयनिष्ठ जीवा है।)

अब, BPQ पर विचार करें,

APB = AQB

अत: त्रिभुज की समान भुजाओं के सम्मुख कोण।

∴ बीक्यू = बीपी

10. किसी त्रिभुज ABC में, यदि A का कोण समद्विभाजक और BC का लंब समद्विभाजक प्रतिच्छेद करता है, तो सिद्ध कीजिए कि वे त्रिभुज ABC के परिवृत्त पर प्रतिच्छेद करते हैं।

समाधान:

इस आरेख पर विचार करें

यहां, बीई और सीई में शामिल हों।

अब चूँकि AE, BAC का समद्विभाजक है,

BAE = CAE

भी,

चाप BE = चाप EC

इसका तात्पर्य है, जीवा BE = जीवा EC

अब, त्रिभुज ΔBDE और CDE पर विचार करें,

DE = DE (यह उभयनिष्ठ पक्ष है)

बीडी = सीडी (यह प्रश्न में दिया गया है)

बीई = सीई (पहले से ही सिद्ध)

अतः, SSS सर्वांगसमता से, BDE CDE।

अत: BDE = CDE

हम जानते हैं, BDE = ∠CDE = 180°

या, BDE = ∠CDE = 90°

DE BC (इसलिए सिद्ध)।