NCERT Solutions for Class 9 Maths Chapter 12 – Heron’s Formula  In Hindi Medium

 NCERT Solutions for Class 9 Maths Exercise 12.1 Chapter 12 – Heron’s Formula  In Hindi Medium

अध्याय 12 - हीरोन का सूत्र अभ्यास 12.1

1. एक ट्रैफिक सिग्नल बोर्ड, जो 'स्कूल अहेड' को दर्शाता है, एक समबाहु त्रिभुज है जिसकी भुजा 'a' है। हीरोन के सूत्र का प्रयोग करते हुए सिग्नल बोर्ड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। यदि इसका परिमाप 180 सेमी है, तो सिग्नल बोर्ड का क्षेत्रफल क्या होगा?

समाधान:

दिया गया,

सिग्नल बोर्ड की ओर = a

सिग्नल बोर्ड का परिमाप = 3a = 180 cm

ए = 60 सेमी

सिग्नल बोर्ड का अर्ध परिमाप = 3a/2

हीरोन के सूत्र का उपयोग करके,

त्रिभुजाकार सिग्नल बोर्ड का क्षेत्रफल होगा =

2. एक फ्लाईओवर की त्रिकोणीय साइड की दीवारों का इस्तेमाल विज्ञापनों के लिए किया गया है। दीवारों की भुजाएँ 122 मी, 22 मी और 120 मी हैं (देखिए आकृति 12.9)। विज्ञापनों से प्रति वर्ष ₹5000 प्रति m2 की कमाई होती है। एक कंपनी ने अपनी दीवारों में से एक को 3 महीने के लिए किराए पर लिया। कितना किराया दिया?

समाधान:

त्रिभुज ABC की भुजाएँ क्रमशः 122 मी, 22 मी और 120 मी हैं।

अब, परिमाप होगा (122+22+120) = 264 m

साथ ही, अर्ध परिमाप (s) = 264/2 = 132 m

हीरोन के सूत्र का उपयोग करते हुए,

त्रिभुज का क्षेत्रफल =

=1320 एम2

हम जानते हैं कि प्रति वर्ष विज्ञापन का किराया = ₹ 5000 प्रति वर्ग मीटर

एक दीवार का 3 महीने का किराया = रु. (1320×5000×3)/12 = रु. 1650000

3. एक पार्क में एक स्लाइड है। इसकी एक ओर की दीवार को किसी रंग में रंगा गया है, जिस पर संदेश लिखा है कि पार्क को हरा-भरा और साफ रखें (देखें चित्र 12.10)। यदि दीवार की भुजाएँ 15 मी, 11 मी और 6 मी हैं, तो रंग से रंगा हुआ क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

समाधान:

यह दिया गया है कि दीवार के किनारे 15 मीटर, 11 मीटर और 6 मीटर हैं।

अत: त्रिभुजाकार दीवार (दीवारों) का अर्ध परिमाप = (15+11+6)/2 m = 16 m

हीरोन के सूत्र का उपयोग करते हुए,

संदेश का क्षेत्रफल =

= √[16(16-15)(16-11) (16-6)] एम2

= √[16×1×5×10] m2 = √800 m2

= 20√2 एम2

4. एक त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसकी दो भुजाएँ 18 सेमी और 10 सेमी हैं और परिमाप 42 सेमी है।

समाधान:

मान लें कि त्रिभुज की तीसरी भुजा "x" है।

अब, त्रिभुज की तीन भुजाएँ 18 सेमी, 10 सेमी और "x" सेमी . हैं

दिया गया है कि त्रिभुज का परिमाप = 42cm

तो, x = 42-(18+10) सेमी = 14 सेमी

∴ त्रिभुज का अर्ध परिमाप = 42/2 = 21 सेमी

हीरोन के सूत्र का उपयोग करते हुए,

त्रिभुज का क्षेत्रफल,

=

= √[21(21-18)(21-10)(21-14)] cm2

= √[21×3×11×7] m2

= 21√11 सेमी2

5. एक त्रिभुज की भुजाएँ 12:17:25 के अनुपात में हैं और इसका परिमाप 540cm है। इसका क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

समाधान:

त्रिभुज की भुजाओं का अनुपात 12:17:25 . के रूप में दिया गया है

अब माना त्रिभुज की भुजाओं के बीच उभयनिष्ठ अनुपात "x" है

भुजाएँ 12x, 17x और 25x हैं

यह भी दिया गया है कि त्रिभुज का परिमाप = 540 cm

12x+17x+25x = 540 सेमी

54x = 540 सेमी

तो, एक्स = 10

अब त्रिभुज की भुजाएँ 120 सेमी, 170 सेमी, 250 सेमी हैं।

अत: त्रिभुज का अर्ध परिमाप = 540/2 = 270 सेमी

हीरोन के सूत्र का उपयोग करते हुए,

त्रिभुज का क्षेत्रफल

= 9000 सेमी2

6. एक समद्विबाहु त्रिभुज का परिमाप 30 सेमी है और प्रत्येक समान भुजा 12 सेमी है। त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

समाधान:

पहले माना तीसरी भुजा x है।

यह दिया गया है कि समान भुजाओं की लंबाई 12 सेमी है और इसका परिमाप 30 सेमी है।

तो, 30 = 12+12+x

तीसरी भुजा की लंबाई = 6 सेमी

अत: समद्विबाहु त्रिभुज का अर्ध परिमाप = 30/2 सेमी = 15 सेमी

हीरोन के सूत्र का उपयोग करते हुए,

त्रिभुज का क्षेत्रफल

=

= √[15(15-12)(15-12)(15-6)] सेमी2

= [15×3×3×9] सेमी2

= 9√15 सेमी2

 NCERT Solutions for Class 9 Maths Exercise 12.2 Chapter 12 – Heron’s Formula  In Hindi Medium

कक्षा 9 अध्याय 12 - हीरोन का सूत्र अभ्यास 12.2

1. चतुर्भुज ABCD के आकार के एक पार्क में C = 90°, AB = 9 मीटर, BC = 12 मीटर, CD = 5 मीटर और AD = 8 मीटर है। यह कितने क्षेत्र पर कब्जा करता है?

समाधान:

सबसे पहले, एक चतुर्भुज ABCD की रचना कीजिए और BD को मिलाइए।

हम जानते हैं कि

सी = 90 डिग्री, एबी = 9 मीटर, बीसी = 12 मीटर, सीडी = 5 मीटर और एडी = 8 मीटर

आरेख है:

अब पाइथागोरस प्रमेय को BCD . में लागू करें

BD2 = BC2 +CD2

BD2 = 122+52

BD2 = 169

बीडी = 13 एम

अब, BCD का क्षेत्रफल = (½ ×12×5) = 30 m2

ABD . का अर्ध परिमाप

(एस) = (परिधि/2)

= (8+9+13)/2 वर्ग मीटर

= 30/2 मी = 15 मी

हीरोन के सूत्र का उपयोग करते हुए,

ABD . का क्षेत्रफल

= 6√35 एम2 = 35.5 एम2 (लगभग)

चतुर्भुज ABCD का क्षेत्रफल = BCD का क्षेत्रफल + ABD . का क्षेत्रफल

= 30 m2+35.5m2 = 65.5 m2

2. एक चतुर्भुज ABCD का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसमें AB = 3 सेमी, BC = 4 सेमी, CD = 4 सेमी, DA = 5 सेमी और AC = 5 सेमी।

समाधान:

सबसे पहले, दिए गए पैरामीटर के साथ एक आरेख बनाएं।

अब, ABC में पाइथागोरस प्रमेय लागू करें,

एसी2 = एबी2+बीसी2

52 = 32+42

25 = 25

इस प्रकार, यह निष्कर्ष निकाला जा सकता है कि ABC, B पर एक समकोण है।

अत: BCD का क्षेत्रफल = (½ ×3×4) = 6 cm2

ΔACD (ओं) का अर्ध परिमाप = (परिधि/2) = (5+5+4)/2 सेमी = 14/2 सेमी = 7 मीटर

अब, हीरोन के सूत्र का उपयोग करते हुए,

ACD . का क्षेत्रफल

= 2√21 सेमी2 = 9.17 सेमी2 (लगभग)

चतुर्भुज ABCD का क्षेत्रफल = ABC का क्षेत्रफल + ΔACD का क्षेत्रफल = 6 सेमी2 +9.17 सेमी2 = 15.17 सेमी2

3. राधा ने रंगीन कागज से एक हवाई जहाज का चित्र बनाया जैसा कि आकृति 12.15 में दिखाया गया है। प्रयुक्त कागज का कुल क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

समाधान:

त्रिभुज I खंड के लिए:

यह एक समद्विबाहु त्रिभुज है और इसकी भुजाएँ 5 सेमी, 1 सेमी और 5 सेमी . हैं

परिमाप = 5+5+1 = 11 सेमी

अत: अर्ध परिमाप = 11/2 सेमी = 5.5 सेमी

हीरोन के सूत्र का उपयोग करते हुए,

क्षेत्र = √ [एस (एस-ए) (एस-बी) (एस-सी)]

= √[5.5(5.5- 5)(5.5-5)(5.5-1)] सेमी2

= [5.5×0.5×0.5×4.5] cm2

= 0.75√11 सेमी2

= 0.75 × 3.317cm2

= 2.488cm2 (लगभग)

चतुर्भुज II खंड के लिए:

यह चतुर्भुज एक आयत है जिसकी लंबाई और चौड़ाई क्रमशः 6.5 सेमी और 1 सेमी है।

क्षेत्रफल = 6.5×1 सेमी2=6.5 सेमी2

चतुर्भुज III खंड के लिए:

यह एक समलम्ब चतुर्भुज है जिसकी 2 भुजाएँ 1 सेमी प्रत्येक और तीसरी भुजा 2 सेमी है।

समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल = समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल + समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल

समांतर चतुर्भुज की लंबवत ऊंचाई होगी

= 0.86 सेमी

और, समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल होगा (√3/4×a2) = 0.43

समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल = 0.86+0.43 = 1.3 सेमी2 (लगभग)।

त्रिभुज IV और V के लिए:

ये त्रिभुज 2 सर्वांगसम समकोण त्रिभुज हैं जिनका आधार 6 सेमी और ऊँचाई 1.5 सेमी . है

क्षेत्रफल त्रिभुज IV और V = 2×(½×6×1.5) cm2 = 9 cm2

अतः प्रयुक्त कागज का कुल क्षेत्रफल = (2.488+6.5+1.3+9) cm2 = 19.3 cm2

4. एक त्रिभुज और एक समांतर चतुर्भुज का आधार और क्षेत्रफल समान होता है। यदि त्रिभुज की भुजाएँ 26 सेमी, 28 सेमी और 30 सेमी हैं और समांतर चतुर्भुज आधार 28 सेमी पर खड़ा है, तो समांतर चतुर्भुज की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

समाधान:

दिया गया,

यह दिया गया है कि समांतर चतुर्भुज और त्रिभुज के क्षेत्रफल समान हैं।

त्रिभुज की भुजाएँ 26 सेमी, 28 सेमी और 30 सेमी के रूप में दी गई हैं।

अतः परिमाप = 26+28+30 = 84 सेमी

तथा इसका अर्ध परिमाप = 84/2 सेमी = 42 सेमी

अब, हीरोन के सूत्र का प्रयोग करके त्रिभुज का क्षेत्रफल =

= √[42(42-26)(42-28)(42-30)] सेमी2

= √[42×16×14×12] सेमी2

= 336 सेमी2

अब माना समांतर चतुर्भुज की ऊंचाई h है।

चूँकि समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल = त्रिभुज का क्षेत्रफल,

28 सेमी× एच = 336 सेमी2

एच = 336/28 सेमी

अत: समांतर चतुर्भुज की ऊँचाई 12 सेमी है।

5. एक समचतुर्भुज के आकार के खेत में 18 गायों के चरने के लिए हरी घास होती है। यदि समचतुर्भुज की प्रत्येक भुजा 30 मीटर है और उसका लंबा विकर्ण 48 मीटर है, तो प्रत्येक गाय को घास के मैदान का कितना क्षेत्रफल मिलेगा?

समाधान:

सबसे पहले एक समचतुर्भुज के आकार का क्षेत्र बनाएं, जिसके शीर्ष ABCD हों। विकर्ण AC समचतुर्भुज को समान क्षेत्रफल वाले दो सर्वांगसम त्रिभुजों में विभाजित करता है। आरेख इस प्रकार है।

त्रिभुज बीसीडी पर विचार करें,

इसका अर्ध-परिधि = (48 + 30 + 30)/2 मी = 54 मी

हीरोन के सूत्र का उपयोग करते हुए,

BCD . का क्षेत्रफल

= 432 एम2

क्षेत्र का क्षेत्रफल = 2 × BCD का क्षेत्रफल = (2 × 432) m2 = 864 m2

अत: प्रत्येक गाय को मिलने वाले घास के मैदान का क्षेत्रफल = (864/18) m2 = 48 m2

6. दो अलग-अलग रंगों के कपड़े के 10 त्रिकोणीय टुकड़ों को सिलाई करके एक छाता बनाया जाता है (देखिए आकृति 12.16), प्रत्येक टुकड़े की माप 20 सेमी, 50 सेमी और 50 सेमी है। छाते के लिए प्रत्येक रंग के कितने कपड़े चाहिए?

समाधान:

प्रत्येक त्रिभुजाकार टुकड़े के लिए, अर्ध परिमाप होगा

एस = (50+50+20)/2 सेमी = 120/2 सेमी = 60 सेमी

हीरोन के सूत्र का उपयोग करते हुए,

त्रिभुजाकार टुकड़े का क्षेत्रफल

= √[60(60-50)(60-50)(60-20)] सेमी2

= √[60×10×10×40] सेमी2

= 200√6 सेमी2

∴ सभी त्रिभुजाकार टुकड़ों का क्षेत्रफल = 5 × 200√6 सेमी2 = 1000√6 सेमी2

7. एक वर्ग के आकार में एक पतंग जिसका विकर्ण 32 सेमी है और एक समद्विबाहु त्रिभुज जिसका आधार 8 सेमी है और प्रत्येक की भुजा 6 सेमी है, को तीन अलग-अलग रंगों से बनाया जाना है जैसा कि चित्र 12.17 में दिखाया गया है। इसमें प्रत्येक छाया के कितने कागज का प्रयोग किया गया है?

समाधान:

चूंकि पतंग एक वर्ग के आकार में है, इसका क्षेत्रफल होगा

ए = (½)×(विकर्ण)2

पतंग का क्षेत्रफल = (½)×32×32 = 512 सेमी2।

छाया I का क्षेत्रफल = छाया II का क्षेत्रफल

512/2 सेमी2 = 256 सेमी2

अतः, प्रत्येक छाया में आवश्यक कागज का कुल क्षेत्रफल = 256 cm2

त्रिभुज खंड (III) के लिए,

भुजाएँ 6 सेमी, 6 सेमी और 8 सेमी . के रूप में दी गई हैं

अब, इस समद्विबाहु त्रिभुज का अर्ध परिमाप = (6+6+8)/2 सेमी = 10 सेमी

हीरोन के सूत्र का प्रयोग करने पर, तृतीय त्रिभुजाकार टुकड़े का क्षेत्रफल होगा

= [10(10-6)(10-6)(10-8)] सेमी2

= (10×4 ×4×2) सेमी2

= 8√5 सेमी2 = 17.92 सेमी2 (लगभग)

8. एक फर्श पर एक पुष्प डिजाइन 16 टाइलों से बना है जो त्रिकोणीय हैं, त्रिभुज की भुजाएं 9 सेमी, 28 सेमी और 35 सेमी हैं (चित्र 12.18 देखें)। 50p प्रति cm2 की दर से टाइलों को चमकाने का खर्च ज्ञात कीजिए।

समाधान:

प्रत्येक त्रिभुजाकार आकृति का अर्ध परिमाप = (28+9+35)/2 सेमी = 36 सेमी

हीरोन के सूत्र का उपयोग करके,

प्रत्येक त्रिभुजाकार आकृति का क्षेत्रफल होगा

= 36√6 सेमी2 = 88.2 सेमी2

अब, 16 टाइलों का कुल क्षेत्रफल = 16×88.2 सेमी2 = 1411.2 सेमी2

यह दिया गया है कि टाइल्स की पॉलिशिंग लागत = 50 पैसे/सेमी2

टाइल्स की कुल पॉलिशिंग लागत = रु. (1411.2×0.5) = रु. 705.6

9. एक खेत एक समलंब के आकार का है जिसकी समानांतर भुजाएँ 25 मीटर और 10 मीटर हैं। गैर-समानांतर पक्ष 14 मीटर और 13 मीटर हैं। मैदान का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

समाधान:

सबसे पहले, रेखा AD के समांतर एक रेखाखंड BE खींचिए। फिर, B से रेखाखंड CD पर एक लंब खींचिए।

अब, यह देखा जा सकता है कि चतुर्भुज ABED एक समांतर चतुर्भुज है। इसलिए,

एबी = ईडी = 10 एम

एडी = बीई = 13 एम

ईसी = 25-ईडी = 25-10 = 15 एम

अब, त्रिभुज BEC पर विचार करें,

इसका अर्ध परिमाप (s) = (13+14+15)/2 = 21 m

हीरोन के सूत्र का उपयोग करके,

BEC का क्षेत्रफल =

= 84 एम2

हम यह भी जानते हैं कि ΔBEC का क्षेत्रफल = (½)×CE×BF

84 सेमी2 = (½)×15×BF

बीएफ = (168/15) सेमी = 11.2 सेमी

तो, ABED का कुल क्षेत्रफल BF×DE होगा यानी 11.2×10 = 112 m2

मैदान का क्षेत्रफल = 84 + 112 = 196 m2