NCERT Solutions for Class 9 Maths Chapter 11 – Constructions In Hindi Medium

NCERT Solutions for Class 9 Maths Exercise 11.1 Chapter 11 – Constructions In Hindi Medium

कक्षा 9 अध्याय 11 - रचना अभ्यास 11.1

1. दी गई किरण के प्रारंभिक बिंदु पर 90° का कोण बनाइए और रचना का औचित्य सिद्ध कीजिए।

निर्माण प्रक्रिया:

90° का कोण बनाने के लिए, दिए गए चरणों का पालन करें:

1. एक किरण OA खींचिए

2. 0 को किसी भी त्रिज्या के साथ एक केंद्र के रूप में लें, एक चाप खींचें जो डीसीबी है जो ओए को बी पर काटता है।

3. B को समान त्रिज्या वाला केंद्र मानकर चाप DCB पर एक बिंदु C अंकित करें।

4. C को केंद्र मानकर और समान त्रिज्या लेकर चाप DCB पर एक बिंदु D अंकित करें।

5. C और D को केंद्र मानकर दो चाप खींचिए जो एक दूसरे को समान त्रिज्या से P पर काटते हैं।

6. अंत में, किरण OP जुड़ जाती है जो OP के साथ 90° का कोण बनाती है।

औचित्य

POA = 90° . सिद्ध करना

इसे सिद्ध करने के लिए, बिंदु O से C और O से D तक एक बिंदीदार रेखा खींचिए और बनने वाले कोण हैं:

निर्माण से, यह देखा गया है कि

ओबी = बीसी = ओसी

अत: OBC एक समबाहु त्रिभुज है

अतः BOC = 60° है।

इसी तरह,

ओडी = डीसी = ओसी

इसलिए, DOC एक समबाहु त्रिभुज है

अत: DOC = 60°।

SSS त्रिभुज सर्वांगसमता नियम से

ओबीसी ओसीडी

अत: BOC = DOC [C.P.C.T द्वारा]

इसलिए, COP = ½ DOC = ½ (60°)।

COP = 30°

POA = 90° ज्ञात करने के लिए:

POA = BOC+∠COP

पीओए = 60°+30°

पीओए = 90°

इसलिए जायज है।

2. दी गई किरण के प्रारंभिक बिंदु पर 45° का कोण बनाइए और रचना का औचित्य सिद्ध कीजिए।

निर्माण प्रक्रिया:

1. एक किरण OA खींचिए

2. 0 को किसी त्रिज्या वाला केंद्र मानकर एक चाप DCB खींचिए जो OA को B पर काटता है।

3. B को समान त्रिज्या वाला केंद्र मानकर चाप DCB पर एक बिंदु C अंकित करें।

4. C को केंद्र मानकर और समान त्रिज्या लेकर चाप DCB पर एक बिंदु D अंकित करें।

5. C और D को केंद्र मानकर दो चाप खींचिए जो एक दूसरे को समान त्रिज्या से P पर काटते हैं।

6. अंत में, किरण OP जुड़ जाती है जो OP के साथ 90° का कोण बनाती है।

7. B और Q को केंद्र मानकर एक लंब समद्विभाजक खींचिए जो बिंदु R पर प्रतिच्छेद करता है

8. बिंदु 0 और R . को मिलाने वाली रेखा खींचिए

9. अत: ROA = 45° . का कोण बनता है

औचित्य

निर्माण से,

POA = 90°

बिंदु B और Q से लंबवत द्विभाजक से, जो POA को दो हिस्सों में विभाजित करता है। तो बन जाता है

ROA = ½ POA

ROA = (½)×90° = 45°

इसलिए, न्यायोचित

समाधान:

(i) 30°

निर्माण प्रक्रिया:

1. एक किरण OA खींचिए

2. 0 को किसी त्रिज्या वाला केंद्र मानकर एक चाप BC खींचिए जो OA को B पर काटता है।

3. B और C को केंद्र मानकर दो चाप खींचिए जो एक दूसरे को बिंदु E पर काटते हैं और लंब समद्विभाजक खींचा जाता है।

4. इस प्रकार, OA के साथ 30° बनाने वाला कोण ∠EOA है।

निर्माण प्रक्रिया:

1. एक कोण POA = 90° . खींचिए

2. 0 को किसी त्रिज्या वाला केंद्र मानकर एक चाप BC खींचिए जो OA को B पर और OP को Q' पर काटता है

3. अब, बिंदु B और Q से समद्विभाजक खींचिए जहां यह बिंदु R पर इस प्रकार प्रतिच्छेद करता है कि यह कोण ROA = 45° बनाता है।

4. पुनः, ROA को इस प्रकार समद्विभाजित किया जाता है कि TOA बनता है जो OA के साथ 22.5° का कोण बनाता है

(iii) 15°

निर्माण प्रक्रिया:

1. एक कोण ∠DOA = 60° खींचा गया है।

2. 0 को किसी त्रिज्या के साथ केंद्र मानकर एक चाप BC खींचिए जो OA को B पर और OD को C' पर काटता है

3. अब, बिंदु B और C से समद्विभाजक खींचिए जहां यह बिंदु E पर इस प्रकार प्रतिच्छेद करता है कि यह कोण EOA = 30° बनाता है।

4. पुनः EOA को इस प्रकार समद्विभाजित किया जाता है कि FOA बनता है जो OA के साथ 15° का कोण बनाता है।

5. इस प्रकार, OA के साथ 15° बनाने वाला कोण ∠FOA है।

4. निम्नलिखित कोणों की रचना कीजिए और उन्हें एक चांदे से मापकर सत्यापित कीजिए:

(i) 75° (ii) 105° (iii) 135°

समाधान:

(i) 75°

निर्माण प्रक्रिया:

1. एक किरण OA खींची जाती है।

2. 0 को केंद्र मानकर किसी भी त्रिज्या का एक चाप खींचिए और किरण OA पर बिंदु B पर प्रतिच्छेद कीजिए।

3. B को केंद्र मानकर एक चाप C और C को केंद्र मानकर एक चाप D खींचिए।

4. D और C को केंद्र मानकर एक चाप खींचिए, जो बिंदु P पर प्रतिच्छेद करता है।

5. बिंदुओं O और P को मिलाइए

6. वह बिंदु जो चाप किरण OP को प्रतिच्छेद करता है, Q के रूप में लिया जाता है।

7. Q और C को केंद्र मानकर एक चाप खींचिए, जो बिंदु R पर प्रतिच्छेद करता है।

8. बिंदुओं O और R को मिलाइए

9. इस प्रकार, OA के साथ 75° बनाने वाला कोण ∠AOE है।

(ii) 105°

निर्माण प्रक्रिया:

1. एक किरण OA खींची जाती है।

2. 0 को केंद्र मानकर किसी भी त्रिज्या का एक चाप खींचिए और किरण OA पर बिंदु B पर प्रतिच्छेद कीजिए।

3. B को केंद्र मानकर एक चाप C और C को केंद्र मानकर एक चाप D खींचिए।

4. D और C को केंद्र मानकर एक चाप खींचिए, जो बिंदु P पर प्रतिच्छेद करता है।

5. बिंदुओं O और P को मिलाइए

6. वह बिंदु जो चाप किरण OP को प्रतिच्छेद करता है, Q के रूप में लिया जाता है।

7. Q और D को केंद्र मानकर एक चाप खींचिए जो बिंदु R पर प्रतिच्छेद करता है।

8. बिंदुओं O और R को मिलाइए

9. इस प्रकार, OA के साथ 105° बनाने वाला कोण ∠AOR है।

(iii) 135°

निर्माण प्रक्रिया:

1. एक रेखा खींचिए AOA'

2. किसी भी त्रिज्या का एक चाप खींचिए जो रेखा AOA' को बिंदु B और B' पर काटता है।

3. B को केंद्र मानकर, बिंदु C पर समान त्रिज्या का एक चाप खींचिए।

4. C को केंद्र मानकर, बिंदु D' पर समान त्रिज्या का एक चाप खींचिए

5. D और C को केंद्र मानकर एक चाप खींचिए जो बिंदु P पर प्रतिच्छेद करता है

6. OP . में शामिल हों

7. वह बिंदु जो चाप किरण OP को प्रतिच्छेद करता है, Q के रूप में लिया जाता है और यह 90° का कोण बनाता है

8. B' और Q को केंद्र मानकर एक चाप खींचिए जो बिंदु R' पर प्रतिच्छेद करता है

9. इस प्रकार, OA के साथ 135° बनाने वाला अभीष्ट कोण ∠AOR है।

 

5. एक समबाहु त्रिभुज की रचना कीजिए, इसकी भुजा दी हुई है और रचना का औचित्य सिद्ध कीजिए।

निर्माण प्रक्रिया:

1. आइए हम एक रेखाखंड AB = 4 सेमी खींचते हैं।

2. A और B को केंद्र मानकर, रेखाखंड AB पर दो चाप खींचिए और बिंदु को D और E के रूप में नोट कीजिए।

3. D और E को केन्द्र मानकर, वे चाप खींचिए जो पिछले चाप को क्रमशः काटते हैं जो प्रत्येक में 60° का कोण बनाते हैं।

4. अब, A और B से रेखाएँ खींचिए जो बिंदु C पर एक दूसरे से मिलने के लिए विस्तारित हैं।

5. अत: ABC अभीष्ट त्रिभुज है।

औचित्य:

निर्माण से, यह देखा गया है कि

AB = 4 सेमी, A = 60° और ∠B = 60°

हम जानते हैं कि त्रिभुज के अंतः कोणों का योग 180° . के बराबर होता है

A+∠B+∠C = 180°

मूल्यों को प्रतिस्थापित करें

⇒ 60°+60°+∠C = 180°

⇒ 120°+∠C = 180°

C = 60°

भुजाओं को मापते समय, हम प्राप्त करते हैं

BC = CA = 4 सेमी (समान कोणों की सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं)

एबी = बीसी = सीए = 4 सेमी

A = ∠B = C = 60°

इसलिए जायज है।

 NCERT Solutions for Class 9 Maths Exercise 11.2 Chapter 11 – Constructions In Hindi Medium

कक्षा 9 गणित अध्याय 11 - रचना अभ्यास 11.2

1. एक त्रिभुज ABC की रचना कीजिए, जिसमें BC = 7 सेमी, ZB = 75° और AB+AC = 13 सेमी हो।

निर्माण प्रक्रिया:

दिए गए माप का त्रिभुज बनाने के चरण इस प्रकार हैं:

1. आधार BC = 7 cm . का एक रेखाखंड खींचिए

2. B = 75° मापें और खींचे और किरण BX . खींचे

3. एक कंपास लें और AB+AC = 13 सेमी मापें।

4. B को केंद्र मानकर और बिंदु D पर एक चाप खींचिए

5. डीसी में शामिल हों

6. अब रेखा DC का लंब समद्विभाजक खींचिए और प्रतिच्छेदन बिंदु A लिया जाता है।

7. अब AC ज्वाइन करें

8. अत: ABC अभीष्ट त्रिभुज है।

2. एक त्रिभुज ABC की रचना कीजिए जिसमें BC = 8 सेमी, ZB = 45° और AB-AC = 3.5 सेमी हो।

निर्माण प्रक्रिया:

दिए गए माप का त्रिभुज बनाने के चरण इस प्रकार हैं:

1. आधार BC = 8 cm . का एक रेखाखंड खींचिए

2. B = 45° माप कर खींचिए और किरण BX . खींचिए

3. एक कंपास लें और AB-AC = 3.5 सेमी मापें।

4. B को केंद्र मानकर और बिंदु D पर BX . पर एक चाप खींचिए

5. डीसी में शामिल हों

6. अब रेखा CD का लंब समद्विभाजक खींचिए और प्रतिच्छेदन बिंदु A लिया जाता है।

7. अब AC ज्वाइन करें

8. अत: ABC अभीष्ट त्रिभुज है।

3. एक त्रिभुज PQR की रचना कीजिए जिसमें QR = 6cm, ZQ = 60° और PR-PQ = 2cm हो।

निर्माण प्रक्रिया:

दिए गए माप का त्रिभुज बनाने के चरण इस प्रकार हैं:

1. आधार QR = 6 cm . का एक रेखाखंड खींचिए

2. Q = 60° मापें और खींचे और किरण को QX होने दें

3. एक कंपास लें और PR-PQ = 2cm मापें।

4. चूँकि PR–PQ ऋणात्मक है, QD रेखा QR के नीचे होगा।

5. Q को केंद्र मानकर और QX किरण पर बिंदु D पर एक चाप खींचिए

6. DR . में शामिल हों

7. अब रेखा DR का लंब समद्विभाजक खींचिए और प्रतिच्छेदन बिंदु को P मान लिया जाता है।

8. अब पीआर . में शामिल हों

9. इसलिए, PQR अभीष्ट त्रिभुज है।

4. एक त्रिभुज XYZ की रचना कीजिए जिसमें Y = 30°, Z = 90° और XY+YZ+ZX = 11 सेमी हो।

निर्माण प्रक्रिया:

दिए गए माप का त्रिभुज बनाने के चरण इस प्रकार हैं:

1. एक रेखाखंड AB खींचिए जो XY+YZ+ZX = 11 सेमी के बराबर हो।

2. बिंदु A से ∠LAB = 30° का कोण बनाइए।

3. बिंदु B से कोण ∠MBA = 90° बनाइए।

4. LAB और MBA को बिंदु X पर समद्विभाजित करें।

5. अब रेखा XA और XB का लंब समद्विभाजक लें और प्रतिच्छेद बिंदु क्रमशः Y और Z हों।

6. XY और XZ को मिलाइए

7. इसलिए, XYZ अभीष्ट त्रिभुज है

5. एक समकोण त्रिभुज की रचना कीजिए जिसका आधार 12 सेमी है और इसके कर्ण और दूसरी भुजा का योग 18 सेमी है।

निर्माण प्रक्रिया:

दिए गए माप का त्रिभुज बनाने के चरण इस प्रकार हैं:

1. आधार BC = 12 cm . का एक रेखाखंड खींचिए

2. B = 90° मापें और खींचे और किरण BX . खींचे

3. एक कंपास लें और AB+AC = 18 सेमी मापें।

4. B को केंद्र मानकर और बिंदु D पर BX . पर एक चाप खींचिए

5. डीसी में शामिल हों

6. अब रेखा CD का लंब समद्विभाजक खींचिए और प्रतिच्छेदन बिंदु A लिया जाता है।

7. अब AC ज्वाइन करें

8. अत: ABC अभीष्ट त्रिभुज है।