NCERT Solutions for Class 9 Maths  Chapter 10 Circles In Hindi Medium

  NCERT Solutions for Class 9 Maths Exercise 10.1 Chapter 10  Circles  In Hindi Medium

कक्षा 9 गणित अध्याय 10 - वृत्त अभ्यास 10.1

1. रिक्त स्थानों की पूर्ति कीजिए :

(i) एक वृत्त का केंद्र वृत्त के _________ में स्थित होता है। (बाहरी/आंतरिक)

(ii) एक बिंदु, जिसकी वृत्त के केंद्र से दूरी उसकी त्रिज्या से अधिक है, वृत्त के __________ में स्थित है। (बाहरी/आंतरिक)

(iii) किसी वृत्त की सबसे लंबी जीवा वृत्त की _________ होती है।

(iv) एक चाप एक ___________ होता है जब उसके सिरे एक व्यास के सिरे होते हैं।

(v) एक वृत्त का खण्ड एक चाप और वृत्त के _________ के बीच का क्षेत्र होता है।

(vi) एक वृत्त जिस तल पर वह स्थित है, उसे _________ भागों में विभाजित करता है।

समाधान:

(i) वृत्त का केंद्र वृत्त के आंतरिक भाग में स्थित होता है।

(ii) एक बिंदु, जिसकी वृत्त के केंद्र से दूरी उसकी त्रिज्या से अधिक है, वृत्त के बाहरी भाग में स्थित है।

(iii) वृत्त की सबसे लंबी जीवा वृत्त का व्यास है।

(iv) एक चाप एक अर्धवृत्त होता है जब उसके सिरे एक व्यास के सिरे होते हैं।

(v) वृत्त का खण्ड वृत्त के चाप और जीवा के बीच का क्षेत्र होता है।

(vi) एक वृत्त जिस तल पर वह स्थित है, उसे 3 (तीन) भागों में विभाजित करता है।

2. सही या गलत लिखें: अपने समाधान के लिए कारण बताएं।

(i) केंद्र को वृत्त के किसी बिंदु से मिलाने वाला रेखाखंड वृत्त की त्रिज्या है।

(ii) एक वृत्त में समान जीवाओं की केवल सीमित संख्या होती है।

(iii) यदि एक वृत्त को तीन बराबर चापों में विभाजित किया जाता है, तो प्रत्येक एक दीर्घ चाप होता है।

(iv) किसी वृत्त की एक जीवा, जो उसकी त्रिज्या से दोगुनी लंबी है, वृत्त का व्यास है।

(v) त्रिज्यखंड जीवा और उसके संगत चाप के बीच का क्षेत्र है।

(vi) एक वृत्त एक समतल आकृति है।

समाधान:

(i) सच। वृत्त के केंद्र से उसके किसी भी बिंदु तक खींचा गया कोई भी रेखाखंड वृत्त की त्रिज्या है और समान लंबाई का होगा।

(ii) झूठा। एक वृत्त की समान जीवाओं की अनंत संख्याएँ हो सकती हैं।

(iii) झूठा। असमान चापों के लिए, बड़े और छोटे चाप हो सकते हैं। अतः वृत्त पर समान चापों को दीर्घ चाप या लघु चाप नहीं कहा जा सकता।

(iv) सच। कोई भी जीवा जिसकी लंबाई वृत्त की त्रिज्या से दुगनी होती है, हमेशा वृत्त के केंद्र से होकर गुजरती है और इस प्रकार, इसे वृत्त का व्यास कहा जाता है।

(v) झूठा। एक त्रिज्यखंड चाप और वृत्त की दो त्रिज्याओं के बीच एक वृत्त का एक क्षेत्र है।

(vi) सच। एक वृत्त एक 2d आकृति है और इसे एक समतल पर खींचा जा सकता है।

NCERT Solutions for Class 9 Maths Exercise 10.2 Chapter 10  Circles  In Hindi Medium 

अध्याय 10 - वृत्त अभ्यास 10.2

1. याद रखें कि दो वृत्त सर्वांगसम होते हैं यदि उनकी त्रिज्याएँ समान हों। सिद्ध कीजिए कि सर्वांगसम वृत्तों की समान जीवाएँ उनके केन्द्रों पर समान कोण अंतरित करती हैं।

समाधान:

याद करने के लिए, एक वृत्त बिंदुओं का एक संग्रह है जिसका प्रत्येक बिंदु इसके केंद्र से समान दूरी पर है। अतः, दो वृत्त तभी सर्वांगसम हो सकते हैं जब दोनों वृत्तों के प्रत्येक बिंदु की दूरी केंद्र से बराबर हो।

प्रश्न के दूसरे भाग के लिए यह दिया गया है कि AB = CD अर्थात दो बराबर जीवाएँ।

अब, यह सिद्ध करना है कि कोण AOB कोण COD के बराबर होता है।

सबूत:

त्रिभुज AOB और COD पर विचार करें,

OA = OC और OB = OD (चूंकि वे वृत्त की त्रिज्याएँ हैं)

एबी = सीडी (जैसा कि प्रश्न में दिया गया है)

अतः, SSS सर्वांगसमता से, AOB COD

CPCT द्वारा हमारे पास है,

AOB = COD। (इसलिए सिद्ध)।

2. सिद्ध कीजिए कि यदि सर्वांगसम वृत्तों की जीवाएँ अपने केन्द्रों पर समान कोण अंतरित करती हैं, तो जीवाएँ बराबर होती हैं।

समाधान:

निम्नलिखित आरेख पर विचार करें-

यहाँ, यह दिया गया है कि AOB = COD अर्थात् वे बराबर कोण हैं।

अब, हमें यह सिद्ध करना होगा कि रेखाखंड AB और CD बराबर हैं अर्थात् AB = CD।

सबूत:

त्रिभुज AOB और COD में,

AOB = COD (जैसा कि प्रश्न में दिया गया है)

OA = OC और OB = OD (ये वृत्त की त्रिज्याएँ हैं)

अतः, SAS सर्वांगसमता से, AOB COD।

CPCT के नियम से, हमारे पास है

एबी = सीडी। (इसलिए सिद्ध)।

 NCERT Solutions for Class 9 Maths Exercise 10.3 Chapter 10  Circles  In Hindi Medium

अध्याय 10 - वृत्त अभ्यास 10.3

1. विभिन्न वृत्तों के जोड़े बनाएं। प्रत्येक जोड़ी में कितने अंक समान हैं? सामान्य बिंदुओं की अधिकतम संख्या क्या है?

समाधान:

इन दो वृत्तों में कोई भी बिंदु उभयनिष्ठ नहीं है।

यहाँ केवल एक बिंदु "P" उभयनिष्ठ है।

यहाँ भी, P उभयनिष्ठ बिंदु है

यहाँ दो बिंदु उभयनिष्ठ हैं जो P और Q हैं।

उपरोक्त वृत्त में कोई बिंदु उभयनिष्ठ नहीं है।

2. मान लीजिए कि आपको एक वृत्त दिया गया है। इसका केंद्र खोजने के लिए एक रचना दें।

समाधान:

वृत्त का केंद्र ज्ञात करने के लिए निर्माण चरण हैं:

चरण I: पहले एक वृत्त बनाएं।

चरण II: वृत्त में 2 जीवाएँ AB और CD खींचिए।

चरण III: AB और CD के लंब समद्विभाजक खींचिए।

चरण IV: दो लंबवत समद्विभाजकों को एक बिंदु पर जोड़ें। दो लंबवत समद्विभाजकों का यह प्रतिच्छेदन बिंदु वृत्त का केंद्र है।

3. यदि दो वृत्त दो बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करते हैं, तो सिद्ध कीजिए कि उनके केंद्र उभयनिष्ठ जीवा के लंब समद्विभाजक पर स्थित हैं।

समाधान:

यह दिया गया है कि दो वृत्त एक दूसरे को P और Q पर काटते हैं।

साबित करना:

OO', PQ का लम्ब समद्विभाजक है।

सबूत:

त्रिभुज POO’ और QOO’, SSS सर्वांगसमता से समरूप हैं, क्योंकि

ओपी = ओक्यू और ओ'पी = ओक्यू (क्योंकि वे भी त्रिज्या हैं)

OO' = OO' (यह उभयनिष्ठ पक्ष है)

तो, यह कहा जा सकता है कि POO’ QOO’

POO’ = QOO’ — (i)

SAS सर्वांगसमता से सम त्रिभुज POR और QOR समरूप हैं जैसे

ओपी = ओक्यू (त्रिज्या)

POR = QOR (जैसा कि POO’ = QOO’)

OR = OR (सामान्य भुजा)

तो, पोर QOR

PRO = QRO

साथ ही, हम जानते हैं कि

PRO+∠QRO = 180°

अत: PRO = ∠QRO = 180°/2 = 90°

अतः, OO' PQ का लम्ब समद्विभाजक है।

 NCERT Solutions for Class 9 Maths Exercise 10.4 Chapter 10  Circles  In Hindi Medium

अध्याय 10 - वृत्त अभ्यास 10.4

1. 5 सेमी और 3 सेमी त्रिज्या वाले दो वृत्त दो बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करते हैं और उनके केंद्रों के बीच की दूरी 4 सेमी है। उभयनिष्ठ जीवा की लंबाई ज्ञात कीजिए।

समाधान:

उभयनिष्ठ जीवा का लंब समद्विभाजक दोनों वृत्तों के केंद्रों से होकर गुजरता है।

चूँकि वृत्त दो बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करते हैं, हम उपरोक्त आकृति की रचना कर सकते हैं।

AB को उभयनिष्ठ जीवा और O और O' को वृत्तों के केंद्र मानें

ओ'ए = 5 सेमी

ओए = 3 सेमी

OO' = 4 सेमी [केंद्रों के बीच की दूरी 4 सेमी है]

चूंकि बड़े वृत्त की त्रिज्या दो केंद्रों के बीच की दूरी से अधिक है, हम जानते हैं कि छोटे वृत्त का केंद्र बड़े वृत्त के अंदर होता है

AB का लम्ब समद्विभाजक OO है।

ओए = ओबी = 3 सेमी

चूँकि O AB का मध्यबिंदु है

एबी = 3 सेमी + 3 सेमी = 6 सेमी

उभयनिष्ठ जीवा की लंबाई 6 सेमी . है

यह स्पष्ट है कि उभयनिष्ठ जीवा छोटे वृत्त का व्यास है

2. यदि एक वृत्त की दो समान जीवाएँ वृत्त के भीतर प्रतिच्छेद करती हैं, तो सिद्ध कीजिए कि एक जीवा के खण्ड दूसरी जीवा के संगत खण्डों के बराबर होते हैं।

समाधान:

मान लीजिए AB और CD दो बराबर डोरियाँ हैं (अर्थात AB = CD)। उपरोक्त प्रश्न में, यह दिया गया है कि AB और CD एक बिंदु, मान लीजिए, E पर प्रतिच्छेद करते हैं।

अब यह सिद्ध किया जाना है कि रेखाखंड AE = DE और CE = BE

निर्माण कदम:

चरण 1: वृत्त के केंद्र से AB पर एक लंब खींचिए, अर्थात OM AB

चरण 2: इसी तरह, सीडी पर ड्रा करें।

चरण 3: OE में शामिल हों।

अब, आरेख इस प्रकार है-

सबूत:

आरेख से, यह देखा गया है कि OM AB को समद्विभाजित करता है और इसलिए, OM AB

इसी प्रकार, ON CD को समद्विभाजित करता है और इसलिए, ON CD

यह ज्ञात है कि एबी = सीडी। इसलिए,

AM = एनडी - (i)

और एमबी = सीएन - (ii)

अब, त्रिभुज ΔOME और ONE RHS सर्वांगसमता से समरूप हैं, क्योंकि

OME = ONE (वे लंबवत हैं)

OE = OE (यह उभयनिष्ठ पक्ष है)

OM = ON (AB और CD बराबर हैं और इसलिए, वे केंद्र से समान दूरी पर हैं)

OME ONE

एमई = एन (सीपीसीटी द्वारा) - (iii)

अब, समीकरण (i) और (ii) से हम पाते हैं,

AM+ME = ND+EN

तो, एई = ईडी

अब समीकरण (ii) और (iii) से हम प्राप्त करते हैं,

एमबी-एमई = सीएन-ईएन

तो, EB = CE (इसलिए सिद्ध)।

3. यदि किसी वृत्त की दो समान जीवाएँ वृत्त के भीतर प्रतिच्छेद करती हैं, तो सिद्ध कीजिए कि प्रतिच्छेद बिंदु को केंद्र से मिलाने वाली रेखा जीवाओं के साथ समान कोण बनाती है।

समाधान:

प्रश्न से हम निम्नलिखित जानते हैं:

(i) AB और CD दो जीवाएँ हैं जो बिंदु E पर प्रतिच्छेद करती हैं।

(ii) PQ वृत्त का व्यास है।

(iii) एबी = सीडी।

अब, हमें यह सिद्ध करना होगा कि BEQ = CEQ

इसके लिए निम्नलिखित निर्माण करना होगा:

निर्माण:

OM AB और ON ⊥ D के रूप में दो लंब खींचे गए हैं। अब, OE को मिलाएँ। निर्मित आरेख इस प्रकार दिखेगा:

अब त्रिभुज OEM और OEN पर विचार करें।

यहां,

(i) OM = ON [चूंकि बराबर जीवाएं हमेशा केंद्र से समान दूरी पर होती हैं]

(ii) OE = OE [यह उभयनिष्ठ पक्ष है]

(iii) OME = ONE [ये लंबवत हैं]

अतः, RHS सर्वांगसमता मानदंड से, OEM OEN।

अत: सीपीसीटी नियम के अनुसार, MEO = NEO

BEQ = CEQ (इसलिए सिद्ध)।

4. यदि एक रेखा O केंद्र वाले दो संकेंद्रित वृत्तों (एक ही केंद्र वाले वृत्त) को A, B, C और D पर काटती है, तो सिद्ध कीजिए कि AB = CD है (देखिए आकृति 10.25)।

समाधान:

दी गई छवि इस प्रकार है:

सबसे पहले, O से AD तक एक रेखाखंड इस प्रकार खींचिए कि OM AD हो।

तो, अब OM, OM AD से AD को समद्विभाजित कर रहा है।

अत: AM = MD — (i)

साथ ही, चूँकि OM BC, OM, BC को समद्विभाजित करता है।

इसलिए, बीएम = एमसी - (ii)

समीकरण (i) और समीकरण (ii) से,

एएम-बीएम = एमडी-एमसी

एबी = सीडी

5. तीन लड़कियाँ रेशमा, सलमा और मनदीप एक पार्क में खींचे गए 5m त्रिज्या के वृत्त पर खड़े होकर एक खेल खेल रही हैं। रेशमा सलमा को गेंद फेंकती है, सलमा मनदीप को, मनदीप रेशमा को। यदि रेशमा और सलमा के बीच और सलमा और मनदीप के बीच की दूरी प्रत्येक 6 मी है, तो रेशमा और मनदीप के बीच की दूरी क्या है?

समाधान:

माना रेशमा, सलमा और मनदीप के पदों को क्रमशः A, B और C के रूप में दर्शाया गया है।

प्रश्न से, हम जानते हैं कि AB = BC = 6cm।

अत: वृत्त की त्रिज्या अर्थात् OA = 5cm

अब एक लंब BM AC खींचिए।

चूँकि AB = BC, ABC को एक समद्विबाहु त्रिभुज माना जा सकता है। M, AC का मध्य-बिंदु है। BM, AC का लम्ब समद्विभाजक है और इस प्रकार यह वृत्त के केंद्र से होकर गुजरता है।

अब,

चलो AM = y और

ओएम = एक्स

अत: BM = (5-x) होगा।

OAM में पाइथागोरस प्रमेय को लागू करने पर हम पाते हैं,

OA2 = OM2 + AM2

52 = x2 +y2 - (i)

पुनः, AMB में पाइथागोरस प्रमेय का प्रयोग करके,

AB2 = BM2 + AM2

62 = (5-x)2+y2 - (ii)

समीकरण (i) को समीकरण (ii) से घटाने पर, हम प्राप्त करते हैं

36-25 = (5-x)2 +y2 -x2-y2

अब इस समीकरण को हल करने पर हमें x का मान प्राप्त होता है

एक्स = 7/5

समीकरण (i) में x का मान रखने पर हमें प्राप्त होता है

y2 +(49/25) = 25

y2 = 25 - (49/25)

इसे हल करने पर हमें y का मान इस प्रकार प्राप्त होता है

वाई = 24/5

इस प्रकार,

एसी = 2×एएम

= 2×y

= 2×(24/5) एम

एसी = 9.6 वर्ग मीटर

अतः रेशमा और मनदीप के बीच की दूरी 9.6 मीटर है।

6. 20 मीटर त्रिज्या का एक वृत्ताकार पार्क एक कॉलोनी में स्थित है। तीन लड़के अंकुर, सैयद और डेविड इसकी सीमा पर समान दूरी पर बैठे हैं, प्रत्येक के हाथों में एक-दूसरे से बात करने के लिए एक खिलौना टेलीफोन है। प्रत्येक फोन की डोरी की लंबाई ज्ञात कीजिए।

समाधान:

सबसे पहले, दिए गए कथनों के अनुसार एक आरेख बनाएं। आरेख इस प्रकार दिखेगा।

यहां अंकुर, सैयद और डेविड के पदों को क्रमशः ए, बी और सी के रूप में दर्शाया गया है। चूँकि वे समान दूरी पर बैठे हैं, त्रिभुज ABC एक समबाहु त्रिभुज बनाएगा।

AD BC खींचा गया है। अब, AD ΔABC की माध्यिका है और यह केंद्र O से होकर गुजरती है।

साथ ही, O ABC का केन्द्रक है। OA त्रिभुज की त्रिज्या है।

ओए = 2/3 एडी

मान लीजिए किसी त्रिभुज की भुजा एक मीटर है तो BD = a/2 m है।

ABD में पाइथागोरस प्रमेय का प्रयोग करना,

AB2 = BD2+AD2

AD2 = AB2 -BD2

AD2 = a2 -(a/2)2

AD2 = 3a2/4

एडी = √3a/2

ओए = 2/3 एडी

20 मीटर = 2/3 × 3a/2

ए = 20√3 एम

अतः, खिलौने की डोरी की लंबाई 20√3 m है|

 NCERT Solutions for Class 9 Maths Exercise 10.5 Chapter 10  Circles  In Hindi Medium

अध्याय 10 - मंडलियां व्यायाम 10.5

1. आकृति 10.36 में, O केंद्र वाले एक वृत्त पर तीन बिंदु A, B और C इस प्रकार हैं कि ZBOC = 30° और ZAOB = 60° है। यदि चाप ABC के अलावा वृत्त पर D एक बिंदु है, तो ADC ज्ञात कीजिए।

समाधान:

दिया जाता है कि,

AOC = ∠AOB+∠BOC

अत: ∠AOC = 60°+30°

AOC = 90°

यह ज्ञात है कि एक चाप द्वारा वृत्त के केंद्र पर जो कोण बनाया जाता है, वह वृत्त के शेष भाग पर किसी भी बिंदु पर उस चाप द्वारा बनाए गए कोण का दोगुना होता है।

इसलिए,

∠ADC = (½)∠AOC

= (½)× 90° = 45°

2. एक वृत्त की जीवा वृत्त की त्रिज्या के बराबर होती है। जीवा द्वारा लघु चाप पर एक बिंदु पर और दीर्घ चाप के एक बिंदु पर भी अंतरित कोण ज्ञात कीजिए।

समाधान:

यहाँ जीवा AB वृत्त की त्रिज्या के बराबर है। उपरोक्त आरेख में, OA और OB वृत्त की दो त्रिज्याएँ हैं।

अब, OAB पर विचार करें। यहां,

AB = OA = OB = वृत्त की त्रिज्या।

अतः, यह कहा जा सकता है कि OAB की सभी भुजाएँ समान हैं और इस प्रकार, यह एक समबाहु त्रिभुज है।

AOC = 60°

और, ACB = ½ AOB

अत: ACB = ½ × 60° = 30°

अब चूँकि ACBD एक चक्रीय चतुर्भुज है,

∠ADB +∠ACB = 180° (चूंकि वे चक्रीय चतुर्भुज के सम्मुख कोण हैं)

अत: ADB = 180°-30° = 150°

अतः जीवा द्वारा लघु चाप पर एक बिंदु पर और दीर्घ चाप के एक बिंदु पर अंतरित कोण क्रमशः 150° और 30° हैं।

3. आकृति 10.37 में, PQR = 100°, जहाँ P, Q और R, O केंद्र वाले एक वृत्त पर स्थित बिंदु हैं। OPR ज्ञात कीजिए।

समाधान:

चूँकि एक चाप द्वारा वृत्त के केंद्र पर जो कोण अंतरित किया जाता है, वह वृत्त के शेष भाग पर किसी भी बिंदु पर उस चाप द्वारा बनाए गए कोण का दोगुना होता है।

अतः प्रतिवर्त POR = 2×∠PQR

हम कोण PQR के मान को 100° . के रूप में जानते हैं

अत: POR = 2×100° = 200°

पोर = 360°-200° = 160°

अब, ΔOPR में,

OP और OR वृत्त की त्रिज्याएँ हैं

अत: OP = OR

साथ ही, OPR = ORP

अब, हम जानते हैं कि त्रिभुज में कोणों का योग 180 डिग्री के बराबर होता है

इसलिए,

पोर+∠ओपीआर+∠ओआरपी = 180°

∠ओपीआर+∠ओपीआर = 180°-160°

OPR = ORP . के रूप में

2∠OPR = 20°

अत: ∠OPR = 10°

4. आकृति 10.38 में, ABC = 69°, ∠ACB = 31°, BDC ज्ञात कीजिए।

समाधान:

हम जानते हैं कि वृत्त के खंड में कोण बराबर होते हैं, इसलिए,

BAC = BDC

अब ABC में, सभी अंतः कोणों का योग 180° . होगा

अत: ∠ABC+∠BAC+∠ACB = 180°

अब, मान डालकर,

BAC = 180°-69°-31°

अत: BAC = 80°

BDC = 80°

5. आकृति 10.39 में, A, B, C और D एक वृत्त पर चार बिंदु हैं। AC और BD बिंदु E पर इस प्रकार प्रतिच्छेद करते हैं कि BEC = 130° और ECD = 20° है। बीएसी खोजें।

समाधान:

हम जानते हैं कि वृत्त के खंड में कोण बराबर होते हैं।

इसलिए,

बीएसी = सीडीई

अब, त्रिभुज के बाह्य कोणों के गुणधर्म का उपयोग करके

CDE में हम पाते हैं,

सीईबी = ∠ सीडीई+∠ डीसीई

हम जानते हैं कि DCE 20° . के बराबर होता है

अत: सीडीई = 110°

बीएसी और सीडीई बराबर हैं

बीएसी = 110°

6. ABCD एक चक्रीय चतुर्भुज है जिसके विकर्ण बिंदु E पर प्रतिच्छेद करते हैं। यदि DBC = 70°, BAC 30° है, तो BCD ज्ञात कीजिए। इसके अलावा, यदि AB = BC है, तो ECD ज्ञात कीजिए।

समाधान:

निम्नलिखित आरेख पर विचार करें।

कॉर्ड सीडी पर विचार करें,

हम जानते हैं कि एक ही खण्ड में कोण बराबर होते हैं।

अत: सीबीडी = सीएडी

सीएडी = 70°

अब, BAD कोणों BAC और CAD के योग के बराबर होगा।

तो, बीएडी = ∠ बीएसी + ∠ सीएडी

= 30°+70°

खराब = 100°

हम जानते हैं कि एक चक्रीय चतुर्भुज के सम्मुख कोणों का योग 180 डिग्री तक होता है।

इसलिए,

∠ बीसीडी+∠ बीएडी = 180°

यह ज्ञात है कि BAD = 100°

अत: BCD = 80°

अब ABC पर विचार करें।

यहाँ, यह दिया गया है कि AB = BC

साथ ही, BCA = CAB (ये त्रिभुज की बराबर भुजाओं के सम्मुख कोण होते हैं)

∠ बीसीए = 30°

साथ ही, BCD = 80°

∠ बीसीए +∠ एसीडी = 80°

अत: ACD = 50° और ∠ECD = 50°

7. यदि एक चक्रीय चतुर्भुज के विकर्ण चतुर्भुज के शीर्षों से होकर जाने वाले वृत्त के व्यास हैं, तो सिद्ध कीजिए कि यह एक आयत है।

समाधान:

O केंद्र वाले वृत्त के अंदर एक चक्रीय चतुर्भुज ABCD इस प्रकार खींचिए कि उसका विकर्ण AC और BD वृत्त के दो व्यास हों।

हम जानते हैं कि अर्धवृत्त में कोण बराबर होते हैं।

अत: ABC = BCD = CDA = DAB = 90°

इसलिए, चूंकि प्रत्येक आंतरिक कोण 90° है, यह कहा जा सकता है कि चतुर्भुज ABCD एक आयत है।

8. यदि किसी समलम्ब चतुर्भुज की गैर-समानांतर भुजाएँ बराबर हों, तो सिद्ध कीजिए कि वह चक्रीय है।

समाधान:

9. दो वृत्त दो बिंदुओं B और C पर प्रतिच्छेद करते हैं। B से होकर वृत्तों को क्रमशः A, D और P, Q पर प्रतिच्छेद करने के लिए दो रेखाखंड ABD और PBQ खींचे जाते हैं (देखिए आकृति 10.40)। सिद्ध कीजिए कि ACP = QCD।

समाधान:

निर्माण:

जीवाओं AP और DQ को मिलाइए।

जीवा AP के लिए, हम जानते हैं कि एक ही खंड में कोण बराबर होते हैं।

अतः, PBA = ACP — (i)

इसी प्रकार जीवा DQ के लिए,

डीबीक्यू = ∠ क्यूसीडी - (ii)

यह ज्ञात है कि ABD और PBQ दो रेखाखंड हैं जो B पर प्रतिच्छेद करते हैं।

B पर शीर्षाभिमुख कोण बराबर होंगे।

पीबीए = डीबीक्यू - (iii)

समीकरण (i), समीकरण (ii) और समीकरण (iii) से हम पाते हैं,

एसीपी = ∠ क्यूसीडी

10. यदि किसी त्रिभुज की दो भुजाओं को व्यास मानकर वृत्त खींचे जाते हैं, तो सिद्ध कीजिए कि इन वृत्तों का प्रतिच्छेद बिंदु तीसरी भुजा पर स्थित है।

समाधान:

पहले एक त्रिभुज ABC और फिर दो वृत्त खींचिए जिनका व्यास क्रमशः AB और AC है।

अब हमें यह सिद्ध करना होगा कि D, BC पर स्थित है और BDC एक सीधी रेखा है।

सबूत:

हम जानते हैं कि अर्धवृत्त में कोण बराबर होते हैं

अत: ADB = ADC = 90°

अत: ADB+∠ ADC = 180°

BDC एक सीधी रेखा है।

अतः, यह कहा जा सकता है कि D रेखा BC पर स्थित है।

11. ABC और ADC उभयनिष्ठ कर्ण AC वाले दो समकोण त्रिभुज हैं। सिद्ध कीजिए कि CAD = CBD।

समाधान:

हम जानते हैं कि AC सार्व कर्ण है और B = D = 90°।

अब, यह सिद्ध करना होगा कि CAD = CBD

चूँकि ABC और ∠ ADC 90° हैं, इसलिए यह कहा जा सकता है कि वे अर्धवृत्त में स्थित हैं।

तो, त्रिभुज ABC और ADC अर्धवृत्त में हैं और बिंदु A, B, C और D चक्रीय हैं।

अत: CD, O केंद्र वाले वृत्त की जीवा है।

हम जानते हैं कि वृत्त के एक ही खण्ड में कोण बराबर होते हैं।

सीएडी = सीबीडी

12. सिद्ध कीजिए कि एक चक्रीय समांतर चतुर्भुज एक आयत होता है।

समाधान:

यह दिया गया है कि ABCD एक चक्रीय समांतर चतुर्भुज है और हमें यह सिद्ध करना होगा कि ABCD एक आयत है।

सबूत:

अत: ABCD एक आयत है।

 NCERT Solutions for Class 9 Maths Exercise 10.6 Chapter 10  Circles  In Hindi Medium

अध्याय 10 - वृत्त अभ्यास 10.6

1. सिद्ध कीजिए कि दो प्रतिच्छेद करने वाले वृत्तों के केंद्रों की रेखा प्रतिच्छेदन के दो बिंदुओं पर समान कोण अंतरित करती है।

समाधान:

निम्नलिखित आरेख पर विचार करें

POO’ और QOO’ में

OP = OQ (वृत्त 1 की त्रिज्या)

O'P = O'Q (वृत्त 2 की त्रिज्या)

OO' = OO' (सामान्य भुजा)

तो, SSS सर्वांगसमता से, POO’ QOO’

इस प्रकार, OPO’ = OQO’ (सिद्ध)।

2. एक वृत्त की दो जीवाएँ AB और CD जिनकी लंबाई क्रमशः 5 सेमी और 11 सेमी है, एक दूसरे के समानांतर हैं और इसके केंद्र के विपरीत दिशा में हैं। यदि AB और CD के बीच की दूरी 6 है, तो वृत्त की त्रिज्या ज्ञात कीजिए।

समाधान:

यहाँ, OM AB और ON CD। खींचा जाता है और OB और OD को मिला दिया जाता है।

हम जानते हैं कि AB, BM को केंद्र से लम्ब के रूप में समद्विभाजित करता है, जीवा को समद्विभाजित करता है।

चूँकि AB = 5 इसलिए,

बीएम = एबी/2 = 5/2

इसी तरह, एनडी = सीडी/2 = 11/2

अब मान लीजिए ON x है।

तो, OM = 6−x।

MOB पर विचार करें,

OB2 = OM2+MB2

या,

NOD पर विचार करें,

OD2 = ON2 + ND2

या

हम जानते हैं, OB = OD (त्रिज्या)

समीकरण 1 और समीकरण 2 से हम प्राप्त करते हैं

अब, समीकरण (2) से हमारे पास है,

ओडी2= 12 +(121/4)

या ओडी = (5/2)×√5 सेमी

3. एक वृत्त की दो समांतर जीवाओं की लंबाई 6 सेमी और 8 सेमी है। यदि छोटी जीवा केंद्र से 4 सेमी की दूरी पर है, तो केंद्र से दूसरी जीवा की दूरी क्या है?

समाधान:

निम्नलिखित आरेख पर विचार करें

यहाँ AB और CD 2 समांतर जीवाएँ हैं। अब, OB और OD को मिलाएँ।

वृत्त के केंद्र से छोटी जीवा AB की दूरी = 4 सेमी

अतः OM = 4 सेमी

एमबी = एबी/2 = 3 सेमी

OMB . पर विचार करें

OB2 = OM2+MB2

या, ओबी = 5 सेमी

अब, OND पर विचार करें,

OB = OD = 5 (क्योंकि वे त्रिज्याएँ हैं)

एनडी = सीडी/2 = 4 सेमी

अब, OD2= ON2+ND2

या, ON = 3 सेमी.

4. मान लीजिए कि एक कोण ABC का शीर्ष एक वृत्त के बाहर स्थित है और कोण की भुजाएँ वृत्त के साथ समान जीवाओं AD और CE को प्रतिच्छेद करती हैं। सिद्ध कीजिए कि ABC, जीवाओं AC और DE द्वारा केंद्र में अंतरित कोणों के अंतर के आधे के बराबर है।

समाधान:

आरेख पर विचार करें

यहाँ AD = CE

हम जानते हैं कि त्रिभुज का कोई भी बहिष्कोण अंत: सम्मुख कोणों के योग के बराबर होता है।

इसलिए,

DAE = ∠ABC+∠AEC (ΔBAE में) ——————- (i)

DE केंद्र में DOE और वृत्त के शेष भाग में DAE को घटाता है।

इसलिए,

DAE = (½)∠DOE ——————- (ii)

इसी तरह, ∠AEC = (½)∠AOC ———————(iii)

अब, समीकरण (i), (ii), और (iii) से हम पाते हैं,

(½)∠DOE = ∠ABC+(½)∠AOC

या, ABC = (½)[∠DOE-∠AOC] (इसलिए सिद्ध)।

5. सिद्ध कीजिए कि किसी समचतुर्भुज की किसी भुजा को व्यास मानकर खींचा गया वृत्त उसके विकर्णों के प्रतिच्छेद बिंदु से होकर जाता है।

समाधान:

सिद्ध करना: Q को केंद्र मानकर खींचा गया एक वृत्त, A, B और O से होकर जाएगा (अर्थात QA = QB = QO)

चूँकि समचतुर्भुज की सभी भुजाएँ समान होती हैं,

एबी = डीसी

अब, दोनों तरफ से (½) गुणा करें

(½)एबी = (½)डीसी

अत: एक्यू = डीपी

बीक्यू = डीपी

चूँकि Q AB का मध्यबिंदु है,

एक्यू = बीक्यू

इसी तरह,

आरए = एसबी

पुन:, जब PQ को AD के समान्तर खींचा जाता है,

आरए = क्यूओ

अब, AQ = BQ और RA = QO के रूप में हम प्राप्त करते हैं,

क्यूए = क्यूबी = क्यूओ (इसलिए सिद्ध)।

6. ABCD एक समांतर चतुर्भुज है। ए, बी और सी के माध्यम से सर्कल ई पर सीडी (यदि आवश्यक हो तो उत्पादित) को छेड़छाड़ करता है। साबित करें कि एई, = एडी।

समाधान:

यहाँ ABCE एक चक्रीय चतुर्भुज है। एक चक्रीय चतुर्भुज में सम्मुख कोणों का योग 180° होता है।

अत: ∠AEC+∠CBA = 180°

चूँकि AEC और AED रैखिक युग्म हैं,

एईसी+∠एईडी = 180°

या, AED = ∠CBA … (1)

हम एक समांतर चतुर्भुज में जानते हैं; सम्मुख कोण बराबर होते हैं।

तो, ADE = ∠CBA … (2)

अब, समीकरणों (1) और (2) से हम प्राप्त करते हैं,

एईडी = एडीई

अब, AD और AE एक त्रिभुज की समान भुजाओं के सम्मुख कोण हैं,

AD = AE (साबित)।

7. AC और BD एक वृत्त की जीवाएँ हैं जो एक दूसरे को समद्विभाजित करती हैं। सिद्ध कीजिए कि (i) AC और BD व्यास हैं; (ii) ABCD एक आयत है।

समाधान:

यहाँ जीवाएँ AB और CD एक दूसरे को O पर काटती हैं।

AOB और COD पर विचार करें,

AOB = COD (वे शीर्षाभिमुख कोण हैं)

OB = OD (प्रश्न में दिया गया है)

OA = OC (प्रश्न में दिया गया है)

अतः, SAS सर्वांगसमता से, AOB COD

साथ ही, AB = CD (CPCT द्वारा)

इसी प्रकार, AOD COB

या, AD = CB (CPCT द्वारा)

चतुर्भुज ACBD में सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं।

अत: ACBD एक समांतर चतुर्भुज है।

हम जानते हैं कि समांतर चतुर्भुज के सम्मुख कोण बराबर होते हैं।

तो, A = ∠C

साथ ही, चूँकि ABCD एक चक्रीय चतुर्भुज है,

A+∠C = 180°

⇒∠A+∠A = 180°

या, A = 90°

चूँकि ACBD एक समांतर चतुर्भुज है और इसका एक आंतरिक कोण 90° का है, इसलिए यह एक आयत है।

A जीवा BD द्वारा बनाया गया कोण है। और चूंकि ∠A = 90° है, इसलिए BD वृत्त का व्यास होना चाहिए। इसी प्रकार, AC वृत्त का व्यास है।

8. एक त्रिभुज ABC के कोणों A, B और C के समद्विभाजक इसके परिवृत्त को क्रमशः D, E और F पर प्रतिच्छेद करते हैं। सिद्ध कीजिए कि त्रिभुज DEF के कोण 90°–(½)A, 90°–(½)B और 90°–(½)C हैं।

समाधान: 

निम्नलिखित आरेख पर विचार करें

यहाँ, ABC केंद्र O वाले एक वृत्त में अंकित है और A, B और ∠C के समद्विभाजक क्रमशः D, E और F पर परिवृत्त को काटते हैं।

अब, DE, EF और FD को मिलाइए

चूंकि एक ही खंड में कोण बराबर होते हैं, इसलिए,

EDA = ∠FCA ————- (i)

एफडीए = ∠ईबीए ————— (i)

समीकरण (i) और (ii) को जोड़ने पर, हम प्राप्त करते हैं,

FDA+∠EDA = ∠FCA+∠EBA

या, FDE = ∠FCA+∠EBA = (½)∠C+(½)∠B

हम जानते हैं, A +∠B+∠C = 180°

तो, ∠FDE = (½)[∠C+∠B] = (½)[180°-∠A]

FDE = [90-(∠A/2)]

एक समान तरीके से,

FED = [90° -(∠B/2)] °

और,

∠EFD = [90° -(∠C/2)] °

9. दो सर्वांगसम वृत्त एक दूसरे को बिंदु A और B पर प्रतिच्छेद करते हैं। A से होकर कोई भी रेखाखंड PAQ इस प्रकार खींचा जाता है कि P, Q दो वृत्तों पर स्थित हो। सिद्ध कीजिए कि BP = BQ।

समाधान:

आरेख होगा

यहाँ, APB = AQB (क्योंकि AB दोनों सर्वांगसम वृत्तों में उभयनिष्ठ जीवा है।)

अब, BPQ पर विचार करें,

APB = AQB

अत: त्रिभुज की समान भुजाओं के सम्मुख कोण।

∴ बीक्यू = बीपी

10. किसी त्रिभुज ABC में, यदि A का कोण समद्विभाजक और BC का लंब समद्विभाजक प्रतिच्छेद करता है, तो सिद्ध कीजिए कि वे त्रिभुज ABC के परिवृत्त पर प्रतिच्छेद करते हैं।

समाधान:

इस आरेख पर विचार करें

यहां, बीई और सीई में शामिल हों।

अब चूँकि AE, BAC का समद्विभाजक है,

BAE = CAE

भी,

चाप BE = चाप EC

इसका तात्पर्य है, जीवा BE = जीवा EC

अब, त्रिभुज ΔBDE और CDE पर विचार करें,

DE = DE (यह उभयनिष्ठ पक्ष है)

बीडी = सीडी (यह प्रश्न में दिया गया है)

बीई = सीई (पहले से ही सिद्ध)

अतः, SSS सर्वांगसमता से, BDE CDE।

अत: BDE = CDE

हम जानते हैं, BDE = ∠CDE = 180°

या, BDE = ∠CDE = 90°

DE BC (इसलिए सिद्ध)।