NCERT Solutions for Class 9 Maths Chapter 9 Exercise 9.2 Area of Parallelograms and Triangles In Hindi Medium

अध्याय 9 समांतर चतुर्भुजों और त्रिभुजों का क्षेत्रफल अभ्यास 9.2

1. आकृति 9.15 में, ABCD एक समांतर चतुर्भुज है, AE DC और CF ⊥ AD। यदि AB = 16 सेमी, AE = 8 सेमी और CF = 10 सेमी है, तो AD ज्ञात कीजिए।

समाधान:

दिया गया,

AB = CD = 16 सेमी (एक समांतर चतुर्भुज की विपरीत भुजाएँ)

CF = 10 सेमी और AE = 8 सेमी

अब,

समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल = आधार × ऊँचाई

= सीडी×एई = एडी×सीएफ

⇒ 16×8 = AD×10

एडी = 128/10 सेमी

एडी = 12.8 सेमी

2. यदि एक समांतर चतुर्भुज ABCD की भुजाओं के क्रमशः E, F, G और H क्रमशः मध्य-बिंदु हैं, तो दर्शाइए कि ar (EFGH) = 1/2 ar(ABCD) है। 

समाधान:

दिया गया,

E, F, G और H एक समांतर चतुर्भुज ABCD की भुजाओं के मध्य-बिंदु क्रमशः हैं।

साबित करना,

एआर (ईएफजीएच) = ½ एआर (एबीसीडी)

निर्माण,

एच और एफ शामिल हो गए हैं।

सबूत,

एडी || BC और AD = BC (एक समांतर चतुर्भुज की विपरीत भुजाएँ)

½ AD = ½ BC

भी,

आह || बीएफ और और डीएच || सीएफ़

AH = BF और DH = CF (H और F मध्य बिंदु हैं)

, ABFH और HFCD समांतर चतुर्भुज हैं।

अब,

हम जानते हैं कि ΔEFH और समांतर चतुर्भुज ABFH, दोनों एक ही FH पर उभयनिष्ठ आधार पर स्थित हैं और समान समानांतर रेखाओं AB और HF के बीच में स्थित हैं।

EFH का क्षेत्रफल = ABFH का ½ क्षेत्रफल - (i)

और, GHF का क्षेत्रफल = ½ HFCD का क्षेत्रफल - (ii)

(i) और (ii) जोड़ना,

EFH का क्षेत्रफल + ΔGHF का क्षेत्रफल = ½ ABFH का क्षेत्रफल + HFCD का ½ क्षेत्रफल

EFGH का क्षेत्रफल = ABFH का क्षेत्रफल

ar (EFGH) = ½ ar (ABCD)

3. P और Q समांतर चतुर्भुज ABCD की भुजाओं DC और AD पर स्थित कोई दो बिंदु हैं।

दिखाएँ कि ar(APB) = ar(BQC)।

समाधान:

APB और समांतर चतुर्भुज ABCD एक ही आधार AB पर और समान समानांतर AB और DC के बीच में स्थित हैं।

ar(ΔAPB) = ½ ar(समांतर चतुर्भुज ABCD) — (i)

इसी तरह,

ar(ΔBQC) = ½ ar(समांतर चतुर्भुज ABCD) - (ii)

(i) और (ii) से, हमारे पास है

ar(ΔAPB) = ar(ΔBQC)

4. आकृति 9.16 में, P एक समांतर चतुर्भुज ABCD के अभ्यंतर में स्थित एक बिंदु है। बताते हैं कि

(i) ar(APB) + ar(PCD) = ½ ar(ABCD)

(ii) ar(APD) + ar(PBC) = ar(APB) + ar(PCD)

[संकेत : P से होकर AB के समांतर एक रेखा खींचिए।]

समाधान:

(i) AB के समानांतर एक रेखा GH खींची जाती है जो P से होकर गुजरती है।

एक समांतर चतुर्भुज में,

एबी || जीएच (निर्माण द्वारा) - (i)

,

एडी || बीसी एजी || बीएच - (ii)

समीकरणों (i) और (ii) से,

ABHG एक समांतर चतुर्भुज है।

अब,

APB और समांतर चतुर्भुज ABHG एक ही आधार AB पर और समान समानांतर रेखाओं AB और GH के बीच में स्थित हैं।

ar(ΔAPB) = ½ ar(ABHG) — (iii)

भी,

PCD और समांतर चतुर्भुज CDGH एक ही आधार CD पर और समान समानांतर रेखाओं CD और GH के बीच में स्थित हैं।

ar(ΔPCD) = ½ ar(CDGH) — (iv)

समीकरण (iii) और (iv) जोड़ना,

ar(ΔAPB) + ar(ΔPCD) = ½ [ar(ABHG)+ar(CDGH)]

ar(APB)+ ar(PCD) = ½ ar(ABCD)

(ii) P से होकर जाने वाली AD के समानांतर एक रेखा EF खींची गई है।

समांतर चतुर्भुज में,

एडी || ईएफ (निर्माण द्वारा) - (i)

,

एबी || सीडी एई || डीएफ - (ii)

समीकरणों (i) और (ii) से,

AEDF एक समांतर चतुर्भुज है।

अब,

ΔAPD और समांतर चतुर्भुज AEFD एक ही आधार AD पर और समान समानांतर रेखाओं AD और EF के बीच में स्थित हैं।

ar(ΔAPD) = ½ ar(AEFD) — (iii)

भी,

PBC और समांतर चतुर्भुज BCFE एक ही आधार BC पर और समान समानांतर रेखाओं BC और EF के बीच में स्थित हैं।

ar(ΔPBC) = ½ ar(BCFE) — (iv)

समीकरण (iii) और (iv) जोड़ना,

ar(ΔAPD)+ ar(ΔPBC) = ½ {ar(AEFD)+ar(BCFE)}

ar(APD)+ar(PBC) = ar(APB)+ar(PCD)

5. आकृति 9.17 में, PQRS और ABRS समांतर चतुर्भुज हैं और X भुजा BR पर स्थित कोई बिंदु है। बताते हैं कि

(i) ar (PQRS) = ar (ABRS)

(ii) ar (AXS) = ½ ar (PQRS)

समाधान:

(i) समांतर चतुर्भुज PQRS और ABRS एक ही आधार SR और समान समानांतर रेखाओं SR और PB के बीच में स्थित हैं।

ar(PQRS) = ar(ABRS) — (i)

(ii) AXS और समांतर चतुर्भुज ABRS एक ही आधार AS और समान समानांतर रेखाओं AS और BR के बीच में स्थित हैं।

ar(ΔAXS) = ½ ar(ABRS) — (ii)

(i) और (ii) से हम पाते हैं कि,

ar(ΔAXS) = ½ ar(PQRS)

6. एक किसान के पास एक समांतर चतुर्भुज PQRS के रूप में एक खेत था। उसने RS पर कोई बिंदु A लिया और उसे बिंदु P और Q से मिला दिया। खेतों को कितने भागों में बांटा गया है? इन भागों के आकार क्या हैं? किसान गेहूँ और दालों को खेत के बराबर भागों में अलग-अलग बोना चाहता है। उसे कैसे करना चाहिए?

समाधान:

मैदान को त्रिकोणीय आकार में तीन भागों में बांटा गया है।

माना, PSA, PAQ और QAR त्रिभुज हैं।

(ΔPSA + PAQ + QAR) का क्षेत्रफल = PQRS का क्षेत्रफल — (i)

PAQ का क्षेत्रफल = PQRS का ½ क्षेत्रफल - (ii)

यहाँ, त्रिभुज और समांतर चतुर्भुज एक ही आधार पर और एक ही समानांतर रेखाओं के बीच में हैं।

(i) और (ii) से,

ΔPSA का क्षेत्रफल + QAR का क्षेत्रफल = ½ PQRS का क्षेत्रफल - (iii)

(ii) और (iii) से, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि,

किसान को PAQ या PSA और QAR दोनों में गेहूं या दाल बोना चाहिए।