NCERT Solutions for Class 9 Maths Chapter 8 Quadrilateral Exercise 8.1 In Hindi Medium

कक्षा 9 अध्याय 8 चतुर्भुज अभ्यास 8.1

1. चतुर्भुज के कोण 3:5:9:13 के अनुपात में हैं। चतुर्भुज के सभी कोण ज्ञात कीजिए।

समाधान:

माना कोणों के बीच उभयनिष्ठ अनुपात = x है।

हम जानते हैं कि चतुर्भुज के अंतः कोणों का योग = 360°

अभी,

3x+5x+9x+13x = 360°

30x = 360°

x = 12°

चतुर्भुज के कोण हैं:

3x = 3×12° = 36°

5x = 5×12° = 60°

9x = 9×12° = 108°

13x = 13×12° = 156°

2. यदि किसी समांतर चतुर्भुज के विकर्ण बराबर हों, तो दर्शाइए कि वह एक आयत है।

समाधान:

मान लीजिये,

एसी = बीडी

यह दर्शाने के लिए कि यदि समांतर चतुर्भुज के विकर्ण बराबर हों तो ABCD एक आयत है

ABCD को एक आयत दिखाने के लिए हमें यह सिद्ध करना होगा कि इसका एक आंतरिक कोण समकोण है।

प्रमाण,

ABC और BAD में,

एबी = बीए (सामान्य)

BC = AD (एक समांतर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं)

एसी = बीडी (दिया गया)

इसलिए, ABC BAD [SSS सर्वांगसमता]

∠A = ∠B [सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग]

भी,

A+∠B = 180° ( तिर्यक रेखा के एक ही तरफ के कोणों का योग)

⇒ 2∠A = 180°

A = 90° = B

अत: ABCD एक आयत है।

इसलिए सिद्ध।

3. दर्शाइए कि यदि किसी चतुर्भुज के विकर्ण परस्पर समकोण पर समद्विभाजित करते हैं, तो वह समचतुर्भुज होता है।

समाधान:

मान लीजिए ABCD एक चतुर्भुज है जिसके विकर्ण परस्पर समकोण पर समद्विभाजित करते हैं।

मान लीजिये,

ओए = ओसी

ओबी = ओडी

और AOB = ∠BOC = ∠OCD = ∠ODA = 90°

उसे दिखाने के लिए,

यदि किसी चतुर्भुज के विकर्ण परस्पर समकोण पर समद्विभाजित करते हैं, तो वह समचतुर्भुज होता है।

अर्थात्, हमें सिद्ध करना है कि ABCD समांतर चतुर्भुज है और AB = BC = CD = AD

प्रमाण,

AOB और COB में,

OA = OC (दिया गया)

AOB = COB (एक समांतर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं)

ओबी = ओबी (सामान्य)

इसलिए, AOB COB [एसएएस सर्वांगसमता]

अत: AB = BC [CPCT]

इसी प्रकार हम सिद्ध कर सकते हैं,

बीसी = सीडी

सीडी = एडी

एडी = एबी

, एबी = बीसी = सीडी = एडी

एक चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं इसलिए ABCD एक समांतर चतुर्भुज है।

, ABCD समचतुर्भुज है क्योंकि यह एक समांतर चतुर्भुज है जिसके विकर्ण समकोण पर प्रतिच्छेद करते हैं।

इसलिए सिद्ध।

4. दर्शाइए कि एक वर्ग के विकर्ण बराबर होते हैं और एक दूसरे को समकोण पर समद्विभाजित करते हैं।

समाधान:

मान लीजिए ABCD एक वर्ग है और इसके विकर्ण AC और BD एक दूसरे को O पर काटते हैं।

उसे दिखाने के लिए,

एसी = बीडी

एओ = ओसी

और AOB = 90°

प्रमाण,

ABC और BAD में,

एबी = बीए (सामान्य)

ABC = ∠BAD = 90°

बीसी = एडी (दिया गया)

ABC BAD [एसएएस सर्वांगसमता]

इस प्रकार,

एसी = बीडी [सीपीसीटी]

विकर्ण बराबर हैं।

अभी,

AOB और COD में,

BAO = DCO (वैकल्पिक आंतरिक कोण)

AOB = COD (ऊर्ध्वाधर विपरीत)

एबी = सीडी (दिया गया)

, AOB ≅ COD [AAS सर्वांगसमता]

इस प्रकार,

एओ = सीओ [सीपीसीटी]।

, विकर्ण एक दूसरे को समद्विभाजित करते हैं।

अभी,

AOB और COB में,

ओबी = ओबी (दिया गया)

AO = CO (विकर्ण समद्विभाजित हैं)

AB = CB (वर्ग की भुजाएँ)

, ΔAOB COB [SSS सर्वांगसमता]

साथ ही, AOB = COB

AOB+∠COB = 180° (रैखिक युग्म)

अत: AOB = ∠COB = 90°

, विकर्ण एक दूसरे को समकोण पर समद्विभाजित करते हैं

5. दर्शाइए कि यदि किसी चतुर्भुज के विकर्ण बराबर हों और एक-दूसरे को समकोण पर समद्विभाजित करें, तो वह एक वर्ग होता है।

समाधान:

मान लीजिये,

मान लीजिए ABCD एक चतुर्भुज है और इसके विकर्ण AC और BD एक दूसरे को O पर समकोण पर समद्विभाजित करते हैं।

यह साबित करने के लिए,

चतुर्भुज ABCD एक वर्ग है।

प्रमाण,

AOB और COD में,

AO = CO (विकर्ण एक दूसरे को समद्विभाजित करते हैं)

AOB = COD (ऊर्ध्वाधर विपरीत)

OB = OD (विकर्ण एक दूसरे को समद्विभाजित करते हैं)

, AOB COD [एसएएस सर्वांगसमता]

इस प्रकार,

एबी = सीडी [सीपीसीटी] - (i)

भी,

OAB = OCD (वैकल्पिक आंतरिक कोण)

⇒ एबी || सीडी

अभी,

AOD और COD में,

AO = CO (विकर्ण एक दूसरे को समद्विभाजित करते हैं)

AOD = COD (ऊर्ध्वाधर विपरीत)

ओडी = ओडी (सामान्य)

, AOD COD [एसएएस सर्वांगसमता]

इस प्रकार,

एडी = सीडी [सीपीसीटी] - (ii)

भी,

एडी = बीसी और एडी = सीडी

AD = BC = CD = AB - (ii)

ADC = BCD [CPCT]

और ADC+∠BCD = 180° (सह-आंतरिक कोण)

⇒ 2∠ADC = 180°

⇒∠ADC = 90° — (iii)

आंतरिक कोणों में से एक समकोण है।

अत: (i), (ii) और (iii) से दिया गया चतुर्भुज ABCD एक वर्ग है।

इसलिए सिद्ध।

6. एक समांतर चतुर्भुज ABCD का विकर्ण AC, AA को समद्विभाजित करता है (देखिए आकृति 8.19)। बताते हैं कि

(i) यह C को भी समद्विभाजित करता है,

(ii) ABCD एक समचतुर्भुज है।

समाधान:

(i) ADC और ΔCBA में,

AD = CB (एक समांतर चतुर्भुज की विपरीत भुजाएँ)

डीसी = बीए (एक समांतर चतुर्भुज के विपरीत पक्ष)

एसी = सीए (सामान्य पक्ष)

, ΔADC CBA [SSS सर्वांगसमता]

इस प्रकार,

ACD = CAB बटा CPCT

और CAB = CAD (दिया है)

∠ACD = BCA

इस प्रकार,

AC, C को भी समद्विभाजित करता है।

(ii) ∠ACD = CAD (ऊपर सिद्ध)

AD = CD (एक त्रिभुज के समान कोणों की सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं)

साथ ही, AB = BC = CD = DA (एक समांतर चतुर्भुज की विपरीत भुजाएँ)

इस प्रकार,

ABCD एक समचतुर्भुज है।

7. ABCD एक समचतुर्भुज है। दर्शाइए कि विकर्ण AC, A और C को समद्विभाजित करता है और विकर्ण BD, B और D को भी समद्विभाजित करता है।

समाधान:

मान लीजिये,

ABCD एक समचतुर्भुज है।

AC और BD इसके विकर्ण हैं।

प्रमाण,

AD = CD (एक समचतुर्भुज की भुजाएँ)

DAC = DCA (किसी त्रिभुज की समान भुजाओं के सम्मुख कोण बराबर होते हैं।)

भी, एबी || सीडी

DAC = BCA (वैकल्पिक आंतरिक कोण)

DCA = BCA

, AC C को समद्विभाजित करता है।

इसी तरह,

हम सिद्ध कर सकते हैं कि विकर्ण AC, A को समद्विभाजित करता है।

उसी विधि का पालन करते हुए,

हम सिद्ध कर सकते हैं कि विकर्ण BD B और D को समद्विभाजित करता है।

8. ABCD एक आयत है जिसमें विकर्ण AC ∠A और C को समद्विभाजित करता है। बताते हैं कि:

(i) ABCD एक वर्ग है

(ii) विकर्ण BD B और D को समद्विभाजित करता है।

समाधान:

(i) ∠DAC = DCA (AC A और C दोनों को समद्विभाजित करता है)

AD = CD (एक त्रिभुज के समान कोणों की सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं)

साथ ही, CD = AB (एक आयत की सम्मुख भुजाएँ)

,एबी = बीसी = सीडी = एडी

अत: ABCD एक वर्ग है।

(ii) BCD में,

बीसी = सीडी

CDB = CBD (समान भुजाओं के सम्मुख कोण बराबर होते हैं)

साथ ही, CDB = ABD (वैकल्पिक आंतरिक कोण)

CBD = ABD

इस प्रकार, BD B . को समद्विभाजित करता है

अभी,

CBD = ADB

सीडीबी = एडीबी

इस प्रकार, BD B और D को भी समद्विभाजित करता है।

9. समांतर चतुर्भुज ABCD में विकर्ण BD पर दो बिंदु P और Q इस प्रकार लिए गए हैं कि DP = BQ (देखिए आकृति 8.20)। बताते हैं कि:

(i) APD CQB

(ii) एपी = सीक्यू

(iii) AQB CPD

(iv) एक्यू = सीपी

(v) APCQ एक समांतर चतुर्भुज है

समाधान:

(i) APD और CQB में,

डीपी = बीक्यू (दिया गया)

ADP = CBQ (वैकल्पिक आंतरिक कोण)

AD = BC (एक समांतर चतुर्भुज की विपरीत भुजाएँ)

अत: APD CQB [एसएएस सर्वांगसमता]

(ii) AP = CQ CPCT द्वारा APD ΔCQB के रूप में।

(iii) ΔAQB और ΔCPD में,

बीक्यू = डीपी (दिया गया)

ABQ = CDP (वैकल्पिक आंतरिक कोण)

AB = CD (एक समांतर चतुर्भुज की विपरीत भुजाएँ)

अत: AQB CPD [SAS सर्वांगसमता]

(iv) AQB CPD . के रूप में

एक्यू = सीपी [सीपीसीटी]

(v) प्रश्नों (ii) और (iv) से यह स्पष्ट है कि APCQ की विपरीत भुजाएँ समान हैं और साथ ही समान और विपरीत कोण भी हैं। , APCQ एक समांतर चतुर्भुज है।

10. ABCD एक समांतर चतुर्भुज है और AP और CQ शीर्ष A और C से विकर्ण BD पर लंबवत हैं (देखिए आकृति 8.21)। बताते हैं कि

(i) APB CQD

(ii) एपी = सीक्यू

समाधान:

(i) APB और ΔCQD में,

ABP = CDQ (वैकल्पिक आंतरिक कोण)

APB = CQD (= 90o क्योंकि AP और CQ लंबवत हैं)

AB = CD (ABCD एक समांतर चतुर्भुज है)

, ΔAPB ΔCQD [AAS सर्वांगसमता]

(ii) APB CQD के रूप में।

, एपी = सीक्यू [सीपीसीटी]

11. ABC और DEF में, AB = DE, AB || डीई, बीसी = ईएफ और बीसी || ईएफ. शीर्ष A, B और C को क्रमशः शीर्ष D, E और F से जोड़ा गया है (देखिए आकृति 8.22)।

बताते हैं कि

(i) चतुर्भुज ABED एक समांतर चतुर्भुज है

(ii) चतुर्भुज बीईएफसी एक समांतर चतुर्भुज है

(iii) एडी || CF और AD = CF

(iv) चतुर्भुज ACFD एक समांतर चतुर्भुज है

(v) एसी = डीएफ

(vi) ABC DEF।

समाधान:

(i) एबी = डीई और एबी || डीई (दिया गया)

एक चतुर्भुज की दो सम्मुख भुजाएँ एक-दूसरे के बराबर और समानांतर होती हैं।

अत: चतुर्भुज ABED एक समांतर चतुर्भुज है

(ii) पुन: BC = EF और BC || ईएफ.

इस प्रकार, चतुर्भुज BEFC एक समांतर चतुर्भुज है।

(iii) चूँकि ABED और BEFC समांतर चतुर्भुज हैं।

AD = BE और BE = CF (एक समांतर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं)

, एडी = सीएफ।

इसके अलावा, एडी || बीई और बीई || CF (एक समांतर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ समान्तर होती हैं)

, एडी || सीएफ़

(iv) AD और CF चतुर्भुज ACFD के विपरीत पक्ष हैं जो एक दूसरे के बराबर और समानांतर हैं। इस प्रकार, यह एक समांतर चतुर्भुज है।

(v) चूँकि ACFD एक समांतर चतुर्भुज है

एसी || डीएफ और एसी = डीएफ

(vi) ABC और DEF में,

एबी = डीई (दिया गया)

बीसी = ईएफ (दिया गया)

एसी = डीएफ (एक समांतर चतुर्भुज के विपरीत पक्ष)

, ΔABC DEF [SSS सर्वांगसमता]

12. ABCD एक समलंब है जिसमें AB || CD और AD = BC (देखिए आकृति 8.23)। बताते हैं कि

(i) A = B

(ii) C = D

(iii) ABC BAD

(iv) विकर्ण AC = विकर्ण BD

[संकेत : AB को बढ़ाइए और C से होकर DA के समांतर एक रेखा खींचिए जो AB को E पर काटती है।]

समाधान:

निर्माण करना: DA के समानांतर C से होकर एक रेखा खींचिए जो AB को E पर काटती है।

(i) सीई = एडी (एक समांतर चतुर्भुज के विपरीत पक्ष)

एडी = बीसी (दिया गया)

, ईसा पूर्व = सीई

सीबीई = सीईबी

भी,

A+∠CBE = 180° (एक ही तिर्यक रेखा के कोण और CBE = CEB)

B +∠CBE = 180° (रैखिक युग्म के रूप में)

ए = बी

(ii) ∠A+∠D = ∠B+∠C = 180° (एक ही तिर्यक रेखा के कोण)

A+∠D = ∠A+∠C (∠A = B)

डी = सी

(iii) ABC और BAD में,

एबी = एबी (सामान्य)

DBA = CBA

एडी = बीसी (दिया गया)

, ABC BAD [एसएएस सर्वांगसमता]

(iv) विकर्ण AC = विकर्ण BD CPCT द्वारा ABC BAD के रूप में।