NCERT Solutions for Class 9 Maths Chapter 9 Exercise 9.3 Area of Parallelograms and Triangles In Hindi Medium

अध्याय 9 - समांतर चतुर्भुजों और त्रिभुजों का क्षेत्रफल अभ्यास 9.3

1. आकृति 9.23 में, E एक AABC की माध्यिका AD पर स्थित कोई बिंदु है। दर्शाइए कि ar (ABE) = ar (ACE) है।

समाधान:

दिया गया,

AD ABC की माध्यिका है। , यह ABC को समान क्षेत्रफल वाले दो त्रिभुजों में विभाजित करेगा।

ar(ABD) = ar(ACD) — (i)

भी,

ED ABC की माध्यिका है।

ar(EBD) = ar(ECD) — (ii)

घटाना (ii) (i) से,

एआर (एबीडी) - एआर (ईबीडी) = एआर (एसीडी) - एआर (ईसीडी)

ar(ABE) = ar(ACE)

2. एक त्रिभुज ABC में, E माध्यिका AD का मध्य-बिंदु है। दर्शाइए कि ar(BED) = ar(ABC) है।

समाधान:

ar(BED) = (1/2)×BD×DE

चूँकि E, AD का मध्य-बिन्दु है,

एई = डीई

चूँकि AD त्रिभुज ABC की भुजा BC पर माध्यिका है,

बीडी = डीसी

,

डीई = (1/2) एडी - (i)

बीडी = (1/2)बीसी - (ii)

(i) और (ii) से, हम प्राप्त करते हैं,

एआर(बीईडी) = (1/2)×(1/2)बीसी × (1/2)एडी

ar(BED) = (1/2)×(1/2)ar(ABC)

एआर (बीईडी) = ¼ एआर (एबीसी)

3. दर्शाइए कि एक समान्तर चतुर्भुज के विकर्ण उसे समान क्षेत्रफल वाले चार त्रिभुजों में विभाजित करते हैं।

समाधान:

O, AC और BD का मध्य बिंदु है। (के विकर्ण एक दूसरे को समद्विभाजित करते हैं)

ABC में, BO माध्यिका है।

ar(AOB) = ar(BOC) — (i)

भी,

ΔBCD में, CO माध्यिका है।

ar(BOC) = ar(COD) — (ii)

ΔACD में, OD माध्यिका है।

ar(AOD) = ar(COD) — (iii)

ABD में, AO माध्यिका है।

ar(AOD) = ar(AOB) — (iv)

समीकरणों (i), (ii), (iii) और (iv) से, हम प्राप्त करते हैं,

ar(BOC) = ar(COD) = ar(AOD) = ar(AOB)

इस प्रकार, हम पाते हैं, एक समांतर चतुर्भुज के विकर्ण इसे समान क्षेत्रफल वाले चार त्रिभुजों में विभाजित करते हैं।

4. आकृति 9.24 में, ABC और ABD एक ही आधार AB पर स्थित दो त्रिभुज हैं। यदि रेखाखंड CD को AB द्वारा O पर समद्विभाजित किया जाता है, तो दर्शाइए कि: ar(ABC) = ar(ABD)।

समाधान:

ABC में, AO माध्यिका है। (CD को AB द्वारा O पर समद्विभाजित किया गया है)

ar(AOC) = ar(AOD) — (i)

भी,

BCD, BO माध्यिका है। (CD को AB द्वारा O पर समद्विभाजित किया गया है)

ar(BOC) = ar(BOD) — (ii)

(i) और (ii) जोड़ना,

हम पाते हैं,

ar(AOC)+ar(BOC) = ar(AOD)+ar(BOD)

ar(ABC) = ar(ABD)

5. D, E और F क्रमशः एक ABC की भुजाओं BC, CA और AB के मध्य-बिंदु हैं।

बताते हैं कि

(i) BDEF एक समांतर चतुर्भुज है।

(ii) ar(DEF) = ar(ABC)

(iii) एआर (बीडीईएफ) = ½ एआर (एबीसी)

समाधान:

(i) ABC में,

ईएफ || BC और EF = ½ BC (मध्य बिंदु प्रमेय द्वारा)

भी,

BD = ½ BC (D मध्य बिंदु है)

तो, बीडी = ईएफ

भी,

BF और DE एक दूसरे के समानांतर और बराबर हैं।

, विपरीत भुजाओं का युग्म लंबाई में बराबर और एक दूसरे के समानांतर है।

BDEF एक समांतर चतुर्भुज है।

(ii) (i) के परिणाम से आगे बढ़ते हुए,

BDEF, DCEF, AFDE समांतर चतुर्भुज हैं।

एक समांतर चतुर्भुज का विकर्ण इसे समान क्षेत्रफल वाले दो त्रिभुजों में विभाजित करता है।

ar(ΔBFD) = ar(ΔDEF) (समानांतर चतुर्भुज BDEF के लिए) - (i)

भी,

ar(ΔAFE) = ar(ΔDEF) (समानांतर चतुर्भुज DCEF के लिए) - (ii)

ar(ΔCDE) = ar(ΔDEF) (समानांतर चतुर्भुज AFDE के लिए) - (iii)

(i), (ii) और (iii) से

ar(ΔBFD) = ar(ΔAFE) = ar(ΔCDE) = ar(ΔDEF)

ar(ΔBFD) +ar(ΔAFE) +ar(ΔCDE) +ar(ΔDEF) = ar(ΔABC)

⇒ 4 ar(ΔDEF) = ar(ΔABC)

ar(DEF) = ar(ABC)

(iii) क्षेत्रफल (समांतर चतुर्भुज BDEF) = ar(ΔDEF) +ar(ΔBDE)

ar(समांतर चतुर्भुज BDEF) = ar(ΔDEF) +ar(ΔDEF)

ar(समांतर चतुर्भुज BDEF) = 2× ar(ΔDEF)

ar(समांतर चतुर्भुज BDEF) = 2× ar(ΔABC)

ar(समांतर चतुर्भुज BDEF) = ½ ar(ΔABC)

6. आकृति 9.25 में, चतुर्भुज ABCD के विकर्ण AC और BD, O पर इस प्रकार प्रतिच्छेद करते हैं कि OB = OD है।

यदि AB = CD है, तो दर्शाइए कि:

(i) ar (DOC) = ar (AOB)

(ii) ar (DCB) = ar (ACB)

(iii) डीए || CB या ABCD एक समांतर चतुर्भुज है।

[संकेत : D और B से AC पर लम्ब खींचिए।]

समाधान:

दिया गया,

ओबी = ओडी और एबी = सीडी

निर्माण,

DE AC और BF AC खींचे गए हैं।

सबूत:

(i) DOE और BOF में,

DEO = ∠BFO (लंबवत)

DOE = BOF (ऊर्ध्वाधर सम्मुख कोण)

ओडी = ओबी (दिया गया)

, DOE BOF AAS सर्वांगसमता शर्त द्वारा।

, डीई = बीएफ (सीपीसीटी द्वारा) - (i)

भी, ar(ΔDOE) = ar(ΔBOF) (सर्वांगसम त्रिभुज) - (ii)

अब,

DEC और BFA में,

DEC = ∠BFA (लंबवत)

सीडी = एबी (दिया गया)

डीई = बीएफ (i से)

, ΔDEC BFA RHS सर्वांगसमता स्थिति द्वारा।

∴, ar(ΔDEC) = ar(ΔBFA) (सर्वांगसम त्रिभुज) - (iii)

(ii) और (iii) जोड़ना,

ar(ΔDOE) + ar(ΔDEC) = ar(ΔBOF) + ar(ΔBFA)

एआर (डीओसी) = एआर (एओबी)

(ii) ar(ΔDOC) = ar(ΔAOB)

LHS और RHS में ar(ΔOCB) जोड़ने पर, हम प्राप्त करते हैं,

ar(ΔDOC) + ar(ΔOCB) = ar(ΔAOB) + ar(ΔOCB)

ar(ΔDCB) = ar(ΔACB)

(iii) जब दो त्रिभुजों का आधार और क्षेत्रफल समान हों, तो त्रिभुज समान समानांतर रेखाओं के बीच में होंगे

ar(ΔDCB) = ar(ΔACB)

डीए || ईसा पूर्व - (iv)

चतुर्भुज ABCD के लिए, सम्मुख भुजाओं का एक युग्म बराबर (AB = CD) होता है और सम्मुख भुजाओं का दूसरा युग्म समांतर होता है।

, ABCD समांतर चतुर्भुज है।

 7. ABC की भुजाओं AB और AC पर क्रमशः D और E ऐसे बिंदु हैं कि ar(DBC) = ar(EBC) हैं। सिद्ध कीजिए कि DE || ई.पू.

समाधान:

 

DBC और EBC एक ही आधार BC पर हैं और इनका क्षेत्रफल भी बराबर है।

, वे समान समानांतर रेखाओं के बीच स्थित होंगे।

, डे || ई.पू.

8. XY एक त्रिभुज ABC की भुजा BC के समांतर एक रेखा है। अगर बीई || एसी और सीएफ || AB, XY से क्रमशः E और F पर मिलता है, दर्शाइए कि

ar(ΔABE) = ar(ΔACF)

समाधान:

दिया गया,

एक्सवाई || बीसी, बीई || एसी और सीएफ || अब

जाहिर करना,

ar(ΔABE) = ar(ΔACF)

सबूत:

बीसीवाईई एक है || gm ABE और ||gm BCYE एक ही आधार BE पर और समान समानांतर रेखाओं BE और AC के बीच स्थित हैं।

, एआर (एबीई) = ½ एआर (बीसीवाईई) … (1)

अब,

सीएफ़ || एबी और एक्सवाई || ईसा पूर्व

सीएफ || एबी और एक्सएफ || ईसा पूर्व

बीसीएफएक्स एक है || जीएम

ACF और || . के रूप में gm BCFX एक ही आधार CF पर और समान समानांतर AB और FC के बीच में हैं।

,ar (ΔACF)= ½ ar (BCFX)… (2)

परंतु,

||जीएम बीसीएफएक्स और || gm BCYE एक ही आधार BC पर और समान समानांतर BC और EF के बीच स्थित हैं।

, एआर (बीसीएफएक्स) = एआर (बीसीवाईई) … (3)

(1) , (2) और (3) से, हम प्राप्त करते हैं

ar (ΔABE) = ar(ΔACF)

एआर (बीईवाईसी) = एआर (बीएक्सएफसी)

चूँकि समांतर चतुर्भुज एक ही आधार BC पर होते हैं और एक ही समान्तर रेखाओं EF और BC के बीच में होते हैं-(iii)

भी,

AEB और ||gm BEYC एक ही आधार BE पर हैं और एक ही समानांतर BE और AC के बीच में हैं।

ar(△AEB) = ½ ar(BEYC) — (iv)

इसी तरह,

△एसीएफ और || एक ही आधार CF पर gm BXFC और समान समानांतर CF और AB के बीच।

ar(△ ACF) = ½ ar(BXFC) — (v)

(iii), (iv) और (v) से,

ar(△ABE) = ar(△ACF)

9. एक समांतर चतुर्भुज ABCD की भुजा AB किसी भी बिंदु P तक बढ़ाई जाती है। A से होकर CP के समानांतर एक रेखा Q पर निर्मित CB से मिलती है और फिर समांतर चतुर्भुज PBQR पूरा होता है (देखिए आकृति 9.26)। बताते हैं कि

एआर (एबीसीडी) = एआर (पीबीक्यूआर)।

[संकेत : AC और PQ को मिलाइए। अब ar(ACQ) और ar(APQ) की तुलना करें।]

समाधान:

एसी और पीक्यू जुड़ गए हैं।

Ar(△ACQ) = ar(△APQ) (एक ही आधार AQ पर और समान समानांतर रेखाओं AQ और CP के बीच)

ar(△ACQ)-ar(△ABQ) = ar(△APQ)-ar(△ABQ)

ar(△ABC) = ar(△QBP) — (i)

AC और QP विकर्ण ABCD और PBQR हैं।

,ar(ABC) = ½ ar(ABCD) — (ii)

ar(QBP) = ½ ar(PBQR) — (iii)

(ii) और (ii) से,

½ ar(ABCD) = ½ ar(PBQR)

ar(ABCD) = ar(PBQR)

10. AB के साथ समलंब ABCD के विकर्ण AC और BD || DC एक दूसरे को O पर काटती है। सिद्ध कीजिए कि ar (AOD) = ar (BOC) है।

समाधान:

DAC और DBC एक ही आधार DC पर और समान समांतर रेखाओं AB और CD के बीच स्थित हैं।

Ar(△DAC) = ar(△DBC)

ar(△DAC) - ar(△DOC) = ar(△DBC) - ar(△DOC)

ar(△AOD) = ar(△BOC)

11. आकृति 9.27 में, ABCDE एक पंचभुज है। B से होकर AC के समांतर एक रेखा F पर उत्पन्न DC से मिलती है।

बताते हैं कि

(i) ar(△ACB) = ar(△ACF)

(ii) एआर (एईडीएफ) = एआर (एबीसीडीई)

समाधान:

1. △ACB और ACF एक ही आधार AC पर और एक ही समान्तर रेखाओं AC और BF के बीच स्थित हैं।

ar(△ACB) = ar(△ ACF)

1. ar(△ACB) = ar(△ACF)

ar(△ACB)+ar(ACDE) = ar(△ACF)+ar(ACDE)

एआर (एबीसीडीई) = एआर (एईडीएफ)

12. एक ग्रामीण इतवारी के पास एक चतुर्भुज के आकार का एक भूखंड है। गांव की ग्राम पंचायत ने उनके भूखंड के कुछ हिस्से को एक कोने से एक स्वास्थ्य केंद्र बनाने के लिए लेने का फैसला किया। इतवारी उपरोक्त प्रस्ताव को इस शर्त के साथ स्वीकार करता है कि उसे उसके प्लाट से सटी हुई भूमि के एवज में समान मात्रा में भूमि दी जानी चाहिए ताकि एक त्रिभुजाकार प्लाट बनाया जा सके। बताएं कि इस प्रस्ताव को कैसे लागू किया जाएगा।

समाधान:

मान लीजिए ABCD एक चतुर्भुज के आकार की भूमि का प्लॉट है।

निर्मित करना,

विकर्ण BD को मिलाइए।

BD के समांतर AE खींचिए।

BE को मिलाइए, जो AD को O पर काटती है।

हम पाते हैं,

BCE मूल क्षेत्र का आकार है

AOB स्वास्थ्य केंद्र के निर्माण का क्षेत्र है।

DEO भूखंड से जुड़ी भूमि है।

साबित करना:

ar(△DEO) = ar(△AOB)

सबूत:

DEB और DAB एक ही आधार BD पर, समान समांतर रेखाओं BD और AE के बीच स्थित हैं।

Ar(△DEB) = ar(△DAB)

ar(△DEB) – ar△DOB) = ar(△DAB) – ar(△DOB)

ar(△DEO) = ar(△AOB)

13. ABCD एक समलम्ब है जिसमें AB || डीसी. AC के समांतर एक रेखा AB को X पर और BC को Y पर प्रतिच्छेद करती है। सिद्ध कीजिए कि ar (△ADX) = ar (△ACY) है।

[संकेत: सीएक्स में शामिल हों।]

समाधान:

दिया गया,

ABCD एक समलम्ब है जिसमें AB || डीसी.

एक्सवाई || एसी

निर्माण,

सीएक्स में शामिल हों

साबित करना,

एआर (एडीएक्स) = एआर (एसीवाई)

सबूत:

ar(△ADX) = ar(△AXC) - (i) (चूंकि वे एक ही आधार AX पर हैं और एक ही समानांतर AB और CD के बीच में हैं)

भी,

ar(△ AXC)=ar(△ ACY) - (ii) (चूंकि वे एक ही आधार AC पर हैं और एक ही समानांतर XY और AC के बीच में हैं।)

(i) और (ii),

ar(△ADX) = ar(△ACY)

14. चित्र 9.28 में, एपी || बीक्यू || करोड़। सिद्ध कीजिए कि ar(△AQC) = ar(△PBR)।

समाधान:

दिया गया,

एपी || बीक्यू || करोड़

साबित करना,

एआर (एक्यूसी) = एआर (पीबीआर)

सबूत:

ar(△AQB) = ar(△PBQ) - (i) (चूंकि वे एक ही आधार BQ पर हैं और समान समानांतर AP और BQ के बीच हैं।)

भी,

ar(△BQC) = ar(△BQR) - (ii) (चूंकि वे एक ही आधार BQ पर हैं और एक ही समानांतर BQ और CR के बीच हैं।)

(i) और (ii) जोड़ना,

ar(△AQB)+ar(△BQC) = ar(△PBQ)+ar(△BQR)

ar(△ AQC) = ar(△ PBR)

15. एक चतुर्भुज ABCD के विकर्ण AC और BD, O पर इस प्रकार प्रतिच्छेद करते हैं कि ar(△AOD) = ar(△BOC)। सिद्ध कीजिए कि ABCD एक समलंब है।

समाधान:

दिया गया,

ar(△AOD) = ar(△BOC)

साबित करना,

ABCD एक समलंब है।

सबूत:

ar(△AOD) = ar(△BOC)

ar(△AOD) + ar(△AOB) = ar(△BOC)+ar(△AOB)

ar(△ADB) = ar(△ACB)

ADB और ACB के क्षेत्रफल बराबर हैं। , उन्हें समान समानांतर रेखाओं के बीच स्थित होना चाहिए।

, एबी सीडी

, ABCD एक समलंब है।

16. आकृति 9.29 में, ar(DRC) = ar(DPC) और ar(BDP) = ar(ARC)। दर्शाइए कि दोनों चतुर्भुज ABCD और DCPR समलंब हैं।

समाधान:

दिया गया,

ar(△DRC) = ar(△DPC)

ar(△BDP) = ar(△ARC)

साबित करना,

ABCD और DCPR समलंब हैं।

सबूत:

ar(△BDP) = ar(△ARC)

ar(△BDP) – ar(△DPC) = ar(△DRC)

ar(△BDC) = ar(△ADC)

, ar(△BDC) और ar(△ADC) समान समानांतर रेखाओं के बीच में स्थित हैं।

, एबी सीडी

ABCD एक समलम्ब है।

इसी तरह,

ar(△DRC) = ar(△DPC)।

, ar(△DRC) और ar(△DPC) समान समानांतर रेखाओं के बीच में स्थित हैं।

, डीसी पीआर

, DCPR एक समलंब है।