UP Board Solutions for Class 9 Maths Chapter 1 Number systems Exercise 1.2 (संख्या पद्धति)

 UP Board Solutions for Class 9 Maths Chapter 1 Number systems (संख्या पद्धति)

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व्यायाम 1.2

1. बताएं कि निम्नलिखित कथन सही हैं या गलत। अपने उत्तरों का औचित्य सिद्ध कीजिए।

(i) प्रत्येक अपरिमेय संख्या एक वास्तविक संख्या होती है।

समाधान:

सही

अपरिमेय संख्याएँ - एक संख्या को अपरिमेय कहा जाता है, यदि इसे p/q में नहीं लिखा जा सकता है, जहाँ p और q पूर्णांक हैं और q 0।

यानी अपरिमेय संख्याएँ = , e, 3, 5+√2, 6.23146…. , 0.101001001000….

वास्तविक संख्याएँ - परिमेय और अपरिमेय दोनों संख्याओं के संग्रह को वास्तविक संख्याएँ कहते हैं।

यानी वास्तविक संख्याएँ = 2, √5, 0.102…

प्रत्येक अपरिमेय संख्या एक वास्तविक संख्या होती है, हालांकि प्रत्येक वास्तविक संख्या अपरिमेय संख्या नहीं होती है।

(ii) संख्या रेखा पर प्रत्येक बिंदु m के रूप का होता है जहाँ m एक प्राकृत संख्या है।

समाधान:

झूठा

कथन असत्य है क्योंकि नियम के अनुसार ऋणात्मक संख्या को वर्गमूल के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता है।

जैसे, 9 =3 एक प्राकृत संख्या है।

लेकिन √2 = 1.414 एक प्राकृत संख्या नहीं है।

इसी तरह, हम जानते हैं कि संख्या रेखा पर ऋणात्मक संख्याएँ होती हैं लेकिन जब हम ऋणात्मक संख्या का मूल लेते हैं तो यह एक सम्मिश्र संख्या बन जाती है, प्राकृत संख्या नहीं।

जैसे, √-7 = 7i, जहां मैं = √-1

यह कथन कि संख्या रेखा का प्रत्येक बिंदु m के रूप का है, जहाँ m एक प्राकृत संख्या है, असत्य है।

(iii) प्रत्येक वास्तविक संख्या एक अपरिमेय संख्या होती है।

समाधान:

झूठा

कथन असत्य है, वास्तविक संख्याओं में अपरिमेय और परिमेय दोनों संख्याएँ शामिल हैं। अतः प्रत्येक वास्तविक संख्या एक अपरिमेय संख्या नहीं हो सकती।

वास्तविक संख्याएँ - परिमेय और अपरिमेय दोनों संख्याओं के संग्रह को वास्तविक संख्याएँ कहते हैं।

यानी वास्तविक संख्याएँ = 2, √5, 0.102…

अपरिमेय संख्याएँ - एक संख्या को अपरिमेय कहा जाता है, यदि इसे p/q में नहीं लिखा जा सकता है, जहाँ p और q पूर्णांक हैं और q 0।

यानी अपरिमेय संख्याएँ = , e, 3, 5+√2, 6.23146…. , 0.101001001000….

प्रत्येक अपरिमेय संख्या एक वास्तविक संख्या होती है, तथापि प्रत्येक वास्तविक संख्या अपरिमेय नहीं होती है।

2. क्या सभी धनात्मक पूर्णांकों के वर्गमूल अपरिमेय होते हैं? यदि नहीं, तो उस संख्या के वर्गमूल का उदाहरण दीजिए जो एक परिमेय संख्या है।

 

समाधान:

नहीं, सभी धनात्मक पूर्णांकों के वर्गमूल अपरिमेय नहीं होते हैं।

उदाहरण के लिए,

√4 = 2 परिमेय है।

√9 = 3 परिमेय है।

इसलिए, धनात्मक पूर्णांक 4 और 9 के वर्गमूल अपरिमेय नहीं हैं। (क्रमशः 2 और 3)।

3. दर्शाइए कि संख्या रेखा पर 5 को किस प्रकार निरूपित किया जा सकता है।

समाधान:

चरण 1: मान लीजिए कि रेखा AB एक संख्या रेखा पर 2 इकाई की है।

चरण 2: B पर, 1 इकाई लंबाई की एक लंब रेखा BC खींचिए।

चरण 3: सीए में शामिल हों

चरण 4: अब, ABC एक समकोण त्रिभुज है। पाइथागोरस प्रमेय को लागू करना,

AB2+BC2 = CA2

22+12 = सीए2 सीए2 = 5

सीए = 5। इस प्रकार, CA 5 इकाई लंबाई की एक रेखा है।

चरण 4: CA को त्रिज्या और A को केंद्र मानकर एक चाप खींचते हैं जो स्पर्श करता है

संख्या रेखा। वह बिंदु जिस पर संख्या रेखा प्रतिच्छेद करती है

चाप 0 से √5 की दूरी पर है क्योंकि यह वृत्त की त्रिज्या है

जिसका केंद्र ए.

इस प्रकार, 5 को संख्या रेखा पर निरूपित किया जाता है जैसा कि चित्र में दिखाया गया है

4. कक्षा की गतिविधि ('वर्गमूल सर्पिल' का निर्माण करना): कागज की एक बड़ी शीट लें और 'वर्गमूल सर्पिल' का निर्माण निम्न प्रकार से करें। बिंदु 0 से प्रारंभ करें और इकाई लंबाई का एक रेखाखंड OP1 बनाएं। OP1 पर इकाई लंबाई का एक रेखाखंड P1P2 लंब खींचिए (देखिए आकृति 1.9)। अब OP2 पर लम्ब एक रेखाखंड P2P3 खींचिए। फिर OP3 पर लंबवत एक रेखाखंड P3P4 खींचिए। चित्र 1.9 में जारी :

 

 

इस तरह से निर्माण करते हुए, आप वर्गमूल सर्पिल द्वारा रेखा खंड Pn-1Pn प्राप्त कर सकते हैं, जो OPn-1 के लंबवत इकाई लंबाई का एक रेखा खंड खींचती है। इस प्रकार, आपने बिंदु P2, P3,….,Pn,… . बनाया होगा, और 2, √3, 4, …

समाधान:

चरण 1: कागज पर एक बिंदु O अंकित करें। यहाँ, O वर्गमूल सर्पिल का केंद्र होगा।

चरण 2: 0 से क्षैतिज रूप से 1 सेमी की एक सीधी रेखा, OA खींचिए।

चरण 3: A से, 1 सेमी की एक लंब रेखा AB खींचिए।

चरण 4: ओबी में शामिल हों। यहाँ, OB 2 . का होगा

चरण 5: अब, B से, 1 सेमी की एक लंब रेखा खींचिए और अंतिम बिंदु C को चिह्नित करें।

चरण 6: ओसी में शामिल हों। यहाँ, OC 3 . का होगा

चरण 7: 4, √5, 6… बनाने के लिए चरणों को दोहराएँ।