NCERT Solutions for Class 9 Maths Exercise 13.1 Chapter 13 – Surface Areas and Volumes  In Hindi Medium

अध्याय 13 - पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन अभ्यास 13.1

1. एक प्लास्टिक का डिब्बा 1.5 मीटर लंबा, 1.25 मीटर चौड़ा और 65 सेंटीमीटर गहरा बनाया जाना है। इसे शीर्ष पर खुला होना है। प्लास्टिक शीट की मोटाई को नजरअंदाज करते हुए, निर्धारित करें:

(i) बॉक्स बनाने के लिए आवश्यक शीट का क्षेत्रफल।

(ii) इसके लिए शीट की लागत, यदि 1m2 मापने वाली शीट की लागत रु। 20.

समाधान:

दिया गया है: बॉक्स की लंबाई (l) = 1.5m

बॉक्स की चौड़ाई (b) = 1.25 m

बॉक्स की गहराई (h) = 0.65m

(i) बॉक्स को सबसे ऊपर खोलना है

आवश्यक शीट का क्षेत्रफल।

= 2एलएच+2बीएच+एलबी

= [2×1.5×0.65+2×1.25×0.65+1.5×1.25]एम2

= (1.95+1.625+1.875) एम2 = 5.45 एम2

(ii) शीट प्रति एम2 क्षेत्र की लागत = 20 रुपये।

5.45 वर्गमीटर क्षेत्रफल वाली शीट का मूल्य = रु (5.45×20)

= 109 रुपये।

2. एक कमरे की लंबाई, चौड़ाई और ऊंचाई क्रमशः 5 मीटर, 4 मीटर और 3 मीटर है। 7.50 रुपये प्रति वर्ग मीटर की दर से कमरे की दीवारों और छत की सफेदी का खर्च ज्ञात कीजिए।

समाधान:

कमरे की लंबाई (l) = 5m

चौड़ाई (b) कमरे की = 4m

कमरे की ऊँचाई (h) = 3m

यह देखा जा सकता है कि कमरे की चार दीवारों और छत को सफेदी से धोना है।

सफेद धुलाई का कुल क्षेत्रफल = दीवारों का क्षेत्रफल + कमरे की छत का क्षेत्रफल

= 2एलएच+2बीएच+एलबी

= [2×5×3+2×4×3+5×4]

= (30+24+20)

= 74

क्षेत्रफल = 74 m2

भी,

सफेद धुलाई प्रति एम2 क्षेत्र की लागत = रु.7.50 (दिया गया)

सफेदी की लागत 74 वर्गमीटर क्षेत्रफल = रु. (74×7.50)

= रु. 555

3. एक आयताकार हॉल के फर्श का परिमाप 250 मीटर है। यदि चार दीवारों को 10 रुपये प्रति वर्ग मीटर की दर से रंगने की लागत 15000 रुपये है, तो हॉल की ऊंचाई पाएं।

[संकेत: चारों दीवारों का क्षेत्रफल = पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल।]

समाधान:

माना आयताकार हॉल की लंबाई, चौड़ाई और ऊंचाई क्रमशः l, b और h है।

चार दीवारों का क्षेत्रफल = 2lh+2bh

= 2(एल+बी)एच

हॉल के फर्श का परिमाप = 2(l+b)

= 250 वर्ग मीटर

चार दीवारों का क्षेत्रफल = 2(l+b) h = 250h m2

प्रति वर्ग मीटर क्षेत्र में पेंटिंग की लागत = रु.10

250h वर्ग मीटर क्षेत्र को पेंट करने की लागत = रुपये (250h×10) = रुपये 2500h

हालांकि, यह दिया जाता है कि दीवारों को पेंट करने की लागत रु। 15000.

15000 = 2500h

या एच = 6

अत: हॉल की ऊंचाई 6 मीटर है।

4. एक निश्चित कंटेनर में पेंट 9.375 एम 2 के बराबर क्षेत्र को पेंट करने के लिए पर्याप्त है। इस कंटेनर से 22.5 सेमी × 10 सेमी × 7.5 सेमी आयाम की कितनी ईंटें पेंट की जा सकती हैं?

समाधान:

एक ईंट का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2(lb +bh+lb)

= [2(22.5×10+10×7.5+22.5×7.5)] सेमी2

= 2(225+75+168.75) सेमी2

= (2×468.75) सेमी2

= 937.5 सेमी2

मान लीजिए n ईंटों को कंटेनर के पेंट से रंगा जा सकता है

n ईंटों का क्षेत्रफल = (n×937.5) cm2 = 937.5n cm2

दिए गए निर्देशों के अनुसार, बर्तन के रंग से रंगा जा सकने वाला क्षेत्रफल = 9.375 m2 = 93750 cm2

तो, हमारे पास, 93750 = 937.5n

एन = 100

इसलिए, कंटेनर के पेंट से 100 ईंटों को पेंट किया जा सकता है।

5. एक घनाकार डिब्बे का प्रत्येक किनारा 10 सेमी और दूसरा घनाकार डिब्बा 12.5 सेमी लंबा, 10 सेमी चौड़ा और 8 सेमी ऊंचा है।

(i) किस डिब्बे का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल अधिक है और कितना है?

(ii) किस डिब्बे का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल कम है और कितना है?

समाधान:

प्रश्न कथन से, हमारे पास है

घन का किनारा = 10cm

लंबाई, एल = 12.5 सेमी

चौड़ाई, ख = 10 सेमी

ऊंचाई, एच = 8 सेमी

(i) दोनों आकृतियों के लिए पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए

क्यूबिकल बॉक्स का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल = 4 (किनारे)2

= 4(10)2

= 400 सेमी2 …(1)

घनाभ बॉक्स का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2[lh+bh]

= [2(12.5×8+10×8)]

= (2×180) = 360

अत: घनाभ बॉक्स का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल 360 सेमी2 है। ...(2)

(1) और (2) से, क्यूबिकल बॉक्स का पार्श्व सतह क्षेत्र क्यूबाइडल बॉक्स के पार्श्व सतह क्षेत्र से अधिक है। दोनों पार्श्व सतहों के बीच का अंतर 40 सेमी2 है।

(घनकार डिब्बे का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल - घनाभ बॉक्स का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल = 400cm2–360cm2 = 40 cm2)

(ii) दोनों आकृतियों का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए

क्यूबिकल बॉक्स का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = 6(किनारे)2 = 6(10 सेमी)2 = 600 सेमी2…(3)

घनाभ बॉक्स का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल

= 2[एलएच+बीएच+एलबी]

= [2(12.5×8+10×8+12.5×100)]

= 610

इसका तात्पर्य है, घनाभ बॉक्स का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल 610 cm2 है..(4)

(3) और (4) से, क्यूबिकल बॉक्स का कुल सतह क्षेत्र क्यूबाइडल बॉक्स की तुलना में छोटा होता है। और उनका अंतर 10cm2 है।

इसलिए, क्यूबिकल बॉक्स का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल घनाभ बॉक्स की तुलना में 10 cm2 कम है

6. एक छोटा इनडोर ग्रीनहाउस (हर्बेरियम) पूरी तरह से कांच के शीशे (आधार सहित) से बना होता है, जिसे टेप से बांधा जाता है। यह 30 सेमी लंबा, 25 सेमी चौड़ा और 25 सेमी ऊँचा होता है।

(i) कांच का क्षेत्रफल क्या है?

(ii) सभी 12 किनारों के लिए कितने टेप की आवश्यकता है?

समाधान:

ग्रीनहाउस की लंबाई, मान लीजिए l = 30cm

ग्रीनहाउस की चौड़ाई, मान लीजिए b = 25 cm

ग्रीनहाउस की ऊँचाई, मान लीजिए h = 25 cm

(i) ग्रीनहाउस का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = कांच का क्षेत्रफल = 2[lb+lh+bh]

= [2 (30×25+30×25+25×25)]

= [2 (750+750+625)]

= (2×2125) = 4250

कांच का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल 4250 सेमी2 . है

(ii)

आकृति से, AB, BC, CD, DA, EF, FG, GH, HE AH, BE, DG, और CF पक्षों के साथ टेप की आवश्यकता है।

टेप की कुल लंबाई = 4(l+b+h)

= [4(30+25+25)] (मानों को प्रतिस्थापित करने के बाद)

= 320

इसलिए, सभी 12 किनारों के लिए 320 सेमी टेप की आवश्यकता है।

7. शांति स्वीट्स स्टॉल अपनी मिठाइयों की पैकिंग के लिए गत्ते के डिब्बे बनाने का ऑर्डर दे रहा था। दो आकार के बक्सों की आवश्यकता थी। बड़ा आयाम 25 सेमी × 20 सेमी × 5 सेमी और छोटा आयाम 15 सेमी × 12 सेमी × 5 सेमी। सभी अतिव्यापनों के लिए, कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल का 5% अतिरिक्त आवश्यक है। यदि गत्ते की कीमत रु. 1000 सेमी2 के लिए 4, प्रत्येक प्रकार के 250 बक्सों की आपूर्ति के लिए आवश्यक कार्डबोर्ड की लागत ज्ञात कीजिए।

समाधान:

मान लीजिए l, b और h बॉक्स की लंबाई, चौड़ाई और ऊंचाई हैं।

बड़ा बॉक्स:

एल = 25 सेमी

बी = 20 सेमी

एच = 5 सेमी

बड़े डिब्बे का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2(lb+lh+bh)

= [2 (25×20+25×5+20×5)]

= [2(500+125+100)]

= 1450 सेमी2

अतिव्यापन के लिए आवश्यक अतिरिक्त क्षेत्र 1450×5/100 cm2

= 72.5 सेमी2

सभी गोदों पर विचार करते समय, बड़े बॉक्स का कुल सतह क्षेत्र

= (1450+72.5) सेमी2 = 1522.5 सेमी2

ऐसे 250 बड़े बक्सों के लिए आवश्यक कार्डबोर्ड शीट का क्षेत्रफल

= (1522.5×250) सेमी2 = 380625 सेमी2

छोटा बॉक्स:

Area of cardboard sheet required for 250 smaller boxes = (250×661.5) cm² = 165375 cm²

In Short:

Box	Dimensions (in cm)	Total surface area (in cm2 )	Extra area required for overlapping (in cm2)	Total surface area for all overlaps (in cm 2)	Area for 250 such boxes (in cm2)
Bigger Box	l = 25 b = 20 c = 5	1450	1450×5/100 = 72.5	(1450+72.5) = 1522.5	(1522.5×250) = 380625
Smaller Box	l = 15 b = 12 h =5	630	630×5/100 = 31.5	(630+31.5) = 661.5	( 250×661.5) = 165375

 

इसी प्रकार, छोटे डिब्बे का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = [2(15×12+15×5+12×5)] cm2

= [2(180+75+60)] सेमी2

= (2×315) सेमी2

= 630 सेमी2

अत: अतिव्यापन के लिए आवश्यक अतिरिक्त क्षेत्रफल 630×5/100 cm2 = 31.5 cm2

सभी ओवरलैप पर विचार करते हुए 1 छोटे बॉक्स का कुल सतह क्षेत्र

= (630+31.5) सेमी2 = 661.5 सेमी2

250 छोटे बक्सों के लिए आवश्यक कार्डबोर्ड शीट का क्षेत्रफल = (250×661.5) cm2 = 165375 cm2

संक्षेप में:

बॉक्स आयाम (सेमी में) कुल सतह क्षेत्र (सेमी 2 में) ओवरलैपिंग के लिए आवश्यक अतिरिक्त क्षेत्र (सेमी 2 में) सभी ओवरलैप के लिए कुल सतह क्षेत्र (सेमी 2 में) 250 ऐसे बक्से के लिए क्षेत्र (सेमी 2 में)

बड़ा डिब्बा l = 25

बी = 20

सी = 5 1450 1450×5/100

= 72.5 (1450+72.5) = 1522.5 (1522.5×250) = 380625

छोटा डिब्बा l = 15

बी = 12

एच =5 630 630×5/100 = 31.5 (630+31.5) = 661.5 ( 250×661.5) = 165375

अब, कुल कार्डबोर्ड शीट की आवश्यकता = (380625+165375) cm2

= 546000 सेमी2

दिया गया है: 1000 सेमी2 कार्डबोर्ड शीट का मूल्य = रु. 4

इसलिए, 546000 सेमी2 कार्डबोर्ड शीट का मूल्य =रु। (546000×4)/1000 = रु. 2184

इसलिए, प्रत्येक प्रकार के 250 बक्से की आपूर्ति के लिए आवश्यक कार्डबोर्ड की लागत रु। 2184.

8. प्रवीण तिरपाल के साथ एक बॉक्स जैसी संरचना बनाकर अपनी कार के लिए एक अस्थायी आश्रय बनाना चाहता था, जो चारों तरफ और कार के शीर्ष को कवर करता है (सामने वाला चेहरा एक फ्लैप के रूप में जिसे लुढ़काया जा सकता है)। यह मानते हुए कि सिलाई का मार्जिन बहुत छोटा है, और इसलिए नगण्य है, आधार आयाम 4m×3m के साथ 2.5m ऊंचाई का आश्रय बनाने के लिए कितने तिरपाल की आवश्यकता होगी?

समाधान:

मान लीजिए l, b और h आश्रय की लंबाई, चौड़ाई और ऊंचाई हैं।

दिया गया:

एल = 4m

बी = 3 एम

एच = 2.5 एम

आश्रय के ऊपर और चार दीवारों के लिए तिरपाल की आवश्यकता होगी।

सूत्र का उपयोग करते हुए, आवश्यक तिरपाल का क्षेत्रफल = 2(lh+bh)+lb

l, b और h के मान रखने पर, हम प्राप्त करते हैं

= [2(4×2.5+3×2.5)+4×3] एम2

= [2(10+7.5)+12]एम2

= 47m2

इसलिए 47 एम2 तिरपाल की आवश्यकता होगी।